A condition de restreindre judicieusement leurs ensembles de définition, on Pour la fonction sinus, on restreint son domaine de y = arctan(x) ⇔ x = tan(y)
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
1 le domaine de définition de la fonction arcsinus est [ − 1, 1] 2 y = arcsin(x) ( sin(y) = x et − π 2 arctan est dérivable sur R et on a arctan(x)' = 1 1 + x2 IV
[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin, arccos, arctan 1 Définitions 2 Propriétés
Chapitre V Fonctions arcsin, arccos, arctan 1 Définitions 1 1 arcsin Proposition 1 1 La fonction sin : [−π/2, π/2] → [−1,1] est une bijection On note arcsin : [−1
[PDF] Exo7 - Cours de mathématiques - Institut de Mathématiques de
Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de f 2 Calculer f (0) et f (1) arctan ( −1 3 ) , arcsin(sin(5π 6 )), arccos(cos(5π 6 )), sin(arcsin(1)),
[PDF] Mathématique 1
une ou plusieurs propriétés, comme pour la fonction arctan- gente : domaine Pour déterminer le domaine de définition pour une fonction, on peut être amené
[PDF] Fonction arcsin
1 − x ) 1)Déterminer le domaine de définition de la fonction f 2)Déterminer le domaine où la fonction f est dérivable 3)Dériver f Correction de l'exercice 1 1)
[PDF] TDM 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS - GIPSA Lab
Etude de fonction (DS 2005) Soit la fonction f (x) = Arctan( x +1 x ) Donner le domaine de définition de f Calculer sa dérivée et donner les limites quand x tend
[PDF] Fonctions trigonométriques réciproques
A condition de restreindre judicieusement leurs ensembles de définition, on Pour la fonction sinus, on restreint son domaine de y = arctan(x) ⇔ x = tan(y)
[PDF] Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
π 2 [,arctan(tan(θ)) = θ 击 Attention, ici θ ne parcourt pas tout l'ensemble de définition des fonctions sinus, cosinus ou tangente Exemples : 1 arcsin(sin(17π 5 ))
[PDF] 2 Fonctions trigonométriques - Université de Rennes 1
(a) Quel est le domaine de définition de la fonction sinus? Tracer sa courbe (d) Même questions pour les fonctions tangente et arctangente Exercice 2 4
[PDF] domaine de définition de l'exponentielle
[PDF] domaine de définition de racine cubique
[PDF] domaine de définition de sin
[PDF] domaine de définition de sin(x)
[PDF] domaine de définition de tan
[PDF] domaine de definition exercice
[PDF] domaine de definition exercice corrigé
[PDF] domaine de definition exercice corrigé pdf
[PDF] domaine de definition exercice pdf
[PDF] domaine de définition exercices
[PDF] domaine de définition exercices corrigés pdf
[PDF] domaine de définition exercices corrigés seconde pdf
[PDF] domaine de definition ln exercices
[PDF] domaine de formation québec 2019
1
Fonctions trigonométriques réciproques
1 Définitions
Les fonctions sinus, cosinus définies de dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications surjectives par définition,
c'est à dire : y [-1 ;1], x tel que sin(x) = y et cos(x) = y .La fonction tangente définie de - {x x =
2 + k , k } dans est une application surjective par définition .A condition de restreindre judicieusement leurs ensembles de définition, on peut définir des fonctions qui sont
injectives et par conséquent bijectives. Pour la fonction sinus, on restreint son domaine de définition à l'intervalle [- 2 2 ] et on a : sin : [- 2 2 ] [-1 ;1] x sin(x) Alors cette fonction " sin " est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc sinus ainsi : arcsin : [-1;1] [- 2 2 x arcsin(x) avec l'équivalence : y = arcsin(x) x = sin(y)La représentation graphique
