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de la Licence

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Jean-Pierre Escoer

4 e édition9782100747405-lim.indd 119/04/16 11:36

© Dunod, 2006, 2011, 2016

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-074740-5

Du même auteur :

Théorie de Galois, 2

e

éd., 2004

Toute l'Analyse de la licence,2014

Exercices d'Analyse, 2015

Petite histoire des mathématiques, 2016

Illustration de couverture : Vector seamless © samolevski-fotolia.com

9782100747405-lim.indd 219/04/16 11:36

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L'enseignement des mathématiques et, plus généralement, des matières scienti- fiques, pose problème à nos sociétés en mutation. Alors que la recherche se déve- loppe partout dans le monde, autant fondamentale que pour des applications extraordinairement nombreuses et diversifiées, l'enseignement des bases des mathé- matiques est déstructuré et appauvri. Qu'on étudie pour devenir chercheur ou enseignant de mathématiques ou pour se diriger plus tard vers d'autres domaines, l'étude des mathématiques a un sens qui s'est obscurci et qu'il faut sans doute redéfinir. Ce livre a différents aspects profondément liés qui, je l'espère, contribueront à lutter contre ces dérives. La plus grande partie du livre est consacrée à la présenta- tion des notions d'algèbre linéaire et d'algèbre de base, comme beaucoup d'autres livres actuels, en cherchant à me mettre à la portée des étudiants de tousniveaux. Je

cherche à en montrer la beauté et l'efficacité et à donner plein de plaisirs à mes lec-

trices et lecteurs. Je donne des éclairages, mathématiques ou anecdotiques, de divers moments de leur construction au cours du temps. Je donne enfin des applications récentes. On devrait pouvoir penser aux mathématiques comme on pense, je donne quelques exemples parmi mille, à des tableaux de Rembrandt ou de Nicolas de Stael, des films de Lang ou Mizogushi, des textes de Rimbaud ou Perec, des musiques de Mozart ou Stockhausen, etc. (remplacez ces noms par ceux de vos artistes préférés), et je serais heureux si ce livre pouvait y contribuer. La première édition de ce livre, en 2002, correspondait à deux années d'études après le baccalauréat. La mise en place d'une harmonisation des études au niveau européen, m'a conduit a ajouté cinq nouveaux chapitres pour couvrir la troisième année de licence, en apportant les modifications et corrections nécessaires aux 17 premiers chapitres. Le choix des thèmes de ces cinq nouveaux chapitres n'a pas été évident, chaque université ayant ses sujets favoris ; j'en ai développé quelques appli- cations et j'ai dû renoncer à bien des idées, faute de place. Pour avoir commencé à apprendre les mathématiques dans des livres, je peux dire que leur lecture est insuffisante. Je vous invite donc à parcourir autant qu'à lire ce livre, à vous raconter cent fois ce qu'il contient, à en discuter avec d'autres, à le confronter aux cours et exercices qui vous seront proposés (à l'Université pour beau- coup d'entre vous), afin que les mathématiques et les histoires qu'il présente devien- nent vôtres, que vous ayez quelques idées générales permettant de voir les choses de plus haut, que vos efforts de mémoire ne portent pas sur des détails. Ce livre comporte une sorte de petit roman, au chapitre 17, pour raconter la vie d'un des plus grands scientifiques de tous les temps, Karl Friedrich Gauss (1777-

1855). Gauss est à l'origine de bien des idées étudiées ici.

Cette 4

e édition, actualisée, s'enrichit de nouveaux exercices corrigés. © Dunod. Toute reproduction non autorisŽe est un dŽlit.

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J'espère que tout cela vous donnera à tous envie de poursuivre l'étude des mathé- matiques. Mes remerciements vont aux éditions Dunod, toujours prêtes à vous écouter, à Ghislaine Gueudet-Chartier, Michel Viallard, Françoise Guimier qui ont relu et cri- tiqué des parties de ce texte, à Annette Houdebine-Paugam qui a tout relu... et tout critiqué, et à tous les rennais et rennaises qui m'ont apporté des idées un jour ou l'autre.

À D. C. A. et à N., G., M. et M.,

Jean-Pierre Escofier

Mars 2016

Les figures de ce livre ont été tracées à l'aide du logiciel fig4Tex développé par Yvon Lafranche et Daniel Martin de l'Université de Rennes 1.

