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1

L3 Physique et Mecanique

Mecanique Lagrangienne

(Version du 23 mars 2016)

Luc PASTUR

Table des matieres

1 Reperes historiques 3

1.1 Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Un nouveau principe fondamental en mecanique 10

2.1 Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3 Exemple : la particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4 Deplacements et travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5 Principe de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3 Systemes sous contraintes 15

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2 Une classication des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.3 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.4 Forme d'une corde pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.5 Fonction dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4 Theoremes de conservation 21

4.1 Lagrangiens equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.2 Moment conjugue et variable cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.3 Energie et translation dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

4.4 Impulsion et translation dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.5 Moment cinetique et rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

5 Un principe fondamental en physique 25

5.1 Vers une theorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.2 Force de Lorentz et equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
2

Chapitre 1

Reperes historiques

Si c'est une convention de dire que la Terre tourne, c'est egalement une convention de dire qu'elle existe, et ces deux conventions se jus- tient par des raisons identiques.

Paul PAINLEV

E Sommaire1.1 Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.1 Cinematique

La cinematique est la science qui permet dedecrirele mouvement (position, vitesse, acceleration)

des corps,relativementa d'autres corps qui servent dereferentiel(le sol, le soleil, les etoiles xes),

tandis que la dynamique s'attache aexpliquerle mouvement des corps et les causes qui lui ont donne jour. On se donne unrepere, pour la mesure deslongueurs, et unehorloge, pour la mesure desdurees. Selon le probleme considere, on utilise l'un ou l'autre des reperes suivants : Le systeme de coordonnees cartesiennes (ex;ey;ez), xe dans le referentiel choisi. Le systeme de coordonnees cylindriques (e;e;ez), particulierement adapte lorsque le systeme presente unaxe de symetrie. C'est le cas par exemple du mouvement des corps celestes dans le plan de l'ecliptique. Le systeme de coordonnees spheriques (er;e;e), adapte pour les problemes qui presentent une symetrie spherique. Le systeme de coordonnees curvilignes, attache au corps solide et qui l'accompagne dans son mouvement. L'etude du mouvement des corps, par la determination de leuracceleration, suggere deja le principe fondamental deNewtonet permet de reveler desconstantes du mouvement. L'etude de la chute libre des corps, l^aches suivant la verticale ou sur un rail incline, permet de 3

CHAPITRE 1. REP

ERES HISTORIQUES4

mettre en evidence les mouvement uniformement acceleres, tels que a(t) =a0 v(t) =v0+a0(tt0) x(t) =x0+v0(tt0) +12 a0(tt0)2 Il appara^t en outre une constante du mouvementG=12 v2a0xqui n'est autre que l'energie mecanique du systeme : dGdt =vdvdt a0 = 0: L'etude du mouvement des planetes permet egalement d'etablirempiriquementles lois du mou- vement qui deviendront par la suite des consequences du principe fondamental de la dynamique lorsque la force appliquee est centrale et inversement proportionnelle au carre de la distance entre le Soleil et la planete.Johannes Kepler, reprenant plus precisement l'analyse du mouvement de la planete Mars commencee par son ma^tre et amiTycho Brahe, et supposant que la trajectoire de la Terre est circulaire autour du Soleil, etablitpar l'observationles lois suivantes : Premiere loi: les centres des planetes decrivent des ellipses dont l'un des foyers est occupe par le soleil Seconde loi: les rayons vecteurs balaient en des temps egaux des aires egales Troisieme loi: les cubes des grands axes des orbites sont proportionnels aux carres des

temps de revolution.Du point de vue de la Dynamique, les deux premieres lois impliquent une force centrale variant

en 1=r2; la troisieme loi permet quant a elle d'etablir que la constante de gravitation ne depend pas des planetes.

