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[PDF] I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE

point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z', tel que z' = z + a, est la translation de vecteur ayant pour affixe a Démonstration : Dans le plan rapporté à un repère  

[PDF] Forme trigonométrique dun nombre complexe Applications Niveau

- Démonstration - Exercice: Montrer que les points A(-2i), B(-2-5i) et C(4+4i) sont alignés 4°) Equations du Second degré dans C a) Equation du type az2+bz+c =  

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nus, sinus, exponentielle, et même le nombre π qui est au départ de cette aventure, sont Démonstration : La conjugaison complexe est une application R - linéaire, donc ouverts ]a, b[ donc ce sont exactement les parties de la forme U ∩ R

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A tout nombre complexe z d'écriture algébrique z=a+bi (où a et b sont des nombres réels) correspond un unique point M du plan Démonstration : ∣(z×z') Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul 3 1

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19 sept 2012 · Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z Démonstration C'est une application immédiate du théorème du 

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L'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe est utilisée fréquemment pour faire des Démonstration Dans l'énoncé, z est choisi non nul car l'équation : ω2 = 0 Zéro n'a pas de forme trigonométrique, donc pas d'arguments

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Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture = + avec Propriété : m = −1 Démonstration : 1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : a) = −2

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I Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition eiθ est le nombre complexe de module 1 et d'argument θ Propriété : eiπ = −1 Démonstration :

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Un nombre complexe z est un objet qui s'écrit symboliquement a + ib avec a, b ∈ R Le réel a =: Cette démonstration par récurrence sera faite en exercice La clef L'existence de la forme exponentielle est garantie par le Théorème 3 16

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Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib On appelle Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique : z = r(cos θ + i  

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Nombres complexes.

Représentation géométrique.

Notation exponentielle.

1. Représentation géométrique d'un nombre

complexe..............................................................P24. Propriétés..........................................................P15

2. Module d'un nombre complexe.......................p75. Compléments....................................................p19

3. Forme trigonométrique et forme exponentielle

d'un nombre complexe non nul...........................p11

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

1. Représentation géométrique d'un nombre complexe

Le plan muni d'un repère orthonormé direct(O;⃗u,⃗v)se nomme plan complexe.

1.1. Affixe d'un point

A tout nombre complexezd'écriture algébriquez=a+bi(oùaetbsont des nombres réels) correspond un

unique point M du plan de coordonnées(a;b).

On dit

zest l'affixe de M et on note M(z).

On dit que M est l'image ponctuelle de

z .

Exemples :

Dans le plan complexe, placer les points A ; B ; C et D d'affixes respectives : zA=1+2i; zB=-2-i ; zC=5

2i ; zD=-3

2.

1.2. Affixe d'un vecteur

A tout nombre complexezd'écriture algébriquez=a+bicorrespond un unique vecteur ⃗Vcoordonnées(a;b). ⃗V=a⃗u+b⃗vSi zest l'affixe de zalors⃗V=⃗OM.

On ditzest l'affixe de

⃗Vet on note ⃗V(z).

On dit que le vecteur

⃗V=⃗OM est l'image vectorielle dez.

1.3. Remarques

L'axe des abscisses

(O;⃗u)est l'ensemble des images ponctuelles des nombres réels. On le nomme l'axe réel.

L'axe des ordonnées

(O;⃗v)est l'ensemble des images ponctuelles des imaginaires purs. On le nomme l'axe imaginaire.

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

1.4. Propriétés

a) Somme de deux nombres complexes⃗V=⃗OM(z)et⃗V'=⃗OM'(z') Le quadrilatère AMPM' est un parallélogramme. b) Produit d'un nombre complexe par un nombre réel ⃗V=⃗OM(z)et λ∈ℝλ ⃗V=⃗OM'(λz)

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. Cas particulier :λ=-1⃗V=⃗OM(z)⃗V'=-⃗V=⃗OM'(-z) c) Nombres complexes conjugués z=a+biet z=a-biLes points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. d) Affixe d'un bipoint Si

A(zA)et B(zB)alors⃗AB(zB-zA).

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. e) Affixe du milieu d'un segment SiA(zA)et B(zB)et I est le milieu de [AB] alors I(zA+zB 2).

Démonstration : ,

⃗OA+⃗OB=⃗OI+⃗IA+⃗OI+⃗IB=2⃗OI+⃗IA+⃗IBOr, I est le milieu de [AB] donc

⃗IA+⃗IB=⃗0Donc, ⃗OA+⃗OB=2⃗OI ⃗OI=1

2(⃗OA+⃗OB)

et zI=zA+zB 2

1.4. Exercice

Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble des points M d'affixe ztel que :Z=5z-2 z-1soit un imaginaire pur. Pour répondre à cette question, on peut écrire Zsous forme algébrique et dire que sa partie réelle est nulle ou il suffit de calculer la partie réelle. On rappelle que

Z+Z=2ℜ(Z).

