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Universit´e de Paris VI Master M1 2009-2010

D. BertrandAlg`ebre g´eom´etrique

CHAPITRE III

G

´EOM´ETRIE QUADRATIQUE

Dans tout ce chapitre,Kest un corps commutatif de caract´eristique?= 2, et lesK-espaces vectoriels sont de dimension finie. On suppose parfoisK muni d"une involutionσ?=idK. Alors,K=K0?K0ω, o`uσ(ω) =-ωet K

0={λ?K,σ(λ) =λ}. Exemples :K=C,σ= la conjugaison complexe,

K

0=R; ouK=F5[T]/(T2-2) :=F25,σ(λ) =λ5,ω= classe deT,K0=F5.

1 Formes bilin´eaires.

1.1 Vocabulaire

SoientE,E?deux espaces vectoriels surK. Une applicationb:E×E→E? est dite bilin´eaire (resp. sesquilin´eaire) si pour touty?E, l"application x?→b(x,y) est lin´eaire et pour toutx?E, l"applicationy?→b(x,y) est lin´eaire (resp.σ-lin´eaire:?λ?K,b(x,λy) =σ(λ)b(x,y)). LorsqueE?=K, on parle de forme bi- resp. sesqui-lin´eaire. Soientbune forme sesquilin´eaire, etB={e1,...,en},n=dimE,une base deE, dans laquellex,ysont repr´esent´es par des vecteurs colonnes X=t(x1,...,xn),Y. Alors,b(x,y) =tXBσ(Y)?K, o`uB= (bi,j= B ?= (e1,...,en).P,P?GLn(K), d´esigne une autre base,best repr´esent´ee dansB?par la matriceB?=tPBσ(P). Idem (sans lesσ) pour une forme bilin´eaire : dans ce cas, on adet(B?) =det(B)(det(P))2, et la classe dedet(B) dansK/(K?)2ne d´epend pas de la base choisie; on l"appelle lediscriminant discr(b) de la forme bilin´eaireb. Une forme bilin´eairebfournit deux applications lin´eaires naturelles deE vers son dualE?: b:E→E?:x?→ {φb(x) :y?→b(x,y)}, 1 etφtb:x?→ {φtb(x) :y?→b(y,x)}, qui est la transpos´ee deφb. Elles sont donn´ees, relativement `a la baseBet `a sa base dualeB?= (e?1,...,e?n), par les matrices tBetB. Ces applications (ou matrices) ont le mˆeme rang, qu"on appellele rang deb. On dit quela formebest non d´eg´en´er´ee si rang(b) =n, c-`a-d. sidet(B)?= 0, c-`a-d. siφb(ou, de fa¸con ´equivalente, tb) est un isomorphisme1. Les noyaux deφbet deφtbont mˆeme dimension, ´egale `an-rang(b). Sous les hypoth`eses qu"on va maintenant faire surb, ils co¨ıncident, et s"appellent alorsle noyau deb. On suppose d´esormais que l"une des conditions suivantes est satisfaite : •bestbilin´eaire sym´etrique2:?x,y?E,b(x,y) =b(y,x), c-`a-d.:φb=φtb; •bestbilin´eaire antisym´etrique:?x,y,b(x,y) =-b(y,x), c-`a-d.:φb=-φtb; •besthermitienne:bsesquilin. et?x,y,b(x,y) =σ(b(y,x)) :φb=σ◦φtb. ce qui, en termes matriciels, se traduit par tB=B(matrice sym´etrique), tB=-B(matrice antisym´etrique) outB=σ(B) (matrice hermitienne). Dans ces conditions, on dit que deux partiesX,YdeEsontorthogonales relativement `ab, notation :X?Y, si?x?X,y?Y,b(x,y) = 0. Alors Y?X. L"orthogonalE?deEest le noyauKer(φb) =Ker(φtb) deb. On a doncdimE?+rang(b) =dimE, etbest non d´eg´en´er´ee si et slt siE?={0}. Pour toute partieSdeE, l"ensembleS?={y?E,?x?S,x?y}est un sous-espace vectoriel deE, qui v´erifieS?(S?)?. Une somme directe directe E=E1?...?Ekest dite orthogonale siEi?Ejpour touti?=j. Sibest une forme bilin´eaire sym´etrique ou hermitenne, on appelleforme quadratiqueou quadratique hermitienne associ´ee `abl"applicationq=qb: E→K:x?→q(x) :=b(x,x). Les formulesb(x,y) =14(q(x+y)-q(x-y)) (cas bilin´eaire sym´etrique) etb(x,y) =14(q(x+y)-q(x-y)) +14ω(q(ωx+ y)-q(ωx-y)) (cas hermitien) permettent de retrouverb`a partir deq. On dit quebest la forme polaire deq, et on appelle rang deqcelui deb. Dans le cas bilin´eaire sym´etrique, la formuleq(x+h) =q(x)+2b(x,h)+q(h) permet d"interpr´eter 2b(x,.) = 2φb(x) comme la differentielle deqenx. On dit qu"une forme bilin´eairebest altern´ee si?x?E,b(x,x) = 0.