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L'algèbre linéaire est présente dans beaucoup de domaines des mathématiques comme la géométrie, l'analyse, l'analyse numérique, les statistiques. Ramener un problème de mathématiques à un problème d'algèbre linéaire (on dit qu'on linéa- rise le problème) permet souvent de pouvoir conduire des calculs, d'obtenir des solutions approchées, etc. L'introduction à l'algèbre linéaire est le but du cours d'algèbre de première

année. Les quatre premiers chapitres introduisent à l'algèbre linéaire en étudiant des

situations où elle intervient. Avec les chapitres 5 à 10, on entre dans la théorie des espaces vectoriels (de dimension finie) et des applications linéaires, ce qui nous confronte à des problèmes nouveaux, qu'on ne peut pressentir en étudiant les exem- ples des quatre premiers chapitres et pour lesquels un effort d'adaptation à l'abstrac- tion est nécessaire.

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6 bre linŽaire permettent de les envisager dans un mme cadre.

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Définition 1 : notion de fonction, définition originelle.Wilhelm Gottfried von Leibniz (1646-1716) est sans doute le premier ˆ utiliser le mot fonction. Jean Bernouilli (1667-1748), qui le suit dans ce choix, prŽcise en 1718 ce quÕil entend par lˆ : Ç On appelle fonction dÕune grandeur variable, une quantitŽ composŽe de Définition 2 : notion de fonction, définition actuelle.Notre dŽfinition actuelle de fonction est plus prŽcise : pour dŽfinir une fonction f, on se donne :

1) un ensemble

Adit ensemble de dŽpart ou source de la fonction ;

2) un ensemble

Bdit ensemble dÕarrivŽe ou but de la fonction ;

3) pour chaque ŽlŽment

xde A, un ŽlŽment de BquÕon note f =x?et quÕon appelle image de xpar f. On peut prŽciser comment on rŽalise le 3) : on se donne un sous-ensemble Gde lÕensemble produit A (BquÕon appelle graphe de la fonction, tel que, pour tout x de A, il existe un unique ŽlŽment yde Btel que =x?y?)G. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

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Notation.La notation f:AwB, apparue dans les annŽes 1930, est celle que nous utiliserons pour dŽsigner la fonction fde source Aet de but B. Pour ne pas alourdir les notations, on utilisera aussi la notation xvwf=x?, par exemple xvw /2x, lorsque le contexte indique clairement la source et le but de la fonction. Différences entre les deux définitions.Les diffŽrences entre les conceptions sous- jacentes ˆ ces deux dŽfinitions sont multiples. Jean Bernoulli, comme tous les mathŽmaticiens du XVIII e posŽes È, quÕˆ des formules algŽbriques comme des quotients de deux polyn™mes, ou analytiques, comme des sommes infinies (on parle de sŽries). Ce sont des mathŽ- maticiens comme Leonhard Euler (1707-1783) qui Žcrivent quÕil faut Žtendre la notion de fonction ˆ des correspondances quelconques, sans prŽciser ce que cela veut dire exactement : cela Ç dŽpend de notre bon plaisir È (Euler a alors en tte de mathŽmaticiens du dŽbut du XIX e sa thŽorie de la chaleur publiŽe en 1822, expliciteront cette idŽe : une fonction est Ç une suite de valeurs donnŽes, assujetties ou non ˆ une loi commune, et qui rŽpon- dent ˆ toutes les valeurs de xcomprises entre È les extrŽmitŽs dÕun intervalle. On notait alors une fonction par f=x?,

π=x?, o xreprŽsentait la variable.

