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- Universit´e Pierre Mend`es France - IUT 2 (Grenoble) d´epartement STID -

Notes de cours Alg`ebre 2

Alexandre Janon

21 d´ecembre 2010

Table des mati`eres

1 Formes bilin´eaires2

1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Exemples et contre-exemples en dimension 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Expression d"une forme bilin´eaire dans une base.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Matrice d"une forme bilin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Formes bilin´eaires sym´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Formes quadratiques5

2.1 D´efinition et exemples.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 D´efinie-positivit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Crit`ere pratique de d´efinie-positivit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Produits scalaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Orthogonalit´e9

3.1 Vecteurs orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Bases orthogonales, orthonormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Orthogonal d"un sous-espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Orthogonalisation de Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 Projection orthogonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5.1 Matrice d"une projection orthogonale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5.2 Diagonalisation d"une matrice de projection orthogonale.. . . . . . . . . . . . 16

3.5.3 Application : base de l"intersection de deux sous-espaces vectoriels.. . . . . . 16

3.5.4 Propri´et´e d"optimalit´e du projet´e orthogonal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Diagonalisation des matrices sym´etriques18

4.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 Matrices orthogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.2 Diagonalisation d"une matrice sym´etrique en base orthonorm´ee. . . . . . . . . 18

4.2 Ecriture r´eduite d"une forme quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Application 1 : extrema d"une forme quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Application 2 : extrema d"une forme quadratique, sous contrainte de norme. . . . . . 23

4.5 Racine carr´ee d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5.2 Calcul d"une racine carr´ee de matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.3 Application : simulation de gaussiennes corr´el´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

1 Formes bilin´eaires1.1 D´efinitionSoitun espace vectoriel surR.

D ´efinitionUneforme bilin´eairesurest une fonction:Rtelle que (+) =() +() (1) () =()(2) (+) =() +() (3) () =()(4) quels que soientetR.

Autrement dit, une forme bilin´eaire prend en entr´ee deux vecteurs, renvoie en sortie un nombre r´eel,

et est lin´eaire par rapport `a chacune de ses deux variablesd"entr´ee.

1.2 Exemples et contre-exemples en dimension 2

Pla¸cons nous dans le cas o`u=R2.

1. Soit :

() = 211+ 31221+ 422 o`u (12) et (12) d´esignent respectivement les coordonn´ees de(resp.) dans la base canonique deR2. V´erifions que c"est bien une forme bilin´eaire : soientetR. On a : (a) (+) = 2(1+1)1+ 3(1+1)2(2+2)1+ 4(2+2)2 = 211+ 211+ 312+ 3122121+ 422+ 422 = 211+ 31221+ 422+ 211+ 31221+ 422 (b) () = 211+ 31221+ 422 =(211+ 31221+ 422) (c) (+) = 21(1+1) + 31(2+2)2(1+1) + 42(2+2) = 211+ 211+ 312+ 3122121+ 422+ 422 = 211+ 31221+ 422+ 211+ 31221+ 422 (d) () = 21(1) + 31(2)2(1) + 42(2) =(211+ 31221+ 422) 2

2. De mani`ere g´en´erale, toute expression du type :

() =1111+1212+2121+2222

o`u11,12,21et22sont des r´eels (ne d´ependant pas deet de) d´efinit une forme bilin´eaire

surR2. En fait, toute forme bilin´eaire surR2a une expression de ce type.

3. Soit

() =11+ 4 n"est pas une forme bilin´eaire. En effet : (+) = (1+1)1+ 4 =11+11+ 4 mais () +() =11+ 4 +11+ 4 =11+11+ 8 donc la propri´et´e (1) n"est pas v´erifi´ee.

4. Soit

() =12+12 n"est pas une forme bilin´eaire. En effet : () =212+12 alors que : () =12+12 La propri´et´e (2) n"est donc pas v´erifi´ee.

5. Pour=R2, soit

() =1+1 n"est pas bilin´eaire, puisque : () =1+1 alors que : () =(1+1) =1+1 La propri´et´e (2) est donc mise en d´efaut.