CommecarK?= 2, cela ´equivaut `a dire quebest antisym´etrique (tandis que1On pourra donner des ´enonc´e similaires pourbsesquilin´eaire, en introduisant le

K-espace vectorielE?,σdes formesσ-lin´eaires surE. Par ailleurs, tout ´el´ementφde L(E,E?) fournit deux formes bilin´eairesbφ(x,y) =φ(x)(y),bφt(x,y) =φ(y)(x), et on peut ainsi retrouverb`a partir deφbou deφtb. Quelle est la version sesquilin´eaire ?

2En anglais :symmetric. Mais un seulmen fran¸cais.

2 pourcarK= 2,best antisym´etrique si et slt si elle est sym´etrique). Un vecteur non nulx?Eest ditisotropesiq(x) = 0. La droite qu"il porte est alors form´ee de vecteurs isotropes. L"ensembleC(q) ={x?E,q(x) = 0} s"appelle lecˆone isotropedeq. Un sous-espace vectorielFdeEest dittotale- ment isotropesi?x,y?F,b(x,y) = 0, c-`a-d. siF?F, ou encoreF?F?. Par exemple,E?(ou, plus g´en´eralement, dans le cas sym´etrique ou hermi- tien, tout sous-espace vectorielFdeEcontenu dansC(q)) est totalement isotrope.L"indiceν(b) deb(ou :ν(q) deqdans le cas sym´etrique ou her- mitien) est la dimension maximale des sous-espaces totalement isotropes de E. Proposition 1.1.: supposons quebsoitnon-d´eg´en´er´ee. Pour tous sous- espaces vectorielsF,GdeE, on a : ii)(F?)?=F iv) siF∩F?={0}, alorsE=F?F?. Preuve: Pour i), soientBune matrice repr´esentative debet{f1,...,fk}des vecteurs deKnrepr´esentant une base deF. Alors,F?s"identifie `a l"ensemble de solutionsy?Kndu syst`eme{σ(tfi.B).y= 0,i= 1,...,k}. CommeBest inversible, ce syst`eme est de rangk=dimF. Par cons´equent,codimF?=k.

Les autres ´enonc´es sont des exercices.

Proposition 1.2.(On ne suppose plusbnon d´eg´en´er´ee.) SoitFun sous- espace vectoriel suppl´ementaire deE?dansE. Alors,E=F?E?, et la restrictionb|Fdeb`aFest non-d´eg´en´er´ee.. Preuve: la somme directeE=F?E?est orthogonale puisqueE??E. Dans une base deErespectant cette d´ecomposition, la matrice repr´esentative debest donn´ee parB=?B10 0 0? , o`uB1repr´esenteb|F. Alors,rg(b|F) = rg(B1) =rg(B) =dimE-dimE?=dimF, doncb|Fest non-d´eg´en´er´ee.

