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1. Formes bilin´eaires. Formes quadratiques.

1.1. D´efinitions. SoitEun espace vectoriel surK(K=RouC).

Uneforme bilin´eairesurEest une application?:E×E→Klin´eaire par rapport `a chacune des deux variables. Une forme bilin´eaire?estsym´etriquesi?(x,y) =?(y,x) pour tout x,y?E. Si?(x,y) =-?(y,x) pour tousx,y?E, la forme est dite anti-sym´etrique(oualtern´ee). Chaque forme bilin´eaire s"´ecrit comme la somme d"une forme sym´etrique et d"une forme anti-sym´etrique:?=?++?-, o`u +(x,y) =12 (?(x,y) +?(y,x)) et?-(x,y) =12 (?(x,y)-?(y,x)). Pour une forme bilin´eaire sym´etrique on d´efinit laforme quadratique associ´eeq?:E→K:q?(x) =?(x,x). La forme bilin´eaire sym´etrique est d´etermin´ee par la forme quadratique associ´ee:?(x,y) =14 [q?(x+y)-q?(x-y)] ("identit´e de polarisation"). Exemples.1. Sifetgsont deux formes lin´eaires,?(x,y) =f(x)g(y) est une forme bilin´eaire.

2. Si?1,...,?ksont des formes bilin´eaires eta1,...akdes scalaires,

a

1?1+...+ak?kest une forme bilin´eaire.

3. SoitEl"espace des matricesk×n; alors?(A,B) =tr(tAB) est une

forme bilin´eaire sym´etrique.

4. SoitE=C([a,b],K) l"espace des fonctions continues sur [a,b], soit

p?C([a,b],K). Alors?(f,g) =?b af(t)g(t)p(t)dtest une forme bilin´eaire sym´etrique.

1.2. Expression en coordonn´ees.On suppose que dimE=n <∞.

SoitB= (e1,...,en) une base deE,x=?n1xiei, y=?n1yiei. Alors?(x,y) =?ni,j=1xiyj?(ei,ej) =?ni,j=1aijxiyjo`uaij=?(ei,ej). La matriceA= (aij) = (?(ei,ej)) est lamatrice de la forme bilin´eaire ?dans la baseB. La forme?est sym´etrique si et seulement si sa matrice (dans n"importe quelle base) est sym´etrique:aij=ajioutA=A. Si?est sym´etrique, la forme quadratique associ´ee s"´ecrit:q?(x) =?ni,j=1aijxixj. SoitXla colonne des composantes du vecteurx:tX= (x1,...,xn). Alors on peut ´ecrire?`a l"aide de la multiplication matricielle:?(x,y) =tXAY.

1.3. Changement de base (changement lin´eaire de coordonn´ees).

SoitB?= (e?1,...,e?n) une autre base deE, soitX?etY?les colonnes des coordonn´ees des vecteursxetydans la baseB?. 1 On aX=PX?etY=PY?, o`uPest la matrice de passage deB`a B ?. Alors?(x,y) =tXAY=tX?tPAPY?=tX?A?Y?o`uA?=tPAPest la matrice de la forme?dans la baseB?. (Noter que siAest sym´etrique,A?l"est aussi.)

1.4.On appellerangd"une forme bilin´eaire le rang de sa matrice (il ne

d´epend pas du choix de la base). On dit que la forme estnon-d´eg´en´er´ee si son rang est ´egal `a la dimension deE. Pour une forme?sym´etrique sonnoyauest d´efini par

Ker?={x?E:?y?E,?(x,y) = 0}.

Le noyau de?est le noyau de (l"application lin´eaire d´efinie par) la ma- trice de?. On a: rang (?) + dim (Ker?) = dim (E). Lemme.Caract´erisation du noyau en termes de la forme quadratique: x?Ker (?) si et seulement siq?(x+y) =q?(y) pour touty?E.