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

Ici, on va déterminer l'écriture algébrique deZcar en général on pose souvent plusieurs questions faisant

intervenir la partie réelle et la partie imaginaire.

Z=5z-2

z-1

On pose

z=x+iyavec x∈ℝety∈ℝIl faut que z≠1. On noteA(1)Z=5x-2+5iy x-1+yi

Z=(5x-2+5iy)(x-1-yi)

(x-1)2+y2

Z=5x2-5x-2x+2+5y2+i(-5xy+2y+5xy-5y)

(x-1)2+y2Z=(5x2-7x+2+5y2)-3iy (x-1)2+y2

Zest un imaginaire pur

{5x2+5y2-7x+2 (x-1)2+y2=0 z≠1Û {5x2+5y2-7x+2=0(1) x≠1ouy≠0 (1)Ûx2+y2-7 5x+2 5=0 (x-7 10)2 +y2-49 100+2

5=0Û

(x-7 10)2 +y2=9 100
Il s'agit de l'équation du cercle (c) de centre

ω(7

10+0i)et de rayon3

10.

Le point A(1)appartient à (c).

L'ensemble cherché est le cercle (c) privé de A.

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

2. Module d'un nombre complexe

2.1. Définition

On nomme module du nombre complexez=a+bi(avec aet bréels) la norme de son image vectorielle dans le plan complexe. On note ∣z∣.

2.2. Remarques

a) z=a+bi z=a-bizz=a2+b2 ∣z2∣=zzb) Si zest un nombre réel alors z=a+0i zest égal à la valeur absolue dea.

2.3. Propriétés

a) Deux nombres complexes conjugués ont le même module : ∣z∣=∣z∣b) ∣z∣est un nombre réel positif ou nul. ∣z∣=0Ûz=0 c)

Module de la somme de deux nombres complexes :

∣z+z'∣⩽∣z∣+∣z'∣(on admet ce résultat)

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. d) Le module d'un produit de deux nombres complexes est égal au produit des modules.∣z×z'∣=∣z∣×∣z'∣Démonstration :

∣z×z'∣=∣z∣×∣z'∣Cas particulier : Le produit d'un nombre complexe par un nombre réel.

zÎC Le module de l'inverse d'un nombre complexe non nul est l'inverse du module de ce nombre complexe. zÎC*, ∣1 z∣=1∣z∣Démonstration : 1 z×z=1donc ∣1 z×z∣=∣1=1∣. Or, ∣1 z×z∣=∣1 z∣×∣z∣Donc, ∣1 z∣×∣z∣=1Donc, ∣1 z∣=1∣z∣ (siz≠0alors∣z∣≠0) f) Le module du le quotient de deux nombres complexes (le dénominateur étant non nul) est le quotient des modules. zÎC,z'ÎC*, ∣z z'∣= ∣z∣ ∣z'∣Démonstration : z z'=z×1 z'donc ∣z z'∣=∣z×1 z'∣=∣z∣×∣1 ∣z∣ ∣z'∣g) On peut démontrer que pour tout entier relatif

net tout nombre complexe non nul zque : ∣zn∣=∣z∣nh) Interprétation géométrique du module de la différence de deux nombres complexes.

Si M(z)et

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

2.4. Exemples

1-iz5=3-2i

2-3i z6=(2-3i)(3+4i) (6+4i)(15-8i)z7=(3-2i)4z8=(1 2+i 2 )511z9=(1+i)6 ∣z4∣=∣1+i∣ ∣1-i∣Or,

1-i=(1+i)donc ∣1-i∣=∣1+i∣Donc,

∣z4∣=1 ∣z5∣=∣3-2i∣ ∣2-3i∣Or, Donc, ∣z8∣=∣1

2∣511

=1511=1

Inverse d'un nombre complexe non nul

zÎC*,1 z=z zz=z

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. Cas particulier : nombre complexe de module 1∣z∣=11 z=z

12=zL'inverse d'un nombre complexe de module 1 est égal à son conjugué.

