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Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique définie sur E On a alors par bilinéarité de ϕ : Soit q une forme quadratique positive et ϕ sa forme bilinéaire symétrique forme quadratique q est un produit scalaire si et seulement si la signature

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Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens 5 - 1Sommaire1. Produit Scalaire surE11.1. Forme bilinéaire symétrique surE. . .11.2. Forme quadratique associée. . . . . . .11.3. Forme quadratique définie positive. . .21.4. Produit Scalaire surE. . . . . . . . . . .21.5. Exemples classiques. . . . . . . . . . .31.6. Inégalité de Cauchy-Schwarz. . . . . .42. Norme dérivant d"un produit scalaire42.1. Norme surE. . . . . . . . . . . . . . . .42.2. Norme dérivant d"un produit scalaire.42.3. Théorème de Pythagore. . . . . . . . .53. Orthogonalité, Orthonormalité53.1. Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . .53.2. Orthogonal d"une partie. . . . . . . . .53.3. Famille orthogonale, orthonormale. . .63.4. Théorème et procédé de Schmidt. . . .63.5. Projection orthogonale. . . . . . . . . .74. Espaces Vectoriels Euclidiens94.1. Prod. scal. dans une base ortonormale.94.2. Matrice d"une forme bilinéaire. . . . .94.3. Endomorphisme orthogonal. . . . . . .104.4. Matrice orthogonale. . . . . . . . . . .115. Isométries Vectorielles115.1. Symétries orthogonales. . . . . . . . . .115.2. Isométries vectorielles du plan. . . . .125.3. Isométries vectorielles de l"espace. . . .125.4. Rotations vectorielles de l"espace. . . .146. Endomorphismes Symétriques156.1. Endomorphismes symétriques. . . . .156.2. Réduction dans une base orthonormale166.3. Réduction en dimension 3. . . . . . . .166.4. Identification d"une conique. . . . . . .166.5. Petits rappels sur les coniques. . . . . .177. Compléments197.1. Avec Maple. . . . . . . . . . . . . . . .197.2. Les mathématiciens du chapitre. . . . .19Dans tout le chapitre,Eest un espace vectoriel surR.

1. Produit Scalaire surE

1.1. Forme bilinéaire symétrique surEDéfinition :SoitΨ:?E×E→R

u,v)?→Ψ(u,v) On dit queΨestbilinéaire symétriquesurE?? ???u?E,Ψu:v→Ψu(v)=Ψ(u,v)est linéaire ?v?E,Ψv:u→Ψv(u)=Ψ(u,v)est linéaire

?u,v?E,Ψ(u,v)=Ψ(v,u)Théorème :Pour montrer qu"une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu"elle est linéaire par

rapport à une variable, au choix, et qu"elle est symétrique.

Démonstration :On sait?

???λ,μ?R ?u,u1,u2?E ?v?E? (u,v)=Ψ(v,u)

D"oùΨ(u,λ.v1+μ.v2)=Ψ(λ.v1+μ.v2,u)=λΨ(v1,u)+μΨ(v2,u)=λΨ(u,v1)+μΨ(u,v2)en faisant jouer

la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.1.2. Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétriqueDéfinition :Uneforme quadratiquesurRnest une application deRn→Rqui se met sous la forme d"un

polynôme homogène de degré 2 des coordonnées du vecteur deRn.Théorème :SiΨest une forme bilinéaire symétrique surE, alorsq:?E→R

u?→q(u)=Ψ(u,u)est une forme

quadratique, c"estla forme quadratique associéeàΨ.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5 - 2 Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiensOn a:q(λ.u)=λ2q(u), ce qui prouve queqn"est pas linéaire!Théorème :Siqune forme quadratique surE, alorsΨ:E×E→Rdéfinie par

(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)2 est une forme bilinéaire symétrique.

On dit alors queΨest laforme polairedeq.

Démonstration :La symétrie est évidente, on admet la bilinéarité. q

Ψ(u,v)+Ψ(v,u)2

=Ψ(u,v)1.3. Forme quadratique définie positiveDéfinition :qune forme quadratique, on dit queqestpositive? ?u?E,q(u)?0.Définition :qune forme quadratique positive, on dit queqestdéfinie-positive? ?u?E,(q(u)=0?u=0). On dit aussi queqestpositive non-dégénérée. Le même vocabulaire s"applique à la forme bilinéaire symétrique.