1.5. Equivalence des formes.

Deux formes bilin´eaires?etψsont dites´equivalentessi il existe un isomorphismef:E→Etel queψ(x,y) =?(f(x),f(y)). Si dim(E)<∞, les formes?etψsont ´equivalentes si leurs matricesA etBsont li´ees parB=tPAPavecPinversible (autrement dit, si on peut trouver deux bases dans lequelles?etψont la mˆeme matrice).

1.6.Soit?une forme bilin´eaire symetrique. Les vecteursxetysont

orthogonauxsi?(x,y) = 0. Une base est diteorthogonalesi ses vecteurs sont deux `a deux orthogonaux. Dans une base orthogonale la forme s"´ecrit?(x,y) =?n1aixiyi, et sa matrice est diagonale. La forme quadratique associ´ee devient alors une combinaison lin´eaire de carr´es:q(x) =?n1aix2i. Le rang de?(ou deq) est le nombre de coefficientsainon-nuls. Le noyau de?est engendr´e par les vecteurs de baseeipour lesquelsai= 0.

1.7. Orthogonalisation de Gauss(r´eduction en carr´es).

L"orthogonalisation de Gauss permet de fabriquer une base orthogonale pour la forme quadratiqueq?(x) =?ni,j=1aijxixjpar des changements de coordonn´ees successives.

Cas 1. Soita11?= 0. On ´ecrit

q ?(x) =?ni,j=1aijxixj= a

11(x1+1a

11? nj=2a1jxj)2+?ni,j=2aijxixj-(1a 11? nj=2a1jxj)2 =a11y21+q1(x2,...,xn), o`uy=x1+1a 11? nj=2a1jxj. Ensuite il reste `a diagonaliser la formeq1(x2,...,xn) (r´ecurrence). 2 Cas 2.Soita11= 0 . Soita1j?= 0 etajj= 0 (siajj?= 0, on est dans le cas 1 avecj`a la place de 1). Pour simplifier, soitj= 2.

On ´ecrit

q ?(x) =?ni,j=1aijxixj=a12(x1+1a 12? nj=3a2jxj)(x2+1a 12? nj=3a1jxj) +?ni,j=3aijxixj-1a

12(?nj=3a1jxj)(?nj=3a2jxj)

=a12y1y2+q2(x3,...,xn).

Ensuite on posez1=y1+y2,z2=y1-y2et on ay1y2=14

(z21-z22). Apr`es cela il reste `a diagonaliser la formeq2(x3,...,xn).

1.8. Equivalence des formes quadratiques.

Deux formes quadratiques sont´equivalentessi les formes bilin´eaires sym´etriques associ´ees sont ´equivalentes; en d"autres termes,q1etq2sont ´equivalentes si il existe un isomorphismef:E→Etel queq2(x) =q1(f(x)). Pour une forme r´eduit en carr´es on ´ecrit q(x) =?ki=1aix2iavecai?= 0,i= 1,...,k. Donckest le rang deq.

Equivalence surC.En posant ˜xi=⎷a

ixion obtient la forme r´eduite: q(x) =?ki=1˜x2i. Corollaire.Deux formes quadratiques surCsont ´equivalentes si et seulement si elles ont le mˆeme rang.

Formes quadratiques surR. Signature.

On regroupe les coefficients positifs et n´egatif et on ´ecrit q(x) =?ri=1aix2i-?r+si=r+1aiy2iavecai>0,i= 1,...,k. Th´eor`eme de Sylvester.Les entiersrets(le nombre de carr´es positif et n´egatifs) sont ind´ependants du choix de la baseq-orthogonale. Le couple (r,s) s"appellesignaturede la forme quadratique.

On ar+s= rang(q).