1.3 Expression d"une forme bilin´eaire dans une base.

Pla¸cons nous dans le cas d"un espacede dimension finie,=Rn.

Nous g´en´eralisons la propri´et´e donn´ee `a l"exemple 2.du paragraphe pr´ec´edent de la fa¸con suivante :

PropositionSoitune base de. Toute forme bilin´eairesurpeut s"´ecrire de la fa¸con suivante : () =n i=1n j=1 ijij(*) o`u lesijsont des r´eels, et1n(resp.1n) sont les coordonn´ees de(resp.) dans la base. Cette propri´et´e nous dit, par exemple, que toute forme bilin´eaire surR3s"´ecrit : () =1111+1212+1313+2121+2222+2323+3131+3232+3333 o`u les coefficientsijsont des r´eels. RemarqueLes coefficientsijd´ependent de la basechoisie. 3

1.4 Matrice d"une forme bilin´eaire

D

´efinitionLa relation (*) de la propri´et´e pr´ec´edente peut s"´ecrire `a l"aide de produits matriciels :

() =T o`u

11121n

21222n............

n1n2nn n(R) La matriceest appel´eematrice de la forme bilin´eairedans la base.

Exemple.

DansR2muni de sa base canonique, soit la forme bilin´eaire : () = 211+ 31221 Ecrivons la matrice dedans la base canonique.Pour cela on place le coefficient multipliant ij`a la-`eme ligne et-`eme colonne de: =2 3 1 0 Dans cet exemple, il n"y a pas de terme en22dans l"expression de(), on a donc mis un z´ero en ligne 2, colonne 2. V

´erifions la relation() =T.On a :

T= 122 3
1 0 21231
donc : T= 21231
1 2 = (212)1+ 312= 21121+ 312

1.5 Formes bilin´eaires sym´etriques

D ´efinitionOn dit qu"un forme bilin´eaireestsym´etriquesi

En pratique, pour d´eterminer si une forme bilin´eaire est sym´etrique ou non, nous utilisons :

Propositionest sym´etrique si et seulement si la matrice de(dans au moins une base - si elle est sym´etrique dans une base, alors elle l"est dans toutes)est sym´etrique. 4 Exemple et contre-exemplePla¸cons nous dans=R3, muni de la base canonique.

1. Soit :

() = 211+ 322+ 431+ 413

Matrice de:

=2 0 40 3 04 0 0

OnT=doncest sym´etrique doncaussi.

2. Soit :

() = 211+ 322+ 43113

Matrice de:

=2 01 0 3 0 4 0 0 n"est pas sym´etrique doncnon plus.

Une forme bilin´eaire est donc sym´etrique lorsque pour chaque terme enij, le terme enjiapparaˆıt

avec le mˆeme coefficient.

2 Formes quadratiques

2.1 D´efinition et exemples.

D ´efinitionSoitune forme bilin´eaire sym´etrique sur. Soitl"applicationRd´efinie par

On dit queest laforme quadratiqueassoci´ee `a.

RemarqueOn n"associe pas de forme quadratique `a une forme bilin´eaire non sym´etrique. D ´efinitionOn appellematrice d"une forme quadratiquedans une basela matrice de la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee (dans la base).

Exemples dans=R2

1. Soit

() = 311+ 212+ 221+ 522

Pour ´ecrireon fait=dans l"expression de() :

() = 321+ 212+ 221+ 522= 321+ 412+ 522 On remarque que les termes eniideviennent2i, et que les termes enij(pour ) sont doubl´es et remplac´es parij. 5

2. Dans le sens inverse, partant d"une forme quadratique :

() = 321+ 121222 retrouvons la forme bilin´eaire sym´etriquedontest la forme quadratique associ´ee. Pour cela : on remplace les termes2iparii, et ond´edoubleles termes enij(pour () = 311+ 612+ 62122

La matrice deest donc :3 661

2.2 D´efinie-positivit´e

D ´efinitionOn dit qu"uneforme quadratiqueestd´efinie positivesi()0 quelque soit ,= 0.