1.4. Produit Scalaire surEDéfinition :Un produit scalaire surEest une forme bilinéaire symétrique définie positive surE.

(u,v)se note le plus souvent?u,v?.Exemple :Le produit scalaire usuel du plan ou de l"espace. La forme quadratique est alors le carré scalaire.Pour montrer que?·,·?est un produit scalaire, on montre successivement:•la linéarité par rapport à une variable;•la symétrie;

A ce niveau, on conclut que la forme estbilinéaire symétrique.

Ensuite, on montre:•la positivité de la forme quadratique et enfin;•son caractère défini-positif.

A ce niveau, on conclut que la forme bilinéaire symétrique est bien unproduit scalaire.Définition :Un espace vectorielpréhilbertienest un espace vectoriel muni d"un produit scalaire.Un espace vectoriel préhilbertien est donc un espace vectoriel réel. Il peut être de dimension finie ou

infinie.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens 5 - 3Définition :Un espace vectorieleuclidienest un espace vectoriel de dimension finie muni d"un produit sca-

laire.Un espace vectoriel euclidien est donc un espace vectoriel réel.1.5. Exemples classiques a/ Produit scalaire défini par une intégrale

On va montrer que surR[X],?P,Q?=?

1

0P(t)Q(t)dtest un produit scalaire.

Il faut d"abord montrer que c"est une forme bilinéaire symétrique, c"est à dire qu"elle est linéaire par rapport à

la première variable et symétrique.

On considère des polynômes quelconquesP1,P2,Qet des scalaires quelconquesλ,μ.•?λP1+μP2,Q?=λ?P1,Q?+μ?P2,Q?par simple linéarité de l"intégration.•?P,Q?=?Q,P?carP(t)Q(t)=Q(t)P(t)pour toutt

Il faut ensuite montrer que la forme quadratique est positive puis définie-positive. On considère un polynôme quelconqueP.•?P,P?=? 1

0P2(t)dt?0 par positivité de l"intégrale. La forme est positive.•?P,P?=?

1

0P2(t)dt=0 implique que?t?[0.1],P2(t)=0 car c"est un polynôme, donc une appli-

cationcontinue, qui est de plus positive et d"intégrale nulle (théorème des 3 conditions). On a donc

?t?[0.1],P(t)=0 et enfin,?t?R,P(t)=0, c"est à direP=0 car unpolynômequi a une infinité de racines est nul.

La forme est donc bien définie positive.

Finalement, surR[X],?P,Q?=?

1

0P(t)Q(t)dtest un produit scalaire.

b/ Produit scalaire sur un espace de matrices

Montrons que

?A,B?=tr?tAB?définit un produit scalaire surMn(R).

Il faut montrer la linéarité par rapport à la première (ou la deuxième) variable, la symétrie, puis il faut montrer

que la forme quadratique associée est positive, puis définie-positive.•?A,λB+μC?=tr?tA(λB+μC)?=tr?λtAB+μtAC?=λtr?tAB?+μtr?tAC?

Ce qui donne:

?A,λB+μC?=λ?A,B?+μ?A,C?en utilisant la linéarité de la trace.•?B,A?=tr?tBA?=tr?t?tBA??=tr?tAB?=?A,B?, en utilisant le fait qu"une matrice et sa transposée

ont la même trace.

La forme est donc bilinéaire symétrique.•tABa pour coefficienti`emeligne,i`emecolonne:nå

j=1ajibji, celui detAAest:nå j=1a2ji d"où: ?A,A?=nå i=1nå j=1a2ji=nå i=1nå j=1a2ij?0. La forme est bien positive.•?A,A?=0 donnenå i=1nå j=1a2ij=0 puis?i,j? {1,2,...,n},ai,j=0 et enfinA=0.

La forme est définie positive.