En posant ˜xi=⎷a

ixion obtient laforme r´eduite:q(x) =?ri=1˜x2i-?r+si=r+1˜x2i. Corollaire.Deux formes quadratiques surRsont ´equivalentes si et seulement si elles ont la mˆeme signature. Lemme.Caract´erisation "intrinseque" de la signature.r(respective- ment,s) est ´egal `a la dimension maximale d"un sous-espaceFtel que la restriction deq(respectivement, de-q) surFsoit d´efinie positive.

1.9.La forme quadratiqueqest ditepositivesiq(x)≥0 pour tout

x?E(donc, sis= 0). La forme quadratiqueqest dited´efinie positivesiq(x)>0 pour tout xnon-nul (donc, sir=dim(E)). 3 En termes matriciels,Aest positive sitXAX≥0 pour toutX;Aest d´efinie positive si tXAX >0 pour toutX?= 0. Remarque:pour toute matriceCla matriceA=tCCest positive;tCC est d´efinie positive si et seulement siCest inversible. Exemple: ´etude des extr´ema.Soitf(x1,...,xn) une fonction de classeC2 dansRn. Soit 0 = (0,...,0) un point critique:∂f∂x i(0) = 0,i= 1,...,n. On consid`ere le d´ev´eloppement limit´e defen 0 `a l"ordre 2: f(x) =f(0) +12 i,jhi,jxixj+o(?x?2), o`uhij=∂2f∂x i∂xj(0).

La forme quadratiqueH(x) =?

i,jhi,jxixjs"appelle la forme Hessienne defen 0. Proposition.(i) Sifadmet un minimum local enO,Hadmet un minimum en 0 et doncHest positive. (ii) SiHadmet un minimum strict en 0 et donc est d´efinie positive,f admet un minimum local strict en 0.

1.10. Orthogonalisation de Gauss pour les formes d´efinie posi-

tives. Siq?(x) =?ni,j=1aijxixjest d´efinie positive, on aaii>0 pour tout i. Donc dans l"algorithme de Gauss on rencontre uniquement le cas 1 (voir

1.7.). La matrice de changement de variables est `a chaque ´etape triangulaire

(sup´erieure); la matrice de passagePvers la base orthonormale dans laquelle qest la somme des carr´es est donc triangulaire sup´erieure:tPAP=In. Soit

C=P-1. On aA=tCC.

Th´eor`eme de factorisation triangulaire (Gauss-Cholesky). Pour toute matriceAsym´etrique d´efinie positive il existe une unique matriceCtriangulaire sup´erieure `a diagonale positive telle queA=tCC.

2. Produit scalaire. Espaces Euclidiens.

2.1.SoitEunR-espace vectoriel. Unproduit scalairesurEest une

forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive, not´e< .,. >. Lanorme euclidienneassoci´ee est d´efinie par?x?2=< x,x >. La distance euclidiennedsurEest d´efinie pard(x,y) =?x-y?. Le produit scalaire est d´etermin´e par la norme: < x,y >=14 (?x+y? - ?x-y?) ("identit´e de polarisation"). Exemples:1. Produit scalaire canonique dansRn:< x,y >=?n1xiyi; la norme est donn´ee par le "th´eor`eme de Pythagore":?x?2=?n1x2i. 4

2.E=C([a,b],R),< f,g >=?b

af(t)g(t)dt. UnR-espace vectoriel de dimension finie muni d"un produit scalaire s"appelleespace euclidien.

2.2.Deux vecteursxetysontorthogonauxsi< x,y >= 0.

Sous-espace orthogonale.SoitA?E;l"orthogonaldeAest l"ensemble de vecteurs deEorthogonaux `a tous les vecteurs deA: A ?={x?E:?y?Aon a< x,y >= 0}. Il est claire queA?est un sous-espace vectoriel deE. Deux sous-espacesE1etE2sontorthogonauxsi tout vecteur deE1 est orthogonal `a tout vecteur deE2(E2?E?1). Famille orthogonale.Une famille de vecteurs deEest diteorthogo- nalesi les vecteurs de cette famille sont deux `a deux orthogonaux. Une famille de vecteurs deEest diteorthonormalesi elle est orthog- onales et tous ses vecteurs sont de norme 1. Lemme.Une famille orthogonale sans vecteurs nuls est libre. Exemple.DansC([0,2π]) avec le produit scalaire< f,g >=1π 2π

0f(t)g(t)dt

la famille (

1⎷2

,cosnx,sinnx)n≥1est orthonormale.