1.2 "Diagonalisation"

Soientq,q?deux formes quadratiques (resp. quadratiques hermitiennes) sur E, de formes polairesb,b?. On dit queqetq?sont´equivalentess"il existe 3 un automorphismeu?GL(E) tel queq?=q◦u, ou de fa¸con ´equivalente: ?x,y,b?(x,y) =b(u(x),u(y)). En termes des matrices repr´esentativesB,B?,U deb,b?,udans une base donn´ee deE, cela revient `a demander queB?=tUBU (resp.B?=tUBσ(U)). On a une notion similaire d"´equivalence pour les couplesb,b?de formes altern´ees. Proposition 1.3.i) Soitqune forme quadratique (resp. quadratique her- mitienne) surE, de rangr. Il existe des ´el´ementsd1,...,drdeK?(resp. deK?0) tels queqest ´equivalente `a la formeq?(x) =d1x21+...+drx2r(resp. d

1x1σ(x1)+...+drxrσ(xr)). Autrement dit,Eadmet unebase orthogonale(c-

`a-d. form´ee de vecteurs deux `a deux orthogonaux), et dont lesn-rderniers forment une base deE?. Ou encore, siB=tB(resp.σ(tB)) d´esigne une matrice repr´esentative deq, il existeU?GLn(K)telle quetUBU(resp. t

UBσ(U))=(

(d 10 0 0dr0

0 0 0)

ii) Soitbune forme bilin´eaire altern´ee surE, de matrice repr´esentative B=-tB. Alors,best equivalente `ab?(x,y) = Σi=1,..,mxiym+i-yixm+i.

Autrement dit, il existeU?GLn(K)telle quetUBU=(

(0Im0 -Im0 0

0 0 0)

En particulier, le rangr= 2mdebest pair.

Preuvei) Une preuve algorithmique a ´et´e vue en L3. En voici une autre. Le corollaire pr´ec´edent permet de se ramener au cas o`ubest non d´eg´en´er´ee. Poure1?Enon isotrope,E1={e1}?est un hyperplan ne contenant pase1, doncE=K.e1?E1, et la restriction deb`aE1est non d´eg´en´er´ee. On it`ere. ii) On se ram`ene de nouveau au cas non-d´eg´en´er´e. Il existe alors deux vecteurse1,?1tels queb(e1,?1) = 1. Ils sont forc´ement lin´eairement ind´epen- dants, etb(?1,e1) =-1, de sorte que la restriction debau planP1qu"ils engendrent, de matrice repr´esentative?0 1 -1 0? , est non-d´eg´en´er´ee. On en d´eduit queP1∩P?1={0}, doncE=P1?P?1, et que la restriction deb`a E

1=P?1est non-d´eg´en´er´ee. On peut donc it´erer.

Remarques: i) Bien que le r´esulat de (i) soient souvent d´ecrit comme une "diagonalisation" de la formeq,il ne fournit pas une diagonalisation de la matriceB, ce qui reviendrait `a trouver une matriceU?GLn(K) telle que U -1BUsoit diagonale; les scalairesdide cet ´enonc´e ne sont d"ailleurs pas 4 uniques, et n"ont donc pas de rapport avec les valeurs propres deB. Bref, on prendra garde `a ne pas confondre (i) avec le "th´eor`eme spectral", en vertu duquel les matrices sym´etriques r´eelles (resp. hermitiennes complexes) sont effectivement diagonalisables - et qui plus est, par une matriceU=tU-1 orthogonale (resp.U=σ(tU-1) unitaire). ii) Unespace symplectiqueest un couple (E,b) o`ubest une forme altern´ee non d´eg´en´er´ee. Tout plan symplectique est ´equivalent `a l"espace vectoriel K

2, muni de la forme altern´eeb(x,y) =x1y2-x2y1=det?x1y1

x 2y2? , et le resultat de (ii) exprime queEs"´ecrit comme une somme directe orthogonale deE?et de plans symplectiques. ll entraˆıne par ailleurs que tout espace symplectique (E,b) est de dimensionn= 2mpaire, o`um=ν(b), et admet une d´ecomposition en somme directe (non orthogonale) de deux sous-espaces W