On a bien un produit scalaire. De plus:

?A?2=?A,A?=nå i=1nå

j=1a2ij.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5 - 4 Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens1.6. Inégalité de Cauchy-Schwarz (ou de Schwarz)Théorème :?·,·?un produit scalaire surE, alors,

?u,v?E,|?u,v?|???u,u???v,v? L"égalité n"est vérifiée que siuetvsont liés.

Démonstration :On a?λ?R,

u+λ.v,u+λ.v??0 v,v?λ2+2?u,v?λ+?u,u??0

expression du second degré enλ, qui ne change pas de signe, elle a donc un discriminant négatif,

d"où: Δ4=?u,v?2-?v,v??u,u??0 Ce qui assure le résultat.

Remarquons que l"égalité:

|?u,v?|=??u,u???v,v?ne se produit que siΔ=0, donc si ?v,v?λ2+2?u,v?λ+?u,u?=0 pour un certainλ.

Cela revient à

?u+λ.v,u+λ.v?=0 et enfinu+λ.v=0,uetvsont liés.Exemple :On va appliquer l"inégalité de Schwarz avec le produit scalaire précédent etQ(t)=t, compte tenu

que? 1

0t2dt=13, on obtient?

?1

0tP(t)dt?

2 ?13? 1

0P2(t)dtqui est un résultat valable pour tout polynôme

P.

On n"oubliera donc pas que l"inégalité de Schwarz permet de montrer de nombreuses inégalités??étonnantes??.

2. Norme dérivant d"un produit scalaire

2.1. Norme surEDéfinition :?E→R+

u?→?u?est une norme?? ???u,v?E,?u+v???u?+?v?(inégalité triangulaire) ?u?E,?λ?K,?λ.u?=|λ|?u?(positive homogénéité) u?=0?u=0 (séparation)

La norme d"un vecteuruest souvent notée?u?Même si on parle souvent delanorme d"un vecteur, il y a des infinités de normes différentes...Exemple :E=R2,?

???(x,y)?=?x2+y2est la norme usuelle, mais ?(x,y)?=|x|+|y|est une autre norme, de même que ?(x,y)?=max(|x|,|y|)en est une troisième

2.2. Norme dérivant d"un produit scalaireThéorème :Soit?·,·?un produit scalaire surE, alors:?u?=??u,u?=?q(u)est une norme surE.

Démonstration :

d"autre part, d"où, en utilisant l"inégalité de Cauchy-Schwarz, ?u+v?2??u?2+2?u??v?+?v?2=(?u?+?v?)2 ce qui donne la deuxième relation. Enfin:

?u?=0???u,u?=0??u,u?=0?u=0Tout produit scalaire induit donc une norme surE, souvent appelée norme euclidienne.

L"inégalité de Cauchy-Schwarz se réécrit alors: u,v?|??u??v?

Par contre, toutes les normes ne proviennent pas d"un produit scalaire... On verra des contre-exemples dans le

chapitre suivant.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens 5 - 52.3. Théorème de PythagoreThéorème :?·?une norme euclidienne et?·,·?son produit scalaire, alors?u,v?E,

u+v?2=?u?2+?v?2+2?u,v?Corollaire :?·?une norme euclidienne et?·,·?son produit scalaire, alors

u+v?2=?u?2+?v?2??u,v?=0 La démonstration a été faite dans la démonstration du théorème précédent.

3. Orthogonalité, Orthonormalité

3.1. OrthogonalitéDéfinition :uetvsont orthogonaux pour?·,·???u,v?=0Exemple :E=C0([0,2π]),?f,g?=?

2π

0f(t)g(t)dt, alors?f:t→sint

g:t→costsont orthogonales.

En effet, c"est encore le théorème des 3 conditions qui permet de prouver qu"on a encore affaire à un produit

scalaire et? 2π

0sintcostdt=?12sin2t?

2π 0

=0, ce qui prouve l"orthogonalité.Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.3.2. Orthogonal d"une partieThéorème :SoitAune partie non vide deE, préhilbertien,

A ?={u?E,?v?A,?u,v?=0} est un sous espace vectoriel deE. SiAne contient qu"un seul vecteurv, on le note alorsv?. Démonstration :A?est clairement non vide. Montrons qu"il est stable par combinaison linéaire. Soit? ??u

1,u2?A?