2.3. Coordonn´ees dans une base orthonormale.

Soit (e1,...,en) une base orthonormale, soitx=?n1xiei,y=?n1yiei. Alors< x,y >=?n1xiyi,?x?2=?n1x2i("th´eor`eme de Pythagore") et x i=< x,ei>. Coordonn´ees dans une baseorthogonale:< x,y >=?n1< ei,ei> xiyi ,?x?2=?n1< ei,ei> x2ietxi=.

2.4. Orthogonalisation de Gram-Schmidt.

Soit (v1,...,vn,...) une famille libre dansE. On peut construire une famille orthonormalee1,...,en,...telle queV ect(v1,...,vk) =V ect(e1,...,ek) pour toutk≥1. (Autrement dit,ekest une combinaison lin´eaire de v

1,...,vk.)

Construction par r´ecurrence:

On posee1=v1?vi?; ˜ek+1=vk+1-?k1< vk+1,ei> eietek+1=˜ek+1?˜ek+1?. Corollaire.Tout espace Euclidien admet une base orthonormale. Toute famille orthonormale peut ˆetre compl´et´ee en une base orthonormale.

2.5. Projection orthogonale.

SoitF?Eun sous-espace de dimention finie.

Soit (e1,...,en) une base orthonormale deF.

5 On d´efinitPF:E→EparPF(x) =?n1< x,ei> ei. AlorsPFest un projecteur surFparall`element `aF?. Corollaire.SiFest un sous-espace de dimension finie,F?est un suppl´ementaire deF:E=F?F?, somme directe orthogonale. On a aussi (F?)?=F.

Projection orthogonale dans une base quelconque.

Le vecteury=PF(x) est caract´eris´e par les conditionsy?Fet< y,z >=< x,z >pour tout vecteurzdeF.

Soit (e1,...,en) une base deF.

PosonsPF(x) =?n1uiei; pour d´eterminer les coeeficientsuion doit r´esoudre le syst`eme:?n1ui< ei,ej>=< x,ej>,j= 1,...,n. La matrice de ce syst`emeG= (< ei,ej>) s"appellematrice de Gram. Si (˜e1,...,˜en) est une base orthonormale etA= (aij) = (<˜ei,ej>), alors

G=tAA. En particulier, d´etG= (d´etA)2.

2.6. Projection othogonale et meilleur approximation en moyenne

quadratique. Distance `a un sous-espace. Lemme.SoitFest un sous-espace de dimension finie etx?E. Alors la projectionPF(x) r´ealise la distance minimale entrexet les vecteurs de

F:?x-PF(x)?= min{?x-z?,z?F}.

Exemple. Ajustement affine.

Soitx1< x2< ... < xnetS= (x1,...,xn).

SoitEl"espace des fonctions d´efinies surS`a valeurs r´eelles. Le produit scalaire dansEest d´efini par< f,g >=?n1f(xi)g(xi); Etant donn´ef,l"ajustement affine par les moindres carr´esconsite `a

d´eterminer une fonction affineφ(x) =ax+btelle que l"´ecart?f-φ?2=?n1[f(xi)-φ(xi)]2soit minimal.

La r´eponse est donn´ee par la projection orthogonal sur le sous-espace des fonctions affines. Les coefficientsaetbsont les solutions du syst`eme lin´eaire:< φ,1>=< f,1>,< φ,x >=< f,x >. Plus explicitement, na+ (?xi)b=?f(xi), (?xi)a+ (?x2i)b=?xif(xi). Exemple. Meilleur approximation en moyenne quadratique par des polynˆomes trigonom´etriques.

