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Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B cos(x) sin(x) Enfin pour x /∈ π 2 Z, cotan(x) = 1 tan(x) Valeurs usuelles x en ◦ 2i sin x Formule de Moivre

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Formulaire de trigonométrie Définition des fonctions sinus, cosinus et tangente 1 1 M(x) cos(x) sin(x) • M est un point du cercle trigonométrique x est une 

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19 nov 2014 · 1 1 Symétries, parité Parité Réflexion d'axe θ = π/2 Réflexion d'axe θ = π/4 sin(- θ) = -sinθ sin(π - θ) = sinθ sin(π 2 - θ) = cosθ cos(-θ) = cosθ

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On définit les fonctions cos, sin et tan par les formules Les fonctions trigonométriques satisfont les propriétés suivantes, qui se Formule de De Moivre :

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Angles associés Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes : cos( π 2 + x) = −sin(x) sin( π 2 + x) = cos(x) cos( π

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4) Pour tout nombre complexe non nul z, il existe des nombres uniques r > 0 et ϕ ∈] - π ; π] tels que z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) Cette écriture est appelée la forme 

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Forme Trigonométrique I) Module et II) Forme trigonométrique d'un nombre complexe Sa forme algébrique est donc = 3 (cos ( ) + i sin ( )) Soit = 3 ( √ )

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Il est clair que l'on n'utilise pas en permanence une formule de trigonométrie ou une 3 6 Expressions de cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t = tan (x2)

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Formulaire de trigonométrie tan(x) = sin(x) cos(x) définie si x = π 2 (π) cotan(x) = 1 tan(x) = cos(x) sin(x) définie si x =0 (π) cos2(x) + sin2(x) = 1 1 + tan2(x) = 1

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COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE

I ) MODULE ET ARGUMENT D'UN COMPLEXE NON NUL Le plan est muni d'un repère orthonormal direct O;u,v

Définition

Soit z un complexe non nul d'image M (x ; y ).

On appelle - module de z le réel positif r = |z| = OM = x2y2- argument de z tout réel  = mes ( u ; OM ) Rq :- ( r ;  ) sont les coordonnées polaires de M dans le repère (O; u) . - un complexe a une infinité d'arguments égaux à 2 prés. - |0| = 0 mais 0 n'a pas d'argument.

Exemples : 4 ; - 3 ; - 3 i ; 3 i

Propriété :

Pour tout complexe z, z .

z = ∣z∣2

Démo

Propriété :

Pour tout complexe z non nul cos() =

x r et sin() = y r et donc z = r ( cos ( ) + i sin ( )) Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique de z. exemple : 2 + 2 i ex : 1 - 2

Propriété :

Soit z et z' deux complexes non nuls de modules r et r' et d'arguments  et ' alors : z = z' ⇔ r = r' et  =  '|z z'| = |z| |z'| et arg(z.z') ≡ arg(z) + arg(z') [2] ∣1 z'∣ = 1∣z'∣ et arg( 1 z' ) ≡ - arg(z) [2] ∣z z'∣ = ∣z∣ ∣z'∣ etarg( z z' ) ≡ arg(z) - arg(z') [2]

Démo :zz' = r ( cos ( ) + i sin ( )) r' ( cos (' ) + i sin ( ')) = ..........

1 z = 1 rcosi×sin = ......... z z' = z . 1 z' ............

Propriété :

| z| =

∣-z∣ = ∣z∣ et arg ( z ) ≡ - arg(z) [2] arg(- z ) ≡ arg(z) +  [2]

Propriété : ( inégalité triangulaire) ∣zz'∣∣z∣∣z'∣

Démo :Soient M ( z) et M' ( z' ) et S tel que OMSM' soit un parallélogramme alors

OS=OMOM' donc zS = zM + zM' et OS  OM + OM' d'où l'inégalité.

Propriété :

Si A et B ont pour affixes zA et zB alors |zB - zA | = AB et arg( zB- zA) = ( u ; AB)

Ex : 3 - 4 - 5 - 6 - 7 feuille

II ) NOTATION EXPONENTIELLE

On s'aperçoit que l'argument se comporte comme une puissance donc par convention on pose cos  + i sin  = ei

Propriété :

tout complexe non nul z de module r et d'argument  admet une écriture de la forme z = r ei. Cette forme s'appelle la forme exponentielle de z.

