[PDF] Université des Sciences et Technologies de Lille UFR de PDF CodeRouteCor.pdf

U F R de Mathématiques Pures et Appliquées DEUG MASS 2 questions, la probabilité que le candidat connaisse la vraie réponse est p Ce paramètre

QCM sur les probabilités Question 1 (une seule proposition juste) On tire au hasard 2 cartes dans un jeu de 32 cartes, l'une après l'autre et sans remettre la

[PDF] Université des Sciences et Technologies de Lille UFR de

U F R de Mathématiques Pures et Appliquées DEUG MASS 2 questions, la probabilité que le candidat connaisse la vraie réponse est p Ce paramètre

[PDF] PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES - Math2Cool

Cours et exercices de mathématiques M CUAZ 3) Déterminer la probabilité de l'événement D "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure" 2) Quelle est la probabilité qu'une personne ait répondu « non » aux deux questions ?

[PDF] Probabilité et dénombrement - Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 4 Un QCM comporte 10 questions, pour chacune desquelles 4 réponses sont proposées, une seule est exacte Combien y-a-t-il de grilles- réponses

[PDF] Analyse combinatoire et probabilités - mathématiques et physique

b) même question si on effectue le tirage avec remise ? c) Démontrer que la probabilité b) est plus grande que a) Solution 2 2 22 Exercice Une réserve clôturée

[PDF] Probabilités conditionnelles

De plus la probabilité de l'événement “la machine M2 est en panne sachant que M1 Même question pour la même enquête dans une autre université ou les

[PDF] Indépendance en probabilité Loi de Bernoulli - Meilleur En Maths

Exercice On considère un questionnaire comportant cinq questions Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A , B et

[PDF] S Nouvelle Calédonie novembre 2018 - Meilleur En Maths

Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions ; Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité correctement est égale à 1

[PDF] QCM : dénombrements et probabilités - R2math de lENSFEA

Dans le cadre du travail entrepris par Py-Math dans le bulletin n°6 sur les Q C M , mieux parler de "questions à choix multiples" que de "questionnaires à choix

[PDF] EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les - Maths-francefr

La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 ( sensibilité du test) question précédente, p (V ∩ T) = 0, 0198 et d'autre part p(T ∩ V)

U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

DEUG MASS 2 Année 2000-2001

Probabilités et Statistique, Corrigé Code de la Route

Ex 1.Code de la Route I.

Pour l"examen du Code de la Route, les candidats doivent remplir un questionnaire de 40 questions en choisissant pour chacune d"elles l"une des4réponses proposées, dont une seule est exacte. Un candidat totalement ignorant décide de tenter sa chance en cochant complètement au hasard une réponse pour chaque question.

1) Le nombreSde bonnes réponses du candidat est ici le nombre de succès dans

une suite de40épreuves répétées indépendantes, avec pour chacune probabilité de succès

1/4. La variable aléatoireSsuit donc la loi binomiale de paramètres40et1/4.

2) Pour calculerP(S≥36), on utilise la décomposition

P(S≥36) =40

k=36P(S=k).

P(S≥36) =C3640?14

36?34

4+C3740?14

37?34

3+C3840?14

38?34

2+C3940?14

39?34
1 +C4040?14 40?34
0 14

40?C3640×34+C3740×33+C3840×32+C3940×3 +C4040×1?

40?91390×81 + 9880×27 + 780×9 + 40×1 + 1×1?

?6,35×10-18. Cette probabilité est infime. Elle est du même ordre de grandeur que celle de trouver

10 milliards de foisconsécutives(sans tricher!) les 6 bons numéros au Loto en jouant

une grille à 6 numéros à chaque tirage. Pour cela, l"heureux candidat et ses descendants devraient jouer pendant 100 millions d"années en gagnant à chaque fois! On ne prend donc aucun risque en pratique en considérant qu"un candidat ayant obtenu au moins 36 bonnes réponses n"a certainement pas répondu au hasard àtoutesles questions. 1

Ex 2.Code de la Route II.

Dans un modèle plus réaliste, le candidat répond à coup sûr lorsqu"il connaît la

réponse à la question et s"il l"ignore, choisit au hasard entre les 4 réponses proposées.

On suppose que toutes les questions sont indépendantes et que pour chacune de ces questions, la probabilité que le candidat connaisse la vraie réponse estp. Ce paramètre pmesure donc le vrai niveau du candidat.