0(f(t)-p(t))2dtsoit minimal.

6 La r´eponse est donn´ee par la projection orthogonal dansC([0,2π]) sur scalaire est< f,g >=?2π

0f(t)g(t)dt. Les coefficients du polynˆomep(t) sont:

a

0=12π?

2π

0f(t)dt,ak=1π

2π

0f(t)cos(kt)dt,bk=1π

2π

0f(t)sin(kt)dt.

2.7. In´egalit´e de Bessel et ´egalit´e de Bessel-Parseval.

Th´eor`eme.Soit (e1,...,en,...) une famille orthonormale etx?E. Alors (ii)?∞i=1< x,ei>2=?x?2si et seulement sixappartient `a l"adh´erence de l"espace vectoriel engendr´e par la suite (e1,...,en,...). Exemple: s´eries de Fourier.Avec le produit scalaire< f,g >=1π 2π

0f(t)g(t)dt

dansC([0,2π]) la famille (1⎷2 ,cosnt,sinnt)n≥1est orthonormale; les com- binaisons lin´eaires des ses fonctions - les polynˆomes trigonom´etriques - sont denses dansC([0,2π]). Soita0=12π? 2π

0f(t)dt,an=1π

2π

0f(t)cos(nt)dt,

b n=1π 2π

0f(t)sin(nt)dt. On a l"´egalit´e de Parseval:

1π 2π

0f(t)2dt= 2a20+?∞n=1(a2n+b2n).

Egalit´e de Bessel-Parseval dans une "base" orthogonale. Si (e1,...,en,...) est une famille orthogonale etxappartient `a l"adh´erence de l"espace vectoriel engendr´e par la suite (e1,...,en,...), alors ?x?2=?∞i=12.

3. Formes bilin´eaires et endomorphismes.

3.1.SoitEun espace Euclidien etB= (e1,...,en) une base orthonor-

male.

Soitf?L(E),f(ej) =?

iai,jeietA= (aij) la matrice def. On d´efinit la forme associ´ee:?f(x,y) =< x,f(y)>. La matrice de?f dans la baseBest: (< ei,f(ej)>) = (aij) =A. La correspondance entref et?fest donc une bijection lin´eaire entre l"espace des endomorphismes et l"espace des formes bilin´eaires. Si on ´ecritψf(x,y) =< f(x),y >, alors la matrice deψfest la transpos´ee deA:< f(ei),ej>=aji. Il existe donc un unique endomorphismef?tel que< x,f(y)>=< f?(x),y >pour tousx,y?E. D´efinition.L"endomorphismef?tel que< x,f(y)>=< f?(x),y > s"appellel"adjointdef; sa matrice dans une base orthonormale est la trans- pos´ee de la matrice def. D´efinition.L"endomorphismefest ditauto-adjointousym´etrique sif?=f. L"endomorphismefest sym´etrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est sym´etrique. 7 Exemple.Une projection orthogonale est sym´etrique.

3.2.Propri´et´es def?.L"applicationf→f?est lin´eaire; (f?)?=f,

(fg)?=g?f?et (f-1)?= (f?)-1.

Lemme.(1) Kerf?= (Imf)?et Imf?=( Kerf)?.

(2) L"orthogonal d"un sous-espace stable parfest stable parf?. Corollaire.Sifest sym´etrique, Kerf= (Imf)?etEest la somme orthogonale de Kerfet Imf. L"orthogonal d"un sous-espace stable parf est stable parf.

3.3. Diagonalisation des matrices sym´etriques.

Proposition.Soitfun endomorphisme auto-adjoint. Alors (i) Toutes les valeurs propres defsont r´eelles. (ii) Les sous-espaces propres defsont deux `a deux orthogonaux. (iii)fest diagonalisable dans une base orthonormale. Caract´erisation min-max des valeurs propres (Rayleigh).Soitf un endomorphisme auto-adjoint.