Forme exp à connaître 1 ; i ; -i ; - 1

Propriété :

ei×ei'=ei' 1 ei=e-i ei

ei'=ei-' ein=ei∗n(cos + i sin )n = cos n + i sin n (formule de Moivre)

cos() = eie-i

2 et sin () =

ei-e-i

2i ( formules d'Euler)

Ex 8 - 9 - 10

III ) COMPLEXES ET GEOMETRIE

Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts d'affixes zA , zB et zM. | zB- zA | = AB arg( zB- zA) = ( u ; AB) ∣zM-zB zM-zA∣ = BM

AM arg( zM-zB

zM-zA ) = ( AM;BM) = ( MA;MB)

Démo :Soit S tel que

OS=AB alors ∣zB-zA∣ = OS = AB et arg( zB-zA ) = arg(zS) = ( u;OS) = ( u;AB) ∣zM-zB zM-zA∣ = ∣zM-zB∣ ∣zM-zA∣ = BM AM arg( zM-zB

zM-zA) = arg ( zM-zB ) - arg ( zM-zA ) = ( u;BM) - ( u;AM) = AM;BM

Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts;

A, B et M sont alignés ⇔ arg(zM-zB

zM-zA) ≡ 0 [] (AM) ⊥ (BM) ⇔ arg(zM-zB zM-zA) ≡

2 []

Ex 11 -12 + 101 p 254 a et d

Dans tous les exercices le plan est muni d'un repère orthonormé direct O;u,v

EX 1 :

Déterminer un argument des complexes suivants : 1

2-3

2i ; -1+i 3 ; 72-72iEX 2 :

Ecrire sous forme trigonométrique les complexes suivants :

2 + 2 i ; 2 i ; -7 ; 2-

6(cos 

8+i sin 

8)

EX 3 :

Soient A , B , C les points d'affixes respectives

45

2i ; 4-5

2i ; 23

2i

Montrer que ABC est rectangle

EX 4 :

Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que a) |z+4-2i| = 2 b) ∣z-2i z1i∣ = 1

EX 5 : Calculer (2 + 2 i )13 ;

3-i i-112

EX 6 : Soient les complexes

z1 = 6-2i

2 z2 = 2 - 2i et Z = z1

z2

1) Donner la forme trigonométrique de ces 3

complexes.

2) Donner la forme algébrique de Z .

3) En déduire

cos

12 et sin

12EX 7 :

Soit z = (-

6 - 2 ) + i (- 2 + 6 )

1) Calculer z2 sous forme algébrique puis

trigonométrique

2) En déduire le module et un argument de z .EX 8 :

Ecrire sous forme exponentielle : 2 + 2 i ; 1 - i 3 ; 3-i2 ; 13i6 ; cos 

5 - i sin 

5

E X 9 :

En utilisant la formule de Moivre montrer que :

cos(3x) = 4 cos3(x) - 3 cos(x) sin(3x) = - 4 sin3(x) + 3 sin(x)

EX 10 :

En utilisant les formules d'Euler montrer que :

cos3x = 3

4cos(x) + 1

4cos(3x)

sin3x = 3

4sin(x) - 1

4sin(3x)

EX 11:

1) a) Soient les points A et B d'affixes respectives 2 + 2 i et 2-2 3i, calculer ( OA , OB ) b) Même question avec

A(2+3i) et B (

3 + i ; 2 i et 2 - 2 i

Calculer

zC-zA zB-zA puis en déduire la nature du triangle ABC

EX 12 :

On donne les points A ( -2 ) B ( i ) M ( z ) et pour z ≠ i

M' ( z' ) tel que z' =

z2 z-iDéterminer sans calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z' l'ensemble des points M du plan tel que :

1) M' soit un point du cercle de centre O et de rayon 1.

2) z' soit un réel.

3) z' soit un imaginaire pur.

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