1.2 Dynamique

On peut raisonnablement considerer leprincipe de causalitecomme la base de la science mo- derne [9]. Dans son expression la plus simple, ce principe peut s'enoncer de la maniere suivante : (A) \Si a deux instants, les m^emes conditions sont realisees, transportees seulement dans l'espace et le temps, les m^emes phenomenes se reproduiront, transportes seulement dans l'espace et le temps." Cet enonce \intuitif" repose en fait sur notre habilete a denir l'espace et le temps, et notre capacite a mesurer des longueurs et des durees. Cette mesure ne peut porter, en pratique, que sur des quantitesrelatives, c'est-a-dire rapportees a un etalon, de longueur ou de temps. Ainsi, si la regle utilisee se racourcit ou s'allonge quand on se deplace dans l'espace (par rapport au metre- etalon), ou qu'on mesure le temps a l'aide d'une horloge qui prend de l'avance ou du retard (par rapport a l'horloge siderale), les deux phenomenes compares, identiques dans le premier systeme de mesure, appara^tront dierents dans le second. En langagepositif, le principe s'enoncerait ainsi d'une maniere legerement remaniee : \On peut mesurer la distance et le temps de telle facon que l'enonce (A) soit vrai." Implicitement, le principe de causalite suppose l'existence d'un systeme de referenceabsoludans

l'espace et le temps, par rapport auquel les lois de la mecanique doivent ^etre rapportees. C'est sur

ce postulat fondamental | que les mouvements absolus satisfont rigoureusement au principe de

causalite | que s'est construite la Mecanique. Du principe de causalite, il devait resulter que l'etat

initial du systeme susait a determiner son mouvement. Les scolastiques

1et les coperniciens2

acceptaient le principe de causalite; les premiers pensaient que l'etat initial du systeme etait1. Ecole de pensee reposant sur les idees aristoteliciennes, integrees au dogme de l'Eglise.

2. Adeptes de la doctrine deCopernicdans laquelle le Soleil occupe le centre du monde et les planetes tournent

autour de lui.

CHAPITRE 1. REP

ERES HISTORIQUES5

entierement donne par lespositionsde ses elements a un instant donne, les seconds que les positions seules ne susent pas et que lesvitessesinitiales de chacun des elements doivent ^etre egalement connues. La prise en compte des vitesses initiales du systeme, resulte de cetteobservationque le mouvement d'un corps isole tend a rester le m^eme. Le principe de causalite ainsi interprete conduit donc a la conclusion qu'un element materiel inniment eloigne de tous les autres reste absolument xe si la vitesse initiale est nulle, et decrit une droite s'il est anime d'une vitesse initiale. Pour certaines raisons desimplicite, appuyees sur des observations astronomiques, les coperniciens admettaient de plus que le mouvement absolu du systeme est non seulement rectiligne, mais egalementuniforme, qui donnera leprincipe de l'inertierepris parGalileepuis pose comme premiere loi parNewton. Laforcese denit alors comme l'action qui fait devier un corps de son mouvement rectiligne uniforme. La grandeur dirigee qui represente mathematiquement la force doit donc avoir lesensde la deviation et ^etre proportionnelle a la fois a lagrandeurde cette deviation et a laquantite de matieredeviee. Le changement de la vitesse d'un corps par une force, durant un temps inniment petit, conduitGalileea denir la notion d'accelerationet ses successeurs a \inventer" lecalcul dierentiel. L'operation dedierentiationest ainsi capable de resoudre les phenomenes les plus complexes du mouvement enactions elementaires, c'est-a-dire en actions qui s'exercent entre elements de matiere pendant un temps innitesimal. A l'inverse, lecalcul integral permet d'eectuer l'operation inverse et de calculer le mouvement ni d'un coprs materiel a partir de la connaissance des forces qui s'exercent sur lui a chaque instant, et des conditions initiales proprement denies. Le principe decomposition des forces, etabli en Statique depuis l'antiquite,

Galill

eeetNewtonl'admettent pour la Dynamique; elle permet de decomposer la force totale qu'un corps quelconqueSexerce sur un element materielPen forces exercees surPpar les divers elements deS. La troisieme loi, dite de l'action et de la reaction, resulte de l'acceptation que la

force qui s'exerce entre deux corps ne depend que de leurs positions et non de leur vitesses absolues.