1=< e1,...,em>,W2=< ?1,...,?m>totalement isotropes de dimension

n/2. De tels sous-espaces s"appellent des lagrangiens de (E,b), et les bases correspondantes{e1,?1,...,em,?m}des bases symplectiques. iii) Ne pas confondre (ii) avec les ´enonc´es suivants. Unespace hyperbolique est un couple (E,b), o`uEest de dimensionn= 2mpaire, etbest une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´eree d"indiceν(b) =m. Tout plan hyper- bolique (E,b) est ´equivalent `a l"e-vK2, muni de la forme bilin´eaire de matrice repr´esentativeB=?0 1 1 0? (ou de fa¸con ´equivalenteB=?1 0 0-1? Tout espace hyperbolique est somme directe orthogonale de plans hyper- boliques, et admet donc une d´ecomposition en somme directe (non orthog- onale) de deux sous-espacesW1,W2totalement isotropes de dimensionn/2. De tels sous-espaces s"appellent aussi des lagrangiens de (E,b).

2 Quadriques

SoientP(E) un espace projectif surKde dimensionn, etq?= 0 une forme quadratique surE, de forme polaireb. Dans une base deE,qs"exprime comme un polynˆome homog`eneQ(X0,...,Xn) =tXBXde degr´e 2 enn+1 variables, et l"ensembleZ(Q) := Γ des z´eros deQ(au sens de la Note(3) du chapitre 2,§2.3) est bien d´efini. On l"appelle la quadrique d´efinie parq. Ainsi, les points de Γ `a coordonn´ees dansKcorrespondent exactement aux droites vectorielles du cˆone isotropeC(q) deq. Les multiples non nulsλq,λ?K?, deqd´efinissent la mˆeme quadrique, 5 de sorte que la donn´ee de Γ ´equivaut `a celle d"un point de l"espace projectif P(Q(E)), o`uQ(E) d´esigne leK-espace vectoriel, de dimension(n+1)(n+2)2, form´e par les formes quadratiques surE(on retrouvera cet espace vectoriel sous le nom de codeSym2(E?) au chapitre 4). Un changement de base four- nit une nouvelle expressionQ?(X0,...,Xn) deq, o`uQetQ?sont des formes quadratiques surKn+1´equivalentes, et on dit que les quadriques correspon- dantes dePn(K) sont ´equivalentes. Une classe d"´equivalence de quadriques de P n(K) correspond donc `a une "classe d"´equivalence projective" de matrices sym´etriquesB, o`uB≂B?signifie :?λ?K?,U?GLn+1(K),B?=λtUBU.

Hyperplan tangent et tangentes

SoitP?P(E) un point de la quadrique Γ d´efinie parq. En coordonn´ees, siP= (γ0:...:γn) est repr´esent´e par un vecteurγ= (γ0,...,γn) deE, Q(γ0,...,γn) = 0. Pour touti= 0,...,n, les d´eriv´ees partielles deQs"´ecrivent: Q ?X i(γ0,...,γn) = 2b(γ,ei),o`uei= (0,..,1(i),...0).DoncPest lisse sur Γ (au sens du chapitre 2, proposition 2.7) si et seulement si ses repr´esentants γn"appartiennent pas au noyau deb, et pour un tel pointP, l"hyperplan tangent `a Γ enPadmet pour ´equation T

P(Γ) :b(γ,X) = 0.

Ainsi,P(E?(b))?Γ est l"ensemble des points non lisses (aussi appel´es : singuliers) de Γ. On dit que la quadrique Γ estnon-singuli`ere(ou:lisse) si la forme bilin´eairebest non-d´eg´en´er´ee; tous ses points sont alors lisses. SoientP,P?deux points distincts deP(E), repr´esent´es par des vecteurs ?, et Δ =P(Kγ?Kγ?) =< P,P?>la droite projective qu"ils engendrent. En dehors deP?, les points d"intersections de Γ et de Δ correspondent aux solutions entde l"´equation Q(γ+tγ?) :=t2Q(γ?) + 2tb(γ,γ?) +Q(γ) = 0. Supposons quePsoit un point de Γ, et qu"il soit lisse. Alors,b(γ,γ?) = 0 si et slt si la droite Δ est contenue dans l"hyperplan tangentTP(Γ); on dit alors que Δest tangente `aΓenP. Dans ce cas, ou bien Δ est toute enti`ere contenue dans Γ (?P??Γ), ou bien Δ∩Γ est r´eduit `aP, compt´e deux fois (cart= 0 est alors une racine double de l"´equation). Ainsi, si Γ est une quadrique non singuli`ere, une droite Δ deP(E) non contenue dans Γ rencontre Γ : - soit en deux points distincts, et elle n"y est alors pas tangente `a Γ; 6 - soit en un seul point, et elle y est alors tangente `a Γ; - soit en aucun point; ce dernier cas ne peut d"ailleurs pas se produire siK=C(plus g´en´eralement siKest alg´ebriquement clos), l"´equation pr´ec´edente ayant forc´ement une solution siP?/?Γ. Si maintenantPest un point singulier de Γ, alors ou bien Δ est toute enti`ere contenue dans Γ, ou bien elle ne rencontre (deux fois) Γ qu"au pointP. En particulier, toute quadrique singuli`ere non r´eduite `a un point contient au moins une droite. Mais la r´eciproque est fausse : pourn≥3, toutes les quadriques dePn(C) contiennent des droites.

