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La forme bilinéaire symétrique b est dite non dégénérée quand son noyau est réduit `a {0} Si E est de dimension finie, le rang de b est le rang de l'application 

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Corollaire 16 – Une forme bilinéaire ϕ est non dégénérée si et seulement si Ker q = {0}, o`u q est la forme quadratique associée `a ϕ Définition 17 – On dit qu' une 

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En particulier, le rang r de la matrice associée ne change pas car P et Q sont inversibles On dit que r est le rang de la forme bilinéaire B Proposition 3 2 1 Soient 

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DEFINITION 6 : FORME BILINEAIRE REGULIERE, DEGENEREE Une forme bilinéaire b sur E est dite non dégénérée (ou régulière) si Elle est dégénérée si  

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Réciproquement, toute forme quadratique q sur E pro- vient d'une seule forme bilinéaire symétrique : celle dé- terminée, lorsque la caractéristique de k n'est pas 2 

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Une base est dite orthogonale si deux vecteurs distincts la composant sont orthogonaux Lemme 4 Si φ est non-dégénérée, l'orthogonalité définit une involution 

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13 déc 2019 · NB : les deux premières sont de même rang, de même discriminant, mais ne sont pas congruentes Définition Soit q une forme quadratique sur 

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de l'existence d'une forme bilinéaire non dégénérée invariante En effet, il se peut tr`es bien que BilG(V ) soit nul, tandis que EndG(V ) contient toujours les 

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Idem (sans les σ) pour une forme bilinéaire : dans ce cas, on a det(B ) = det(B)( det(P))2, et la classe de det(B) dans K/(K∗)2 ne dépend pas de la base choisie; on 

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ALGÈBRE BILINÉAIRE

STÉPHANE LAMY

Table des matières

1. Formes quadratiques

1

1.1. Dualité

1

1.2. Formes bilinéaires

2

1.3. Relation de congruence, problème de la classification

3

1.4. Bases orthogonales, diagonalisation

5

1.5. Classification des formes quadratiques

6

1.6. Diagonalisation en base orthonormée

8

2. Groupe orthogonal

9

2.1. Groupe préservant une forme quadratique

9

2.2. Symétries, réflexions, renversements

10

2.3. Plan hyperbolique

11

2.4. Centre du groupe orthogonal

12

2.5. Générateurs

13

2.6. Le cas de la dimension 2

13

3. Isométries d"un espace euclidien

14

3.1. Dimension 2

14

3.2. Dimensionn16

3.3. Dimension 3

17

4. Compléments

18

4.1. Résolution au sens des moindres carrés

18

4.2. Décomposition en valeurs singulières

19

Références

21

Quelques sources :

Per96 ], chapitre V, VI et VIII. CG13 ], chapitres V, XI et XII. RW07 ], modules II.3 et II.4. Szp09 ], chapitre 4.

1.Formes quadratiques

1.1.Dualité.SoitEunk-espace vectoriel de dimension finien. Une application li-

néaireE→kest appelé uneforme linéaire. L"espace vectoriel de toutes les formes linéaires surEest appelé l"espace dual deE, notéE?. Étant donné une base(ei)surE, il existe une base préférée deE?, appeléebase duale de(ei), et notée(e?i).Date: 13 décembre 2019. 1

ALGÈBRE BILINÉAIRE 2

Définition abstraite :e?iest l"unique forme linéaire telle quee?i(ei) = 1ete?i(ej) = 0 pour toutj?=i. Définition en terme de coordonnées. Six?Eest un vecteur de coordonnées(x1,...,xn) dans la base(ei),e?iest la forme linéaire qui àxassocie laième coordonnéesxi("pro- jection sur leième axe parallèlement aux autres axes"). Définition en terme de produit matriciel : si on représente les éléments deEcomme des vecteurs colonnes, alors les élements deE?sont des vecteurs lignes, et l"évaluation ?(x)pourx?Eet??E?correspond au produit d"un vecteur ligne par un vecteur colonne, ce qui donne une matrice1×1que l"on identifie à un scalaire. La base(ei) correspond aux vecteurs colonnes ((((1 0... 0) ((((0 0 1) et la base duale(e?i)correspond aux vecteurs lignes (1,0,...,0),...,(0,...,0,1). Remarque.Une matrice rectangulaireApeut-être interprétée comme un ensemble de colonnes (images des vecteurs de base) ou comme une union de vecteurs lignes (forme

linéaire correspondant à laième coordonnée de l"application linéaire associée àA).

Remarque.La notatione?ipourrait faire penser quee?ine dépend que deei: ce n"estquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2