λ,μ?R

v?A, alors

Commevest quelconque, ceci prouve queλ.u1+μ.u2?A?qui est donc un sous espace vectoriel.Exemple :DansR[X], muni du nouveau produit scalaire (admis)?P,Q?=?

1 -1P(t)Q(t)dt, on va chercher

l"orthogonal de l"ensemblePdes polynômes pairs, dont on admet qu"il constitue un sous-espace vectoriel.

SoitQest un polynôme quelconque orthogonal à tous les polynômes pairs. On considèreQPetQIdéfinis parQP(t)=Q(t)+Q(-t)2etQI(t)=Q(t)-Q(-t)2qui sont respective- ment pairs et impairs.

On aQ=QP+QI.

SoitPun polynôme pair quelconque.

P,Q?=0=?

1 -1P(t)Q(t)dt=? 1 -1P(t)QP(t)dt+? 1 -1P(t)QI(t)???? impairdt=? 1 -1P(t)QP(t)dt

En prenantP=QP, on obtient en utilisant encore le théorème des 3 conditionsQP=0 et doncQest impair.

Comme tout polynôme impair convient, l"othogonal de l"ensemblePdes polynômes pairs est l"ensemble des

polynômes impairs.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5 - 6 Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiensThéorème :(Vect(u1,u2,...,un))?={u1,u2,...,un}?Pour avoir l"orthogonal d"un sous-espace vectoriel, il suffit donc de prendre l"orthogonal d"une base, ou

d"une famille génératrice en dimension infinie.Démonstration :Il est clair que(Vect(u1,u2,...,un))??{u1,u2,...,un}?

D"autre part, soitv?{u1,u2,...,un}?,?v,u1?=?v,u2?=...=?v,un?=0

On a donc

?v,λ1.u1+λ2.u2+···+λn.un?=0 ou encorev?(Vect(u1,u2,...,un))?3.3. Famille orthogonale, orthonormale de vecteursDéfinition :Une famille(ui)i?Ide vecteurs estorthogonale

?deux vecteurs quelconques de cette famille,ui,uj, pouri?=jsont orthogonaux.Définition :Une famille(ui)i?Ide vecteurs estorthonormale

??deux vecteurs quelconques de cette famille,ui,uj, pouri?=jsont orthogonaux.

tout vecteuruide cette famille est normé(?ui?=1).On passe d"une famille orthogonale de vecteursnon nulsà une famille orthonormale en normant chaque

vecteur.Théorème :Tout famille orthonormale ou toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Démonstration :Soitλ1.u1+λ2.u2+···+λn.un=0, on fait le produit scalaire parun, tous les?ui,un?sont

nuls sauf

?un,un?d"oùλn=0. Par récurrence immédiate, tous lesλisont nuls, la famille est libre.3.4. Théorème et procédé de SchmidtThéorème :Soit(e1,e2,...,en)une famille libre de vecteurs deEpréhilbertien, alors, il existe une famille

ε1,ε2,...,εn)orthonormale de vecteur telle que Vect Démonstration :Il suffit de fabriquer une famille orthonormale(ε1,ε2,...,εn), la dimension deVect(e1,e2,...,en)étantn, lesεisont non nuls.

La démonstration repose sur le fait qu"on ne change pas l"espace vectoriel engendré par une famille•en ajoutant à cette famille des vecteurs de l"espace vectoriel engendré ou•en enlevant à cette famille un ou des vecteurs combinaison linéaire des autres.

La démonstration se fait par récuurence surn.

Pourn=1,ε1=e1?e1?convient.

On l"admet au rangn, on le montre au rangn+1.

Vect =Vect(ε1,ε2,...,εn,en+1) alors ?ε?n+1,εi?=0 pour 1?i?n. On poseεn+1=ε?n+1??ε?n+1??avec toujours les mêmes orthogonalités.