2.6. Exercices

a) Déterminer l'ensemble des points M d'affixeztels que : ∣z-2 z+1-i∣=1Première méthode (méthode algébrique) z=x+iyx∈ℝy∈ℝ

On doit avoir z≠-1+i

z-2=x-2+iy z+1-i=x+1+i(y-1) ∣z-2 z+1-i∣=1Û ∣z-2∣ ∣z+1-i∣=1Û

Ûx2-4x+4+y2=x2+2x+1+y2-2y+1

Û-6x+2y+2=0

Ûy=3x-1

L'ensemble cherché est la droite (D) d'équation y=3x-1Deuxième méthode (méthode géométrique)

A(-1+i)

B(2)M(z)

⃗AM(z+1-i)⃗BM(z-2) ∣z+1-i∣=AM∣z-2∣=BM ∣z-2 z+1-i∣=1Û ∣z-2∣ ∣z+1-i∣=1Û BM

AM=1ÛAM=BM

L'ensemble des points

Mcherché est la médiatrice du segment [AB].

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

3. Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

3.1. Argument d'un nombre complexe non nul

(O;⃗u,⃗v)est un repère orthonormé direct du plan complexe.

L'unité de mesure des angles est le radian.

zÎC*,z=a+bi

M est l'image ponctuelle dez.

l'angle( ⃗u;⃗OM).

On note : argz=(

⃗u;⃗OM)+2kπ ou argz=θ+2kπ3.2. Remarques zest un nombre réel strictement positifÛargz=0+2kπ zest un nombre réel strictement négatifÛargz=π+2kπ zest un imaginaire pur non nulÛ {argz=π

2+2kπ

ou argz=-π

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

On note argz=θ+2kπ

a=OMcosθetb=OMsinθOM=∥ ⃗OM∥=∣z∣On note ∣z∣=r

rest un nombre réel strictement positif, doncz=a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)3.3. Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

zÎC*. On nomme forme trigonométrique du nombre complexe z, l'écriture : z=r(cosθ+isinθ) avec r=∣z∣etargz=θ+2kπ.

3.4. Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

zÎC*. On nomme forme exponentielle du nombre complexez, l'écriture : z=reiθ avec r= ∣z∣etargz=θ+2kπ.

3.5. Relations entre formes algébrique et trigonométrique

zÎC*. a∈ℝetb∈ℝ z=a+bi=reiθ=r(cosθ+isinθ) {a=rcosθ b=rsinθÛ{r= cosθ=a retsinθ=b r

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

3.6. Exemples

a) Dessiner l'image et donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :

4; z2=4ei5π

6 ; z3=2e-i3π

4 ; z4=2e-iπ

3.

M1est l'image ponctuelle de z1.

OM1= (⃗u;⃗OM1)=π

4+2kπ. On trace la demi-droite [Ox1)telle que(⃗u;⃗Ox1)=π

4+2kπ.

M1est le point d'intersection du cercle et de la demi droite. ℜ(z1)= 2=1 2=1 z1=1+iM2est l'image ponctuelle de z2. OM2= ∣z2∣=4,donc M2appartient au cercle de centre O et de rayon 4. ⃗u;⃗OM2)=5π

6+2kπ. On trace la demi-droite [Ox2)telle que(⃗u;⃗Ox2)=5π

6+2kπ. (5π

6=π

2+π

3). M2est le point d'intersection du cercle et de la demi droite. ℜ(z2)=4cos5π

6=4×

2 ℑ(z2)=4sin5π

6=4×1

2=2

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.M3est l'image ponctuelle de z3. OM3=∣z3∣=2,donc M3appartient au cercle de centre O et de rayon 2. ⃗u;⃗OM3)=-3π

4+2kπ. On trace la demi-droite [Ox3)telle que(⃗u;⃗Ox3)=-3π

4+2kπ.

M3est le point d'intersection du cercle et de la demi droite. ℜ(z3)=2cos(-3π (-3π

4)=2×(-

2 z2=-

M4est l'image ponctuelle de z4.

OM4= ∣z4∣=2,donc M43appartient au cercle de centre O et de rayon 2. ⃗u;⃗OM)=-π

3+2kπ. On trace la demi-droite [Ox4)telle que(⃗u;⃗Ox4)=-π

3+2kπ.

