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Exercice 2 3 points

Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour

chacune d'entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question

le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par

réponse correcte et ne perd aucun point si la réponse est fausse.

On considère trois candidats :

. Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions ; Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité correctement est égale à 1 4.

. Barbara est un peu mieux préparée. On considère que chacune des questions, la probabilité qu'elle réponde

correctement est 1 2 ;

. Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de 2

1. On note X, Y et Z les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara

et Camille.

1.a. Quelle est la loi de probabilité aléatoire X ? Justifier.

1.b. À l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi au millième de la probabilité P(X⩾10).

Dans la suite, on admettra que

P(Y⩾10)=0,588 et P(Z⩾10)=0,962.

2. On choisit au hasard la copie d'un de ces trois candidats.

On note A, B, C et M les événements :

. A : " la copie choisie est celle d'Anselme » ; . B : " la copie choisie est celle de Barbara » ; . C : " la copie choisie est celle de Camille » ; . M : " la copie choisie obtent une note supérieure ou égale à 10 ».

On constate, après l'avoir corrigée, que la copie obtient une note supérieure ou égae à 10 sur 20.

Quelle est la probabilité qu'il s'agisse de la copie de Barbara ? On donnera l'arrondi au millième de cette probabilité.

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CORRECTION

1.a. On considère l'épreuve de Bernoulli suivante :

Pour l'une quelconque des vingt questions

Succès S : " Anselme répond correctement à la question et gagne un point »

La probabilité du succès est : p=1

4=0,25 Échec

¯S : " Anselme ne répond pas correctement à la question et ne gagne pas de point »

La probabilité de l'échec est :

q=3

4=0,75 . Anselme répond complètement au hasard aux 20 questions.

Donc les vingt épreuves sont indépendantes et la loi de probabilité X égale au nombre de succès en 20

épreuves est la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,25.

1.b. En utilisant la calculatrice, on obtient :

P(X⩾10)= 0,014

2. On nous demande de calculer

PM(B).

On choisit au hasard l'un des trois candidats donc :

P(A)=P(B)=P(C)=1

On connaît aussi :

PA(M)=0,014 PB(M)=0,588 PC(M)=0,962 On utilise la formule des probabilités totales :

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On considère trois candidats :

1. On note X, Y et Z les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara

1.a. Quelle est la loi de probabilité aléatoire X ? Justifier.

1.b. À l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi au millième de la probabilité P(X⩾10).

Dans la suite, on admettra que

P(Y⩾10)=0,588 et P(Z⩾10)=0,962.

2. On choisit au hasard la copie d'un de ces trois candidats.

On note A, B, C et M les événements :

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CORRECTION

1.a. On considère l'épreuve de Bernoulli suivante :

Pour l'une quelconque des vingt questions

La probabilité du succès est : p=1

4=0,25 Échec

La probabilité de l'échec est :

4=0,75 . Anselme répond complètement au hasard aux 20 questions.

1.b. En utilisant la calculatrice, on obtient :

P(X⩾10)= 0,014

2. On nous demande de calculer

PM(B).

P(A)=P(B)=P(C)=1

On connaît aussi :

P(M)=1

3×0,014+1

3×0,588+1

3×0,962=1,564

3= 0,521 à 10-3 près.

PM(B)=P(M∩B)

P(M∩C)=0,588×1

3=0,196 PM(B)=0,196

0,521= 0,376