1) SoitAil"évènement " le candidatconnaîtla réponse à laiièmequestion ». Notons

1 Aila variable aléatoire indicatrice de cet évènement : 1 Ai=?1si le candidat connaît la réponse à laiièmequestion;

0s"il l"ignore.

Le nombreSde questions à réponse connue du candidat est donc S=40? i=11 Ai. L"indépendance des questions entraîne celle des évènementsAi. Comme ils ont chacun la même probabilitép,Ssuit la loi binomiale :

S≂Bin(40;p).

2) On noteBil"évènement "le candidat donne la bonne réponse à laiièmequestion».

On a clairement

P(Bi|Ai) = 1etP(Bi|Aci) =14

On calcule alorsP(Bi)en conditionnant par les deux cas possibles :

P(Bi) =P(Bi|Ai)P(Ai) +P(Bi|Aci)P(Aci) = 1×p+14

(1-p) =1 + 3p4

3) Introduisons à nouveau les variables aléatoires indicatrices :

1 Bi=?1si le candidat donne la bonne réponse à laiièmequestion;

0si le candidat donne une réponse fausse à laiièmequestion.

Le nombre totalUde bonnes réponses données par le candidat peut s"écrire : U=40 i=11 Bi. LesBisont indépendants et de même probabilité(1+3p)/4, doncUsuit la loi binomiale :

U≂Bin?

40;1 + 3p4

De même le nombre totalVde réponses fausses données par le candidat est V=40 i=11 Bci. 2 LesBciétant indépendants et de même probabilité1-(1 + 3p)/4 = 3(1-p)/4,

V≂Bin?

40;3-3p4

4) NotonsCil"évènement "le candidat répond au hasard à laièmequestionettrouve

la bonne réponse ». On a clairement pour touti? {1,...,40}, B i=Ai?CiavecAi∩Ci=∅.

On en déduitP(Bi) =P(Ai) +P(Ci), d"où

P(Ci) =P(Bi)-P(Ai) =1 + 3p4

-p=1-p4 Le nombreTde bonnes réponses " chanceuses » est T=40 i=11 Ci. LesCiétant indépendants et de même probabilité(1-p)/4,

T≂Bin?

40;1-p4

Ex 3.Épreuves répétées à trois issues. On considère une suite denépreuves répétées indépendantes avec pour chaque épreuve trois résultats possibles :Aavec probabilitéa,Bavec probabilitébouCavec probabilitéc(a+b+c= 1). On notera respectivementAi,BietCiles événements obtention du résultatA(respectivement,B,C) à lai-ème épreuve.

1) L"événementEconsistant en l"obtention dans cet ordre de deuxAsuivis d"un

Bet de deuxCs"écrit :

E=A1∩A2∩B3∩C4∩C5.

En raison de l"indépendance des épreuves, les cinq événements intervenant dans cette intersection sontmutuellement indépendants. D"où :

P(E) =P(A1)P(A2)P(B3)P(C4)P(C5) =a2bc2.

L"événementFobtention (sans condition d"ordre) de deuxA, unBet deuxCest la réunion disjointe de tous les sous-événements du typeEconstruits en imposant parmi les5épreuves les rangs des deuxAet celui duBparmi les trois rangs restants (les deux Coccupant alors les deux derniers rangs non utilisés). Chacun de ces sous-événements a même probabilité queEet il y a en toutC25×C13dispositions possibles. Ainsi

P(F) =C25C13a2bc2=5!2!3!

3!1!2!

a2bc2=5!2!1!2! a2bc2= 30a2bc2. 3

2) Généralisation : pouri+j+k=n, notonsEi,j,kl"évènement obtention dans cet

ordre deirésultatsA,jrésultatsBetkrésultatsC: E i,j,k=? i∩ ?=1A?? i+j∩ ?=i+1B?? n∩ ?=i+j+1C??

Par indépendance des épreuves,

P(Ei,j,k) =aibjck.