Et donc

Vect

=Vect(ε1,ε2,...,εn,εn+1)Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens 5 - 7La famille(ε1,ε2,...,εn,εn+1)est bien orthonormale.Corollaire :Tout espace vectoriel euclidien, ou tout sous espace vectoriel de dimension finie d"un espace

préhilbertien possède au moins une base orthonormale.

Démonstration :On applique le théorème de Schmidt à une base quelconque.En pratique, la démonstration du théorème nous guide vers le procédé de Schmidt:•On part d"une base quelconque(e1,e2,...,en)•On poseε1=e1?e1?C"est le premier vecteur de la base orthonormale.•On poseε?2=e2+λ.ε1On chercheλtel que?ε?2,ε1?=0, ce qui donneλ=-?e2,ε1?•On poseε2=ε?2?ε?2?C"est le deuxième vecteur de la base orthonormale.•On poseε?3=e3+λ.ε1+μ.ε2On chercheλetμtel que??ε?3,ε1?=0

ε?3,ε2?=0, d"où?λ=-?e3,ε1?

μ=-?e3,ε2?•On poseε3=ε?3??ε?3??C"est le troisième vecteur de la base orthonormale.•On continue ainsi en n"oubliant pas qu"à chaque étape, le calcul s"allonge...•En pratique, on travaille en théorique le plus longtemps possible! On profite ainsi de nombreuses sim-

plifications à priori.Exemple :DansE=R2[X], muni du nouveau produit scalaire (admis)?P,Q?=? 1 -1P(t)Q(t)dt, on va chercher une base orthonormale. On part de la base?1,X,X2? On aε?1=1 puisε1=1⎷2le premier vecteur normé, ceci par un calcul simple.

?2=X+λε1, on écrit?ε?2,ε1?=0=?X,ε1?+λ=λ, et on obtientε2=X?32, encore par un calcul simple.

?3=X2+λε2+με1, on écrit?ε?3,ε1?=0=?X2,ε1?+μd"oùμ=-⎷23et?ε?3,ε2?=0=?X2,ε2?+λ=λ

D"oùε?3=X2-13qu"il suffit de normer pour obtenirε3=X2-13215⎷10=?3X2-1?⎷52⎷2

On voit que le calcul devient vite complexe...

3.5. Projection orthogonale sur un sous espace de dimension finieThéorème :Eun espace vectoriel préhilbertien,Fun sous espace vectoriel de dimension finie muni d"une

base orthonormale (e1,e2,...,en). Alors définit un projecteur. Et comme (u-p(u))?F?, on dit quepest la projection orthogonale surF. La figure1, page suivante, illustre ce théorème.

Démonstration :Pour montrer que(u-p(u))?F?, il suffit de montrer qu"il est orthogonal à chaqueei.

?u,ei?-??u,ei?.ei,ei? car tous les autres termes sont nuls. D"où u-p(u),ei?=?u,ei?-?u,ei??ei,ei?=0

pest clairement linéaire par linéarité du produit scalaire par rapport à la première variable.Cours de Spé T.S.I.c?Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5 - 8 Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiensFu-p(u)

u p(u)

2E

e e2 1

1Figure 1 -Projection sur un sous-espace de dimension finieIl reste à montrer quepest un projecteur, c"est à direp◦p=p.

p◦p(u)=p(p(u)) =p(?u,e1?.e1+···+?u,en?.en) ?u,e1?.p(e1)+···+?u,en?.p(en) ?u,e1?.e1+···+?u,en?.en carp(ei)=?ei,ei?.ei=ei.

D"où

p◦p(u)=p(u) et enfin p◦p=p LorsqueEest de dimension finie, on montre facilement queE=F?F?etpest la projection surFparallèle-

ment àF?, on appelle souventqla projection surF?parallèlement àF, on a alorsId=p+q.En pratique, comme il faut une base orthonormale du sous espace sur lequel on projette, on chercherapsi

dimF?dimF?, etqsinon. On projette sur le plus petit...Exemple :DansE=R3muni du produit scalaire usuel, on cherchepla projection orthogonale sur le planP

d"équationx+y-z=0 P ?=Vect( ((1 1 -1) ))de base orthonormale( ((1/⎷3

1/⎷3

-1/⎷3)

Avecu=(

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