D´efinitionOn dit qu"unematrice sym´etriqueestd´efinie positivesi c"est la matrice (dans une

certaine base) d"une forme quadratique d´efinie positive.

Exemples et contre-exemples dansR2.

1. Soit

() =21+22 Le carr´e d"un r´eel ´etant toujours positif ou nul,()0 quelque soit. De plus, si= 0 alors au moins une des deux coordonn´ees deest non nulle, et alors() est non nul (donc0).

2. Soit

() =2122 n"est pas d´efinie positive : par exemple(10) =10

3. Soit

() =2122 n"est pas d´efinie positive : par exemple(12) = 14 =30

4. Soit

() =12 n"est pas d´efinie positive : par exemple(11) =10

L"´etude de la d´efinie-positivit´e d"une forme quadratique donn´ee n"est pas toujours sisimpleque

ci-dessus. Par exemple, en dimension 2, la forme () = 221212+22 est-elle d´efinie positive?

Pour r´epondre `a cette question, nous allons voir un crit`erecalculatoirequi permet de d´ecider si

une forme quadratique est positive ou non. C"est ce crit`ereque nous utiliserons en pratique. 6

2.3 Crit`ere pratique de d´efinie-positivit´e

PropositionUne forme quadratique est d´efinie positive si et seulement si les valeurs propres de sa matrice (dans une base quelconque) sont toutes strictement positives.

Exemple d"utilisation.

R´epondons donc `a la question pos´ee au-dessus : la matricede() = 221212+22est =21 1 1

Son polynˆome caract´eristique est :

A() = det(2) =21

1 1 = (2)(1)1 =23+ 1 dont les racines sont 3 + 5 2et3 5

2toutes deux strictement positives, doncest d´efinie positive.

Au passage, remarquons queest d´efinie positive (puisque c"est la matrice d"une forme quadratique

d´efinie positive), malgr´e qu"elle poss`ede des coefficients n´egatifs. En fait il n"y a aucun rapport (c"est-

`a-dire aucune implication, ni directe ni r´eciproque) entre ˆetre d´efinie positive et avoir des coefficients

positifs!

2.4 Produits scalaires

D ´efinitionUnproduit scalairesurest une forme bilin´eaire sym´etrique, dont la forme quadratique associ´ee est d´efinie positive. On dit aussi qued´efinit un produit scalaire.

Dans ce cas on note g´en´eralement :

Exemple : le produit scalaire usuel dansRn

On a d´efini le produit scalaireusuelde deux vecteurs deRn: =11+22++nn (o`u les coordonn´ees1n1nsont prises relativement `a la base canonique deRn).

C"est bien une forme bilin´eaire, dont la matrice dans la base canonique est la matrice identit´en.

La forme quadratique associ´ee est :

() =21+22++2n

qui est bien d´efinie positive (une somme de carr´es est toujours0 et si= 0 alors au moins desi

est non nul et() est alors non nul). Le produit scalaire usuel est donc bien un produit scalaire!

Autre exemple.

Il y a d"autres produits scalaires que le produit scalaire usuel. Par exemple, au paragraphe pr´ec´edent,

nous avons vu que, dansR2, la forme quadratique () = 221212+22 est d´efinie positive. La forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee d´efinit donc unproduit scalaire surR2: = 2111221+22 Dans la suite, nous notonsun produit scalairequelconque, et r´eservons la notationau produit scalaire usuel. 7

2.5 Normes

D ´efinitionSoitun produit scalaire sur. On appellenorme associ´ee`a ce produit scalairel"application:Rd´efinie par :

RemarqueLe fait quesoit d´efini positif assure le fait que la racine carr´ee ci-dessus a toujours

un sens.

Exemples.

1. La norme associ´ee au produit scalaire usuel est :

21+22++2n

C"est la norme euclidienne usuelle.

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