M4est le point d'intersection du cercle et de la demi droite. ℜ(z4)=2cos

3)=2×1

2=1 ℑ(z4)=2sin

3)=2×(-

2 z4=1-i b) Dessiner l'image et donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants : z1=-4+4i;

M1est l'image ponctuelle de

z1=-4+4iLes coordonnées de M1sont entières. On place directement le point sur le dessin. ∣z1∣2=(-4)2+42=16+16=32

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.cosθ1=-4

2etsinθ1=4

2Donc,

argz1=3π

4+2kπz1=4

4

On peut placer le pointM2. Si on veut une construction à la règle et au compas, il suffit de remarquer que

une ordonnée négative. cosθ2=-1

2etsinθ2=-

2

Donc, argz2=4π

3+2kπ

z2=2e4iπ 3

On peut placer le point

est la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 2. Ici il suffit de considérer le triangle équilatéral OAC.

cosθ3=-3

2Donc, argz3=7π

6+2kπ

7iπ

64. Propriétés

4.1. Nombres complexes conjugués

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. zÎC*. z=a+biz=a-biz=r(cosθ+isinθ) z=r(cosθ-isinθ)

Or, cos(-θ)=cosθetsin(-θ)=-sinθ

Donc, z=r(cos(-θ)+isin(-θ))

On a donc

zÎC*. Si z=reiθalorsz=re-iθ4.2. Nombres complexes non nuls opposés z=a+bi=r(cosθ+isinθ)=reiθ

M(z)M'(-z)

Met M'sont symétriques par rapport à O.

On a cos(θ+π)=-cosθet

sin(θ+π)=-sinθ ∣-z∣=∣z∣zÎC*. Si z=reiθalors-z=rei(θ+π)4.3. Produit de deux nombres complexes non nuls zÎC*. z=reiθr=∣z∣et argz=θ+2kπz=r(cosθ+isinθ)

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.z'ÎC*. z'=r'eiθ'r'=∣z'∣et argz'=θ'+2kπ

z'=r'(cosθ'+isinθ') z×z'=(reiθ)×(r'eiθ')

z×z'=rr'[cosθ.cosθ'-sinθ.sinθ'+i(cosθ.sinθ'+sinθ.cosθ')]Or, cosθ.cosθ'-sinθ.sinθ'=cos(θ+θ')

Donc, Donc, ∣z×z'∣=r×r'et arg(z×z')=argz+argz'+2kπ zÎC*. z'ÎC*. z=reiθz'=r'eiθ'

Cas particuliers :

z'=λnombre réel non nul ; z=reiθSi

λ>0alors λ=λei0argλ=0+2kπ

z×z'=λreiθSi

λ>0alors λ=-λeiπargλ=π+2kπ

z×z'=-λrei(θ+π)

M(z)et M1(λz)

⃗OM1=λ⃗OM M1est l'image deMdans l'homothétie de centre O et de rapportλ. z'est un nombre complexe de module 1. z'=u=eiα=cosα+isinα z×z'=rei(θ+α)M1est l'image deMdans la rotation de centre O et de d'angle

4.4. Inverse d'un nombre complexe non nul

zÎC*. z=reiθ 1 z=z

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

Donc, 1

z=re-iθ r2=1 re-iθ

Donc, arg1

z=-argz+2kπ zÎC*. z=reiθ ∣1 z∣=1 retarg1 z=-argz+2kπ 1 z=1 re-iθ

4.5. Quotients de deux nombres complexes non nuls

zÎC*. z=reiθ z'ÎC*. z'=r'eiθ' z z'=z×1 z' arg(z z')=arg(z)+arg(1 z')+2kπarg (z z')=arg(z)-arg(z')+2kπ zÎC*. z=reiθetz'ÎC*. z'=r'eiθ' ∣z z'∣= ∣z∣ ∣z'∣etarg(z z')=arg(z)-arg(z')+2kπ z z'=r r'ei(θ-θ')

4.6. Formules d'Euler

cosθ=eiθ+e-iθ

2 et sinθ=eiθ-e-iθ

2i

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

5. Compléments

5.1. Caractérisation d'un cercle dans le plan complexeΩest un point du plan complexe d'affixeω.

rest un nombre réel strictement positif.

Mest un point du plan complexe d'affixez.

(c) est le cercle de centre

Ωet de rayonr.

MÎ(c)Ûz=ω+reiθavec θÎℝ

Démonstration :

Soit θ=arg(z-ω)+2kπ

MÎ(c)Û

∣z-ω∣eiθ=reiθ Or, ∣z-ω∣eiθ=z-ω

MÎ(c)Ûz-ω=reiθ

MÎ(c)Û

z=ω+reiθExemple :

Ω(1-2i)r=3

MÎ(c)Ûz=1-2i+3eiθavec θ∈ℝPour

4, on obtient le pointM0du cercle (c).

z0=1-2i+3i3π 4 Or, ei3π

4=cos3π

4+isin3π

2z0=1-3

2+i (-2+3 2

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

5.2. Interprétation géométrique du rapport z-zB

z-zA a) A et B sont deux points distincts fixés du plan complexe : A(zA) ; B(zB).quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15