Dans ces écritures, nous avons fait la convention habituelle selon laquelle une intersection j= 0) vautΩ. Le calcul ci-dessus inclut donc les cas particuliers d"indicesi,jouknuls. Si l"on supprime la condition d"ordre, on obtient l"évènementFi,j,k, réunion disjointe d"événements de même probabilité queEi,j,k. Leur dénombrement s"effectue comme ci- dessus, il y en aCinCj n-i: en effet, il y aCinfaçons de placer lesi A, puisCj n-ifaçons de placer lesj Bparmi lesn-ipositions restant libres, après quoi il ne reste plus que k=n-i-jpositions pour lesk C, donc une seule façon de les placer. La probabilité d"obtenir au cours desnépreuves (et sans condition d"ordre)i A,j Betk C(i+j+k=n) vaut donc :

P(Fi,j,k) =CinCj

Ex 4.Code de la Route III.

On reprend les notations et les hypothèses de l"exercice 3. Ce que peut réellement observer l"examinateur, c"est la valeur prise parU(ou ce qui revient au même parV). Les quantités intéressantes pour tirer des conclusions sur le niveau réel du candidat sont réponses, on aimerait évaluerP(S≥36|U= 38).

1) NotonsE={S=i,U=m}etF={S=i,T=m-i,V= 40-m}. Nous

allons vérifier queE=F. Soitω?E. Cela signifie queS(ω) =ietU(ω) =m. CommeT=U-Set V= 40-U, on aT(ω) =m-ietV(ω) = 40-m. Doncωvérifie les trois conditions d"appartenance àF. Donc toutω?Eest aussi élément deF(autrement dit,E?F). Réciproquement, soitω?F. AlorsS(ω) =i,T(ω) =m-ietV(ω) = 40-m. Comme U=T+S,U(ω) =T(ω)+S(ω) = (m-i)+i=m. AinsiS(ω) =ietU(ω) =m, donc ωest dansE. On a vérifié que toutωdeFest aussi dansE, autrement dit queF?E. Les inclusionsE?FetF?Emontrent queE=F, d"où l"égalité des probabilités :

2) On peut alors utiliser cette égalité pour le calcul deP(S=i|U=m):

P(S=i|U=m) =P(S=i,U=m)P(U=m)=P(S=i,T=m-i,V= 40-m)P(U=m). Comme la loi deUnous est connue, il suffit de calculerP(S=i,T=m-i,V= 40-m).

Pour ce faire, on utilise le résultat de l"exercice 4 en considérant que l"on a une série de

40épreuves répétées indépendantes avec pour chacune, trois résultats possibles :

4 Aréponse connue du candidat avec probabilitéa=p; Bbonne réponse chanceuse avec probabilitéb= (1-p)/4; Créponse fausse avec probabilitéc= (3-3p)/4. Dans ces conditions, la probabilité d"avoiriréponses connues,m-ibonnes réponses chanceuses et40-mréponses fausses est

P(S=i,T=m-i,V= 40-m) =40!i!(m-i)!(40-m)!pi?1-p4

m-i?3-3p4 40-m.

CommeUsuit la loiBin?

40;
1+3p4

P(U=m) =40!m!(40-m)!?

1 + 3p4

m?3-3p4 40-m.
En reportant dans le calcul deP(S=i|U=m), il vient après simplifications

P(S=i|U=m) =m!i!(m-i)!pi?1-p4

m-i?41 + 3p? m=Cim?4p1 + 3p? i?1-p1 + 3p? m-i.

On peut donc énoncer le résultat sous la forme suivante :conditionnellement à l"évène-

ment{U=m},Ssuit la loi binomiale de paramètresmet4p/(1 + 3p).

3) En remarquant que sii > m,P(S=i|U=m) = 0(ceci revient à considérer

que le candidat n"est pas distrait et ne peut donner moins de bonnes réponses qu"il n"en connaît!), on en déduit P(S≥36|U= 38) =P(S= 36|U= 38)+P(S= 37|U= 38)+P(S= 38|U= 38). Posons pour alléger les écrituresr= 4p/(1 + 3p). P(S≥36|U= 38) =C3638r36(1-r)2+C3738r37(1-r) +C3838r38 =r36?703(1-r)2+ 38r(1-r) +r2? =r36?666r2-1368r+ 703?. En remplaçantrpar sa valeur, on aboutit après calcul à P(S≥36|U= 38) =(4p)36(1 + 3p)38(567p2-1254p+ 703) =:f(p).

Voici la représentation graphique def:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.06

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

[PDF] [PDF] Université des Sciences et Technologies de Lille UFR de