1 f d'une fonction f -1 réciproque d'une applicatio bijective est toujours symétrique de f par rapport à la bissectrice d du premier et troisième quadrant d'équation d : y = x . 1 f f 2 Pour la fonction cosinus, on restreint son domaine de définition à l'intervalle [0 ;] et on a : cos : [0 ;] [-1 ;1] x cos(x) Alors cette fonction "cos" est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc cosinus ainsi : arccos : [-1;1] [0 ;] x arccos(x) avec l'équivalence : y = arccos(x) x = cos(y) Pour la fonction tangente, on restreint son domaine de définition à l'intervalle ]- 2 2 [ et on a : tan : ]- 2 2 x tan(x) Alors cette fonction "tan" est bijective et on peut définir sa fonction réciproque appelée arc tangente ainsi : arctan : ]- 2 2 x arctan(x) avec l'équivalence : y = arctan(x) x = tan(y)Exemples : arcsin(1) =
2 , car sin( 2 ) = 1 arccos( 213 , car cos( 3 21
; arctan(-1) = - 4 , car tan(- 4 ) = -1
2 Remarques :
1) Soit f : A B une application bijective et f
-1 : B A sa réciproque avec y = f -1 (x) x = f(y) .On a alors : f
of -1 = id B et f -1 of = id A , c'est à dire : xB , : fof -1 (x)= id B (x) = x et yA , : f -1 of(y)= id A (y) = y . Ainsi : x [-1 ;1] , sin[arcsin(x)] = x et cos[arccos(x)] = x y [- 2 2 ] , arcsin[sin(y)] = y et y [0 ;] , arccos[cos(y)] = y et x , tan[arctan(x)] = x y ]- 2 2 [ , arctan[tan(y)] = y .2) On a aussi : x[-1 ;1] , arcsin(-x) = -arcsin(x) et x
, arctan(-x) = -arctan(x) ; les fonctions arcsin et arctan sont donc impaires.( car sin et tan sont impaires) preuve : y = arcsin(-x) -x = sin(y) x = -sin(y) x = sin(-y) -y = arcsin(x) y = -arcsin(x) y = cos(x) y = arctan(x) y = tan(x) y = arccos(x) 33 Dérivées
On a démontré le théorème de dérivation d'une fonction réciproque d'une application bijective :
Si f est une fonction bijective et continue sur un intervalle ouvert contenant y 0 et si f est dérivable en y 0 et si f '(y 0 ) 0 , alors la bijection réciproque f -1 est dérivable en x 0 = f(y 0 ) et on a (f -1 )'(x 0 )('f1 0 y.En posant y = f
-1 (x) = arcsin(x) et x = f(y) = sin(y) on obtient : (f -1 )'(x) = [arcsin(x)]' = x- 1 1 * (x))cos(arcsin1 cosy1 (siny)'1 )y('f1 2 , x ]-1 ;1[ .(* cf. exercice 3a)Exercices : démontrer que : [arccos(x)]' =
x- 1 1- 2 x ]-1 ;1[ et [arctan(x)]' = 2 x 1 1 , x . remarque : la fonction arcsin n'est pas dérivable en x = -1 et en x = 1 ; calculons f d (1) et f ' g (-1) : f d (1) =01 x- 1 1 lim
21xet f g (-1) =
01 x- 1 1 lim
21xinterprétation géométrique : les tangentes au graphique de la fonction arcsin en 1 x et en 1 x sont verticales : 4
4 Exercices
1) Démontrer : x [-1 ;1] , arcsin(x) + arccos(x) =
22) Calculer le domaine de définition des fonctions f
i définies par : a) y = f 1 (x) = arcsin3 x21 x
b) y = f 2 (x) =1xarctanx
2 c) y = f 3 (x) = arccos 2 x1x23) Démontrer :
a) x [-1 ;1] , cos[arcsin(x)] = x 1 2 et sin[arccos(x)] = x 1 2 b) x ]-1 ;1[ , tan[arcsin(x)] = x- 1 x 2 c) x [-1 ;1]-{0} , tan(arccos(x)] = x x- 1 2 d) x , sin[arctan(x)] = x 1 x 2 et cos[arctan(x)] = x 1 1 24) Calculer les dérivées des fonctions f
i définies par : a) y = f 1 (x) = arcsin (2x-3) b) y = f 2 (x) = arccos(x 2 c) y = f 3 (x) = arctan (3x 2 ) d) y = f 4 (x) = arctan x1x15) Calculer :
a) dx x11 2 b) dx xa1 22( poser t = ax ) c) dx x 1 1 2 d) dx x 1 x 22
( poser t = arccos(x) x = cos(t) ) e) dx x 1 x 2 ( poser t = arctan(x) x = tan(t) ) f) dx arcsin(x) g) dx arccos(x) h) dx arccos(2x) i) dx arctan(x) x j) dx x- 1 2 k) dx x16 25 1 2