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Tabledesmati`e res
1Du ald'unespace vectoriel1
1.1.Rappe lsetnotations..............................1
1.2.Espac edual...................................2
1.3.Hyp erplan....................................4
1.4.Based uale....................................5
1.5.Trans position..................................8
2Alg`ebrebilin´eaire10
2.1.Forme sbilin´eaires................................10
2.2.Form esquadratiques..............................13
2.3.Ort hogonalit´e..................................16
2.4.Form esnond´eg´en´er´ ees.............................18
2.5.Bases orthogonales...............................20
2.6.R´ed uctiondesformesquadratiques......................25
3EspaceEuclidien28
3.1.Pro duitscalaire.................................28
3.2.Orth ogonalit´edanslesespacespr´ehilbert iensr´eels..............32
3.3.Adjoin td'unendomorphism e.........................36
3.4.End omorphismesym´etrique..........................38
3.5.Endom orphismeorthogonal..........................40
3.6.Forme r´eduited'un endomorphismeorthogonal................43
4Ap plications48
4.1.Endom orphismessym´etriquesetformesquadratique s............48
4.2.Polyn ˆomesorthogonaux............................50
4.3.Coniq uesetquadriques.............................51
Index55
i 1
1Duald'unespacevectoriel
Danstoutec ettepartieKd´esignerauncorpscommutatif .
1.1.Rapp elsetnotations
•SoientFetGdessous -espacesvectorielsd'unK-espacevectorielE.OnditqueG estunsuppl´ementairedeFdansEsiE=F!G. •Dansunesp acevec toriel(dedimension finie),toutsous-espacevect orieladmetau moinsunsuppl´ ementai re. •SoitEunes pacevectorieldedim ensionfinienetB=(e 1 ,...,e n )unebasedeE. Toutvecte urx"Esed´ ecomposedemani`ereuniquesurla baseB,enx= n i=1 i e i eton peutcon sid´ererlam atrice-colonnedescoordonn´eesdexdanslabas eB: onnot eMat B (x)= 1 n '"M n,1 (K). •Soitn"N fix´e.Nousd´esigneronspar(" 1 n ),la basecanonique deK n
Rappelonsquelafamille( "
j j=1···n estd´efi niepar: 1 =(1,0,...,0)," 2 =(0,1,0,...,0)," j =(0,...,0,1,0,...,0)le 1
´eta nt` ala j
`eme place," n =(0,...,0,1).
Onad onc (x
1 ,x 2 ,...,x n )=x 1 1 +x 2 2 +···+x n n n i=1 x i i Lele cteurremarqueraquecette notationpeutdeveniramb igu¨esion nepr´ ecise pasclai rementl'entiern,c'est`adirel'espacevectorieldanslequelontravaille:par exemple" 1 repr´esente(1,0)d ansK 2 etrep r´esente(1,0,0,0)dan sK 4 •Soientmetnfix´esdansN .Nousd´esigneronspar(E ij (i,j)"[1,m] N #[1,n] N ,labase canoniquedeM m,n (K),e spacevectorieldesm atrices`amlignesetncolonnes`a coe!cientsdansK.RappelonsqueE ij estlama tricede M m,n (K)donttousles coe!cientssontnuls ,saufceluisitu ´e`alaligneietla colonne jquivaut 1.
Onad on cpourA"M
m,n (K),A=(a ij m i=1 n j=1 a ij E ij Cettenotation pr´esentelamˆemeambigu¨ı t´equelapr´ec´edente.
Sion seplace dansM
n (K)=M nn (K),onalar`egledemultiplicationsuivante: E ij E k! jk E i! ,o`u# jk
1sij=k,
0sinon
estlesymboledeKronecke r.
2Duald'une spacevectori el
•Soitn"N .NousnotonsD n (K)lesous-espacevectorieldeM n (K)constitu´e desmatr icesdiagonalesetS n (K)lesous-espacevectorieldeM n (K)constitu´edes matricessym´etriques: D n (K)=Vect({E ii ;i"[1,n] N })etS n (K)={A"M n (k); t A=A}.