Classification

D´ecrivons tout d"abord les quadriques deP1(K) : une forme quadratique q?= 0 en deux variables est projectivement ´equivalente `aX20+aX21, o`ua?K repr´esente le discriminantdiscr(q)?K/(K?)2deq. Si les ´el´ements deKne sont pas tous des carr´es, il y a donc trois classes d"´equivalence de quadriques ponctuelles : un point double (r= 1), deux points distincts deP1(K), ou un couple de points "conjugu´es" deK(⎷a). PourK=CouR, la proposition 1.3 fournit la classification suivante des quadriques projectives dePn(K),n≥2 : i) siK=C(ou plus g´en´eralement, siKest alg´ebriquement clos) : la forme quadratiqueqest (projectivement ou pas) ´equivalente `aX20+...+ X

2r-1, o`urest le rang deq. Les classes d"´equivalence de quadriques sont

donc en bijection avec les entiersr?[1,n+ 1]. CommeX2i+X2j= (Xi+⎷-1Xj)(Xi-⎷-1Xj), toute quadrique lisse deP3(K) admet aussi pour

´equationX0X1-X2X3= 0, et contient donc les familles de droites Δλ: X

0-λX2=λX1-X3= 0;Δμ:X0-μX4=μX1-X2= 0. Ces droites

correspondent `a des couples de lagrangiens de la forme quadratiqueq. ii) siK=R: la forme quadratiqueqest ´equivalente `a Σi=0,..,s-1X2i- i=s,...,s+t-1X2i, o`us+t=rest le rang deq. Le couple (s,t) ne d´epend que de la classe d"´equivalence deq(Sylvester), et s"appelle lasignaturedeq. Les classes d"´equivalence de quadriques sont donc en bijection avec les couples non ordonn´es{s,t}. L"indiceν(q) d"une forme quadratique non d´eg´en´er´eeqest ´egal `amin(s,t). Ainsi, la condition{s,t} ?={0,n+1}suffit `a assurer que les quadriques associ´ees ont des points r´eels. La quadrique deP3(R) de signature (2,2), qui admet pour ´equationX0X1-X2X3= 0, contient comme supra deux familles de droites (r´eelles); on l"appelle parabolo¨ıde hyperbolique. 7 Signalons que siKest un corps fini, on d´emontre qu"une forme quadra- tiqueqde rangrest ´equivalente `aX20+...+X2r-2+aX2r-1o`ua?K?, et que toute quadrique dePn(K),n≥2,admet des points `a coordonn´ees dansK. Les quadriques deP2(K) s"appellent desconiques. PourK=C, il y a trois types de coniques : une droite double (r= 1,X20= 0), la r´eunion de deux droites (r= 2,X0X1= 0), une conique non singuli`ere (r= 3). Pour K=R, le casr= 2 donne naissance `a deux types : la r´eunion de deux droites r´eelles (X0X1= 0), ou de deux droites complexes conjugu´ees (X20+X21= 0); le casr= 3 `a deux types, suivant que la conique admet des points r´eels (X20+X21-X22= 0) ou pas (X20+X21+X22= 0).quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41