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Exercice 9 Soit b une forme bilinéaire symétrique ou alternée sur E et exo 7 ( ) ϕ : ( ) Dimension de l'image Noyau espace solution de tq ϕ(M)=0 ⬄ trPMN= 

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(7) (*) Démontrer que la forme quadratique Φ(x, y, z) = x2 + (z − y)2 est positive Est-elle définie positive ? Résoudre Φ(x, y, z) = 0 Proof Φ(x, y, 

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Exercice 4 *** 1 Soient n ∈ N∗ puis ϕ1, , ϕn et ϕ n+1 formes linéaires sur un K-espace vectoriel E de dimension finie 

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CVest la restriction de la trace sur lVespace des matrices carrées à son noyau Page 12 12 Les formes linDaires, dualitD Exemple 7 Si A

Feuille dexercices sur les formes bilinéaires symétriques et les

Quelle est sa signature ? Trouver une base orthogonale de R3 pour cette forme quadratique Exercice 6 Soit q la forme quadratique sur R3 

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f) La forme polaire de f est la forme bilinéaire symétrique (A, B) ↦→ tr(AB) On remarque que la restriction de f au sous-espace Sn(R) des matrices symétriques  

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Définition 7 Un vecteur x de E est dit isotrope, s'il est orthogonal `a lui–même 2 3 Formes bilinéaires définies positives ou définies négatives Définition 8 Une 

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a pour matrice ⎛ ⎝ 1 3 −1 3 7 4 −1 4 0 ⎞ ⎠ Une forme quadratique q est dite non dégénérée quand sa forme polaire l'est On définit le noyau et le rang d'  

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Formes quadratiques Espaces vectoriels euclidiens Géométrie euclidienne Objectifs : Savoir reconnaître une forme bilinéaire, une forme quadratique Passer

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Réciproquement, toute forme quadratique q sur E pro- vient d'une seule forme bilinéaire symétrique : celle dé- terminée, lorsque la caractéristique de k n'est pas 2 

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Chapitre 2

Formes bilin´eaires sym´etriques,

formes quadratiques

2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques

Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.

2.1.1 D´efinition

D´efinition 2.1

Une application

b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).

On dit quebestsym´etriquequand

?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.

Exemples:

1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 5

6CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES

2.

E=R2. Le produit scalaire usuel

µµx1

x 2 ,µy1 y

2

?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.

E=C([-1,1],R). L"application

C

0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R

(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.

E=Mn(K). L"application

M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).

2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique

On suppose

Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.

D´efinition 2.2

La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.

Exemple:µ3 1

1-2

est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etrique

µµx1

x 2 ,µy1 y

2

?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.

2.1. FORMES BILIN

´EAIRES SYM´ETRIQUES7

Rappel : Changement de base.

D´efinition 2.3

La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.

Proposition 2.4

Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)

La matrice de

la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est M

E?(b) =tP ME(b)P .

2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e

Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E,quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2