Cette hypothese, acceptee comme \evidente" parGalilee, n'est pas dictee par l'experiencemais est heritee des anciens principes scholastiques. Ce postulat a neanmoins singulierement contribue au developpement de la Mecanique. Toutes les denitions supposent que les elements materiels sont formes d'atomes(au sens ethymologique du terme) identiques. Cette hypothese, longtemps restee inveriable, peut ^etre remplacee par l'adjonction d'unnombre, deni comme lamasse, qui repond aux conditions sui- vantes :i)il reste le m^eme quelles que soient les transformations subies par l'element, pourvu que celui-ci ne perde ni n'acquiere aucune parcelle de matiere;ii)toutes les propositions eneoncees jusqu'ici reste vraies en regardant la masse d'un element comme le nombre de ses atomes. Le corps des axiomes de la mecanique se trouve ainsi constitue independamment de toute arriere-pensee sur la composition de la matiere. Newtonfait la distinction entre mouvementsrelatifs| ceux auxquels nous avons acces |, etabsolus| rapportes a l'espace absolu. Un referentiel est donc necessaire, par rapport auquel est rapporte le mouvement d'un corps, et dans ce referentiel un repere, xe ou attache au corps, est choisi qui permet demesurerles caracteristiques du mouvement au cours du temps. Il s'agit d'enoncer une ou plusieurs lois sur les causes du changement du mouvement. La grandeur fonda- mentale introduite par Descartes est laquantite de mouvementp=mv, qui resulte du produit de la masse de l'objet par sa vitesse. Les lois de la mecanique, selonNewton3, s'enoncent selon les

troisprincipessuivants :3.Robert Hookerevendiquait aussi la paternite de l'enonciation des principes fondamentaux de la Dynamique;

malgre son indeniable contribution aux principes enonces parNewton, ce dernier refusa toujours aHookeles

remerciements qu'il lui reclamait.

CHAPITRE 1. REP

ERES HISTORIQUES6

1.Principe d'inertie

Tout corps isole subsiste dans son etat de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

2.Principe fondamental de la dynamique

La variation de la quantite de mouvement d'un corps est directement proportion- nelle a la somme de toutes les forces externes appliquees : dpdt =XF app(1.1)

3.Principe de reaction mutuelle

Deux corps en interaction exercent l'un sur l'autres des actions egales en intensite et opposees en sens.Il est utile ici de faire un certain nombre de remarques : La masse qui intervient dans le principe fondamental de la dynamique est lamasse inerte, qui s'oppose a la mise en mouvement d'un corps ou a un changement de mouvement. Il est important ici de remarquer que lamasse grave, ou masse pesante, qui intervient dans la force d'attraction gravitationnelle, est a priori dierente de la masse inerte. C'est un faitd'experience que le rapport des masses graves de deux corps est egal au rapport de leurs masses inertes (a moins de 10

12). La concidence de ces deux grandeurs, toujoursin-

expliquee, est a la base duprincipe d'equivalenceenonce parEinsteinen relativite generale. L'etat de repos correspond a un mouvement rectiligne uniforme avitesse nulle, ce qui peut simplier encore l'enonce du premier principe. Lorsque la masse d'un corps est constante, le second principe se reduit a ma=XF app(1.2) ouaest le vecteur acceleration. La question de laconstancede la masse inerte est a la base des developpements de la Mecanique, en ce que l'on reconna^t aux corps une qualite qui se conserve au cours du temps, tant^ot assimilee a saquantite de matiere(le premier a denir la masse de cette maniere futNewton), tant^ot denie comme le rapport inverse des accelerations mutuellement induites par deux corps qui interagissent (ce que tE. Mach pour eviter le piege de la quantite de matiere qu'il jugeait vide de sens) [8]. La force de Lorentz est un cas \etrange", en ce sens que cette force ne depend plus seulement de lapositionrelative de la particule chargee mais aussi de savitesse:F=q(E+vB). Une consequence est que l'action mutuelle que deux corps charges en mouvement exercent l'un sur l'autre ne se trouve pas portee par l'axe qui relie les deux particules, comme c'est generalement le cas des forces gravitationnellemgou electrostatiqueqE. Le principe de l'action et de la reaction reste valable, mais dans une formefaible. Une autre consequence est que la force de Lorentz, adjointe aux equations de Maxwell,ne sont pas invariantes lors du passage d'un referentiel d'inertie a un autre.Woldemar Voigt,George Fitzgerald, Hendrik Lorentz,Henri PoincareetAlbert Einstein, ont contribue, a des degres divers, a developper la theorie nouvelle, (improprement) denommeerelativite restreinte[12]. La transformation deLorentz-Poincarelaisse les equations de l'electromagnetisme in- variantes par changement de referentiel inertiel [5]. Bien qu'Ernst Machreconnaisse pleinement le genie intellectuel d'Isaac Newton, et notamment des concepts clairement formules dont la Mecanique lui est redevable, il n'en est pas moins tres critique a l'egard de saformulationdes principes de base de la Mecanique.

