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(1)(*)Soit (E,< .,. >) un espace pr´ehilbertien. Montrer que l"applicationψ(x,y) =< x,y >est une
forme bilin´eaire sym´etrique surE. Montrer que la forme quadratique associ´ee `aψest d´efinie positive.
Proof.Soientλ1etλ2dans IR. Alorsψ(x,λ1y1+λ2y2) =λ1< x,y1>+λ2< x,y2> .De plus,ψ(x,y) =ψ(y,x)
(sym´etrie du produit scalaire). La forme quadratique associ´ee s"´ecrit:q(x,x) =< x,x >=?x?2, d´efinie positive
(propri´et´es de la norme).?(2)(*)Soit (E,< .,. >) un espace pr´ehilbertien etuun endomorphisme surE. Montrer que l"application
Φ(x) =< x,u(x)>pour toutx?Eest une forme quadratique surE. D´eterminer l"endomorphisme associ´e `a Φ.Proof.Soitλdans IR, Φ(λx) =< λx,u(λx)>=< λx,λu(x)>=λ2< x,u(x)> λ2Φ(x). De plus, pour toutx,ydans
E2, Φ(x+y) =< x+y,u(x) +u(y)>=< x,u(x)>+< y,u(y)>+< x,u(y)>+< y,u(x)>= Φ(x) + Φ(y)+<
x,u(y)>+< y,u(x)> .On poseψ(x,y) =12(< x,u(y)>+< y,u(x)>) et on montre facilement que c"est une
forme bilin´eaire sym´etrique. On peut alors conclure que Φest bien une forme quadratique. Soitvl"endomorphisme associ´e `a Φ. On sait que :ψ(x,y) =< x,v(y)>orψ(x,y) =12(< x,u(y)>+< y,u(x)>) =
12(< x,u(y)>+< x,u?(y)>) =12< x,u(y) +u?(y)>. On a alors,v(x) =12(u(x) +u?(x)).
(3)(**)Soit< .,. >le produit scalaire sur IR2tel que pourx= (x1,x2) ety= (y1,y2),< x,y >=2x1y1+ 3x2y2. A partir de la base orthonormale classiquee= (i,j) de IR2, d´eterminer une base
e?= (e?1,e?2) orthonormale pour ce produit scalaire. D´eterminer les coordonn´ees danse?d"un vecteur
quelconquexayant pour coordonn´ees (x1,x2) danse. (4)(*)D´eterminer la signature des formes quadratiques suivantes : (a) Φ1(x,y) =x2-xy+y2;
(b) Φ2(x,y) =x2+xy-y2;
(c) Φ3(x,y) = 3(x+y)2-4(x-y)2-13xy;
(d) Φ4(x,y,z) =x2+y2+z2-xy-xz-zy;
(e) Φ4(x,y,z,t) = 2xy+ 2z t-2y z-2xt.
Proof.Utilisation du proc´ed´e d"orthogonalisation de Gauss: (a) Φ1(x,y) =x2-xy+y2= (x-1
2y)2+34y2.
sgn(Φ1) = (2,0). (b) Φ2(x,y) =x2+xy-y2= (x+1
2y)2-54y2.
sgn(Φ2) = (1,1). (c) Φ3(x,y) = 3(x+y)2-4(x-y)2-13xy= 3(x2+y2+2xy)-4(x2+y2-2xy)-13xy=-x2-y2+xy=-Φ1(x,y).
sgn(Φ3) = (0,2). (d) Φ4(x,y,z) =x2+y2+z2-xy-xz-zy= (x-1
2y-12z)2+34(y-z)2.
sgn(Φ4) = (2,0). (5)(**)On consid`ere sur IR3la forme quadratique q(x) = 2x21+x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x2x3+ 2x3x1. (a) Montrer queqest d´efinie positive.(b) D´eterminer une base orthonormale pourq, d"abord par la m´ethode de Gauss (base not´eeB?),
puis par le proc´ed´e d"orthonormalisation de Gramm-Schmidt. (c) Quelle est la matricePde passage de la base canonique `a la baseB?.Proof.(a)´Ecrivonsq(x) comme ´etant une combinaison lin´eaire de de carr´es de formes lin´eaires lin´eairement
ind´ependantes en utilisant le proc´ed´e d"orthogonalisation de Gauss : q(x) = 2x21+x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x2x3+ 2x3x1= 2(x1+12x2+12x3)2+12x22+32x23+ 2x2x3= 2(x1+12x2+
12x3)2+12(x22+x3)2+x23. sgn(q) = (3,0), doncqest bien positive.qest bien d´efinie positive carq(x) = 0 ssi
x 1+12x2+12x3= 0,x22+x3= 0 etx3= 0 ssix1=x2=x3= 0
12Licence M.A.S.S. deuxi`eme ann´ee
(b) M´ethode de Gauss:Soient???a=x1+1
2x2+12x3
b=x22+x3 c=x3 D´eterminons la base dualev1,v2,v3de cette base de formes lin´eaires.???x 1=a-1 2b x 2=b-c x3=cAinsi,vt1= (1,0,0),vt2= (-1
2,1,0) etvt3= (0,-1,1). C"est une base orthogonale.
u t1= (1,0,0),ut2= (0,-1
⎷(2),1⎷(2)),ut3= (-1⎷(5),2⎷(5),0) est bien une base orthonormale. Proc´ed´e d"orthogonalisation de Gram Schmidt: La matrice deqdans la base canonique s"´ecrit :M=((2 1 11 1 11 1 2))
En partant de la base (b1,b2,b3) = (((211))
,((111)) ,((112)) on obtient la base (f1,f2,f3) = (((((2 ⎷(6)1 ⎷(6) 1 ⎷(6))))) (3)3⎷
(3)3⎷
(3) 3)))) ,((((0 (2)2⎷
(2) 2)))) (c) Soit (e1,e2,e3) la base canonique.??u 1=e1 u 2=-1 ⎷(5)e1+2⎷(5)e2 u 3=-1 ⎷(2)e2+1⎷(2)P=((((1 0 0
12⎷
(5) 20 12⎷
(5)2?(2)))))
(6)(**)Suivant la valeur deλ, ´etudier la signature de la forme quadratique suivante: Φ(x,y) = (1 +λ)(x2+y2) + 2(1-λ)xyo`uλ?IR.Proof.Signature de Φ:
Siλ=-1, Φ(x,y) = (x-y)2-(x+y)2,sgn(Φ) = (1,1)Siλ?=-1, Φ(x,y) = (1 +λ)(x+1-λ
1+λy)2+ (1 +λ-4λ(1+λ)2)y2
-Siλ <-1,sgn(Φ) = (0,2) -Si-1< λ <0,sgn(Φ) = (1,1) -Siλ >0,sgn(Φ) = (2,0) -Siλ= 0,sgn(Φ) = (1,0)(7)(*)D´emontrer que la forme quadratique Φ(x,y,z) =x2+ (z-y)2est positive. Est-elle d´efinie
positive ? R´esoudre Φ(x,y,z) = 0.Proof.Φ(x,y,z) =x2+(z-y)2≥0, donc Φ est bien positive, mais elle n"est pas d´efinie positive car son noyau n"est
pas r´eduit `a l"´el´ement neutre. Par exemple Φ(0,2,2) = 0.