Autour de 1900. Les mathŽmaticiens de cette Žpoque, ˆ la suite de travaux de Vito Volterra (1860-1940), de Ivar Fredholm (1866-1927), de Maurice FrŽchet (1878-

1973) commencent ˆ considŽrer les fonctions comme des objets mathŽmatiques sur

lesquels on peut calculer, plus prŽcisŽment comme des ŽlŽments dÕun ensemble muni dÕune structure. Cela leur permet, par exemple, de dŽfinir une fonction, notons-la

F, sur lÕensemble Edes fonctions continues de

?dans ?en associant ˆ f)E, sa primitive valant 0pour x,0:xvw x 0 f=t?dt. Comment noter cette nou- velle fonction ? Si on a notŽ f=x?comme Fourier, on devrait Žcrire F=f=x??, mais cÕest ambigu, puisque f=x?dŽsigne aussi lÕŽlŽment image de xpar f; si on consi- fqui est adaptŽe et son image par la fonction Fse note naturellement F=f?. On Žcrira, par exemple :

F=f?=x?,

x 0 f=t?dt. La nouvelle notation traduit donc un changement de point de vue des mathŽmaticiens vis ˆ vis des fonctions que nous allons dŽvelopper dans ce livre. Remarque : source et but.Soulignons quÕune fonction nÕest pas seulement une formule ou un procŽdŽ, mais aussi la donnŽe de lÕensemble de dŽpart et de lÕen- semble dÕarrivŽe de la fonction. Ainsi, la fonction f:?w?dŽfinie par f=x?,x 2 est-elle une fonction diffŽrente de la fonction g:[0?1]w?dŽfinie par g=x?,x 2 ou de la fonction h:?w? dŽfinie par h=x?,x 2

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Définition 3 : fonction vide.Ce qui est liŽ ˆ lÕensemble vide est parfois utile pour Žviter dÕavoir ˆ distinguer, comme certains livres le font, des cas particuliers. Pour tout ensemble

B, lÕensemble

?(Best encore lÕensemble vide ; on pose G,?. Comme GvŽrifie la condition 3 de la dŽfinition de fonction,GdŽfinit une fonction, notŽe ?:?wBet appelŽe fonction vide.

La notation

?vient dÕune lettre norvŽgienne et est due ˆ AndrŽ Weil (1906-1998). Définition 4 : sommes et produits.Si f:?w?et g:?w?sont deux fonc- tions, on peut dŽfinir leur somme et leur produit. Ce sont de nouvelles fonctions de dans ?, notŽes f.get fg, qui sont dŽfinies comme associant ˆ tout xde ?les

ŽlŽments

f=x?.g=x?et f=x?g=x?, autrement dit, pour tout xde ?: =f.g?=x?,f=x?.g=x? =fg?=x?,f=x?g=x? Ces dŽfinitions se gŽnŽralisent ˆ des sommes finies et ˆ des produits finis de fonc- tions ˆ valeurs dans corps des nombres complexes ou aux fonctions ˆ valeurs dans un corps Kquel- conque (pour la dŽfinition gŽnŽrale de corps, voir 12.5, dŽfinition 2). Si aest un ŽlŽment de ?, notons c a :?w?la fonction constante dŽfinie par : c a a est notŽe f.aet le produit c a fest notŽ af; ce sont les fonctions dŽfinies, pour tout xde ?, par =f.a?=x?,f=x?.aet =af?=x?,ax. La fonction afest appelŽe produit de la fonction fpar le scalaire a.

Pour ne pas alourdir les notations, la fonction

c a sera donc notŽe a; cÕest le contexte qui permettra de savoir si areprŽsente le nombre rŽel aou la fonction constante xvwa. Si a,/1, on pose af,/f; pour tout xde ?, on a donc =/f?=x?,/f=x?.

On note

f.=/g?,f/g, donc on a, pour tout xde ?,=f/g?=x?,f=x? /g=x?. On a :f.=/f?,0,0reprŽsentant ici la fonction c 0 , puisque, pour tout x de =f.=/f??=x?,f=x?/f=x?,0. De mme, pour noter un produit de deux fonctions comme xvw /2xf=x?, on Žcrira simplement /2xf, sans chercher ˆ donner un nom ˆ la fonction xvw /2xdont la source et le but sont supposŽs tre ceux de f. Enfin, notons que les mots fonctions et applications sont aujourdÕhui synony- mes ; lÕemploi de lÕun ou lÕautre est une question dÕusage ou de circonstances. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

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des fonctions f:?w?satisfaisant des relations liant f, ses fonctions dŽrivŽe f et dŽrivŽe seconde f (les notations des physiciens ou des mŽcaniciens sont diverses). Par exemple : f /2f,0=E 1 ou fquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25