CHAPITRE 1. REP

ERES HISTORIQUES7

Ainsi, selonMach, une formulation appropriee,economiquepour reprendre son expression, serait la suivante [8] : A.Principe experimental. | Deux corps en presence l'un de l'autre determinent l'un sur l'autre, dans des circonstances qui doivent ^etre donnees par la physique experimentale, desaccelerationsopposees suivant la direction de la droite qui les unit. (Le principe de l'inertie se trouve deja inclu dans cette proposition). B.Denition. | On appelle rapport des masses de deux corps l'inverse, pris en signe contraire, du rapport de leurs accelerations reciproques. C.Principe experimental. | Les rapports des masses des corps sont independantes des cir- constances physiques (qu'elles soientelectriques, magnetiques ou autres) qui determinent leurs accelerations reciproques. Ils restent aussi les m^emes, que ces accelerations soient acquises directement ou indirectement. D.Principe experimental. | Les accelerations que plusieurs corpsA,B,C,:::determinent sur un corpsKsont independantes les unes des autres. (Le theoreme de la composition geometrique des forces est une consequence immediate de ce principe). E.Denition. | La force motrice est le produit de la valeur de la masse d'un corps par l'acceleration determinee sur ce corps.

1.3 Energie

Une formulationequivalentede la Mecanique repose sur les notions historiques detravailet force vive, regroupees sous le vocable moderne d'energie. Le premier a en avoir percu la portee fut le physicien neerlandaisChristiaan Huygensdans la resolution du \probleme du centre d'oscillation". Par-dela sa pertinence en Mecanique, elle permet en plus de rapprocher dierents champs de la physique en posant comme principe que celle-ci puisse subir destransformations, qui la font changer de qualites, de sorte que la quantitetotaled'energie se conserve. Parmi ses formes, la plus subtile et inattendue revelee par les developpements de la science au XX esiecle, reside dans l'equivalence entre masse (inertielle) et energie, liees par une constante fondamentale de la physique,c, qui appara^t dans la transformation deLorentz-Poincareet a les dimensions d'une vitesse 4:

E=mc2:

Parmi toutes les formes prises par l'energie, il en est une qui recut tres t^ot la plus grande attention de la Mecanique. Laforce vive, aujourd'hui appeleeenergie cinetique, permet a un corps anime d'une vitesse de s'elever jusqu'a une hauteur egale (ou legerement inferieure) a celle de laquelle il avait ete l^ache sans vitesse initiale.Huygensremarqua que la hauteurhvariait comme le carre de la vitesse du corps. Cette force vive etant par ailleurs proportionnelle a la masse inertielle des corps, elle s'ecrit naturellementmv2. Remarquant que la relation entre la hauteur de chute et la vitesse acquise est exactementh=v2=2, il s'ensuit la denition bien connue de l'energie cinetique : T=12 mvv=12 mv2;(1.3) Changer l'etat de mouvement d'un corps sur la distance d`implique l'action d'une force qui travaille selon : W

F=Fd`;(1.4)

qui a la dimension est celle d'une energie, exprimee enJoule: [W] = J =ML2T2:

Une force perpendiculaire au mouvement ne peut pas ^etre a l'origine de ce mouvement.4. Vitesse qu'on assimile a celle de la lumiere.

CHAPITRE 1. REP

ERES HISTORIQUES8

Remarque: Le mouvement etant relatif au referentiel choisi, l'energie cinetique ou le travail d'une force sont egalement relatifs a ce referentiel.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27