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[PDF] I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE

point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z', tel que z' = z + a, est la translation de vecteur ayant pour affixe a Démonstration : Dans le plan rapporté à un repère  

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- Démonstration - Exercice: Montrer que les points A(-2i), B(-2-5i) et C(4+4i) sont alignés 4°) Equations du Second degré dans C a) Equation du type az2+bz+c =  

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nus, sinus, exponentielle, et même le nombre π qui est au départ de cette aventure, sont Démonstration : La conjugaison complexe est une application R - linéaire, donc ouverts ]a, b[ donc ce sont exactement les parties de la forme U ∩ R

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A tout nombre complexe z d'écriture algébrique z=a+bi (où a et b sont des nombres réels) correspond un unique point M du plan Démonstration : ∣(z×z') Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul 3 1

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19 sept 2012 · Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z Démonstration C'est une application immédiate du théorème du 

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L'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe est utilisée fréquemment pour faire des Démonstration Dans l'énoncé, z est choisi non nul car l'équation : ω2 = 0 Zéro n'a pas de forme trigonométrique, donc pas d'arguments

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Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture = + avec Propriété : m = −1 Démonstration : 1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : a) = −2

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I Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition eiθ est le nombre complexe de module 1 et d'argument θ Propriété : eiπ = −1 Démonstration :

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Un nombre complexe z est un objet qui s'écrit symboliquement a + ib avec a, b ∈ R Le réel a =: Cette démonstration par récurrence sera faite en exercice La clef L'existence de la forme exponentielle est garantie par le Théorème 3 16

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Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib On appelle Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique : z = r(cos θ + i  

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Leçon n°8 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe. Applications

Niveau : Terminale S

Pré-requis : équations du second degré dans R. Trigonométrie dans R. Vecteurs.

Plan :

I.Forme algébrique d'un nombre complexe

1.Théorème et définition

2.Conjugué d'un nombre complexe

3.Représentation dans le plan complexe

4.Equations du second degré dans C

II.Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1.Module et argument

2.Forme trigonométrique d'un nombre complexe

3.notation exponentielle de la forme trigonométrique

III.Applications

1.Applications à la trigonométrie

2.Applications à la géométrie

I. Forme algébrique d'un nombre complexe

1°) Théorème et définition

Exemple : z = 3 - 2i est un nombre complexe.

Exemple : z = 3 - 2i → 3 est la partie réelle et -2 est la partie imaginaire.

Remarques :

•z est un réel si et seulement si Im(z)=0 •z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0. •Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique, deux nombres complexes

sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En

particulier, x+ iy = 0 ssi x=0 et y=0.

Exercice:

Résoudre dans C les équations suivantes : 1. 2z+ i = 2-i2. 3z +1 -2i = 4 - 3i -2z

2°) Conjugué d'un nombre complexe

a) Définition Exemple : z = 3 - 2i d'où z = 3- 2i = 3 + 2i. b) Propriétés sur le conjugué - Démonstrations des propriétés -

Exercice:

Ecrire les conjugués des nombres suivants sous forme algébrique.

1. -2 +3i2. i(2-5i)3. (1- i)/2i

3°) Représentation dans le plan complexe

a) Affixe d'un point

Exemples :

Le point M d'affixe 3+i a pour coordonnées (3; 1). Le point N d'affixe -1 -i a pour coordonné (-1; -1). - Démonstration -

Exercice:

Dans le plan complexe, on considère les points A(1-3i), B(5+2i) et C(4-4i). Déterminer l'affixe du

point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) affixe d'un vecteur

Exemple :

Le vecteur OM d'affixe 3+i a pour coordonnés (3 1) Le vecteur PN d'affixe 1-2i a pour coordonnés (1 -2) - Démonstration - Exercice: Montrer que les points A(-2i), B(-2-5i) et C(4+4i) sont alignés.

4°) Equations du Second degré dans C

a) Equation du type az2+bz+c = 0 - Démonstration -

Exercice :

Résoudre dans C les équations suivantes :

1. z²+ 3z +4 = 02. z4 +2z2 -8 = 0

b) Factorisation d'un trinôme du second degré - Démonstration -

II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1°) Module et argument d'un nombre complexe

a) définition b) premières propriétés Exercice : On considère les points A, B et C d'affixes respectives a=2i , b=-3, c=-2 +2i.

1. Représenter ces points dans le plan complexes

2. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres.

2 °) Forme trigonométrique d'un nombre complexe

a) Définition b) propriétés sur les modules et arguments - Démonstration -

3°) notation exponentielle de la forme trigonométrique

a) la notation eiO

Définition :

b) propriété et définition -Démonstration -

III.Applications

1°) Application à la trigonométrie

Calcul de valeurs exactes d'angles :

2°) Application géométrique

a) déterminer des lieux géométriques avec des complexes b) étudier une configuration géométrique avec des complexesquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41