Nousnoton sGL
n (K)legroupedesmatricesinversiblesdeM n (K): GL n (K)={A"M n (K);de t(A)#=0}. •SiEetFsontdesK-espacesvectoriels,alo rsL(E,F)estunespacevectorielde dimensionfinieetdim(L(E,F))=d im( E)$dim(F).
SoientB=(e
1 ,...,e m ),un ebasedeEet(f 1 ,...,f n )unebasedeF.Atoute B,B !(T)"M n,m (K) relativementauxbasesBetB .Pard´efinition: A=Mat B,B !(T)%&j"[1,m] N T(e j n i=1 a ij f i
1.2.Espa cedual
Onap pelleformelin´e airesurEtouteapplic ationlin´eairedeEdansK.
Ona ppelleespacedualdeE,not´eE
Ona don cE
=L(E,K)et$"E signifieque$estunea pplication deEdansKtelle que:&(x,y)"E 2 $(x+y)=$(x)+$(y)et&x"E&!"K$(!x)=!$(x).
1.2.2.Exemples.
a)L' applicationdeEdansK,qui`atoutvecteurx"Eassocielescalaire0"Kest unefo rmelin´eaire,app el´eeformenullesurE. b)SiE=C([a,b],R),l 'applicationf'() b a f(t)dtestunef ormelin´ea iresurE. c)Si Eestl'esp acevectorieldessuitesder ´eelsconvergentes,alorsu'()lim n%&+' u n estunef ormelin´ea iresurE. d)SiE=K[X],po urtouta"K,l'applicationP'()P(a)estuneformelin´eaire surE. e)Si E=M n (K),la traceTr, qui`aA=(a ij )"EassocieTr(A)= n i=1 a ii ,estune formelin´e airesurE.
Espacedual3
f)So ientEunes pacevectorieldedim ensionfinieetB=(e i i=1···n unebas edeE.Tout vecteurx"Esed´ ecomposedemani`ereuniquesurla baseB,enx= n i=1 i e i .Pour toutj"[1,n] N ,l'applicatione j :x'()! j estunef ormelin´ea iresurE,appel´ee j `eme -formecoordon n´eerelative`alabaseB. g)Si E=R 3 ,l'applicationqui`a(x,y,z)"Eassocie2x+3y(5zestunef orme lin´eairesurE. Plusg´en´er alementonalapropositionsuivante :
1.2.3.Proposition.Soitn"N
(i)Fixons(a 1 ,...,a n )"K n etcon sid´eronsl'application$deK n dansKqui`ato ut x=(x 1 ,...,x n )"K n ,associelescalaire$(x)=a 1 x 1 +a 2 x 2 +···+a n x n .Alors$ estunef ormelin´ea iresurK n n ,ilexisteununiquen-uplet (a 1 ,...,a n )"K n telquep ourtoutx=(x 1 ,...,x n )"K n ,onait%(x)= n i=1 a i x i
Preuve.(i)PourtousxetydansK
n ,onax+y=(x 1 +y 1 ,...,x n +y n )etdonc $(x+y)= n i=1 a i (x i +y i n i=1 (a i x i +a i y i n i=1 a i x i n i=1 a i y i =$(x)+$(y). Ond´ emontredemˆemequepourtout!"K,ona$(!x)=!$(x). (ii)Soit(" 1 n )labasecanoniquedeK n
Unicit´edun-uplet(a
1 ,...,a n )"K n :Supposonsquepourtoutx=(x 1 ,...,x n )"K n onait %(x)= n i=1 a i x i .Alorspourtoutj"[1,n] N ,ona%(" j )=a j
Existence:Pourtoutj"[1,n]
N ,posonsa j j ).Pourtoutx=(x 1 ,...,x n )"K n onax= n i=1 x i i ,d'o`u%(x)= n i=1 x iquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13
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