On d´efinit la fonctionQ(x) =

dansE- {0}. Alors (i) Les points critiques deQsont pr´ecisement les vecteurs propres def. (ii) max{Q(x),x?E-{0}}(respectivement, min{Q(x),x?E-{0}}) est ´egal `a la valeur propre maximale (respectivement, minimale) def.

3.4.Un endomorphisme sym´etriquefest ditpositif(respectivement,

d´efini positif) si la forme associ´ee< x,f(y)>est positive (respectivement, d´efini positive). La proposition pr´ec´edente montre que"un endomorphisme sym´etrique est positif (respectivement, d´efini positive) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives (respectivement, stictement positives). Une matrice sym´etriqueAest ditpositive(respectivement,d´efini pos- itive) sitXAX≥0 pour toutX?Rn(respectivement,tXAX >0 pour toutXnon-nul). Exemple: racine carr´e d"une matice positive.Soitfun endomorphisme positif, Π ile projecteur spectral associ´e `a la valeur propreλi,i= 1,...,k.

On af=?λiΠi. Posonsg=?⎷λ

iΠi. Alorsgest sym´etrique positif etg2=f. On peut montrer qu"une telle racine carr´e positive⎷f=gest unique.

3.5. Diagonalisation d"une forme quadratique dans une base

orthonormale. Soitqune forme quadratique et soitfun endomorphisme auto-adjoint tel queq(x) =< x,f(x)>. On a vu que dans une base orthonormaleqetf 8 ont la mˆeme matrice. Donc dans une base orthonormale de vecteurs propres defla matrice deqest diagonale etqest une combinaison lin´eaire de carr´es. Proposition."R´eduction aux axes principaux".Pour toute forme quadratiqueqil existe une une base orthonormale dans laquelle la matrice de qest diagonale etqest une combinaison lin´eaire de carr´es:q(x) =?n1aix2i. Les coefficientsaisont les valeurs propres de l"endomorphisme auto-adjoint fassoci´e (q(x) =< x,f(x)>). On peut reformuler ce r´esultat comme ladiagonalisation simultan´ee de deux formes quadratiques:la formeqet le produit scalaire< x,x >.

4. Transformations orthogonales.

4.1.SoitEun espace Euclidien.

Un endomorphismeUdeEestorthogonal(est une isom´etrie lin´eaire) siUpr´eserve le produit scalaire:< Ux,Uy >=< x,y >pour toutx,y?E. Proposition.Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes. (i)Uest orthogonal. (ii)Upr´eserve la norme:?Ux?=?x?pour toutx?E. (iii)Utransforme une base orthonormale en base orthonormale. (iv)Utransforme toute base orthonormale en base orthonormale. Un endomorphisme orthogonal est injectif, donc inversible (dimE <∞!). Son inverse est aussi orthogonal.

4.2.L"´egalit´e< Ux,Uy >=< x,y >s"´ecrit aussi

< U ?Ux,y >=< x,y >ce qui est ´equivalent `aU?U=In. DoncUest orthogonal si et seulement siU?U=In, uo encore ssiU-1=U?. Unematrice orthogonaleest la matrice d"un endomorphisme orthogo- nal dans une base orthonormale. Une matrice orthogonaleAest caract´eris´ee par la relation tAA=AtA=Inqui signifie que les colonnes deA(aussi que ses lignes) constituent une base orthonormale par rapport au produit scalaire canonique dansRn.

4.3.Transformations orthogonales et diagonalisation d"une forme quadra-

tique dans une base orthonormale. SoitAla matrice d"une forme quadratiqueqdans une baseB; soitPla matrice de passage deB`a une autre baseB?. Alors la matrice de la formeq dans la baseB?estA?=tPAP. Si les deux basesBetB?sont orthonormales, Pest orthogonale:tP=P-1et on aA?=tPAP=P-1AP. Donc laquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41