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Exercice 4 Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans” Correction  

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Exercices de logique : corrigé PCSI 2 Lycée Pasteur 24 septembre 2007 Exercice 1 : • (2 + 2 = 4) ∧ (1 + 1 = 3) est fausse, sa négation est (2 + 2 = 4) ∨ (1 + 1 

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191 n'est pas divisible par 2,3,5,7,11,13 donc 191 est premier Correction 5 Raisonnement par l'absurde Supposons que √ 89 = p q avec 

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Exercice 3 Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ⇔ Correction 2 Dans ce corrigé, nous donnons une justification, ce qui n'était pas 

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Ecrire la proposition ( ) avec des quantificateurs 2 Ecrire la négation avec des quantificateurs puis l'énoncer en français Aller à : Correction exercice 8 :

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c) Quels sont les ensembles A ⊂ ℝ qui vérifient la définition ci-dessus après interversion des quantificateurs "∀ x ∈ A" et "∃ ε > 0" raisonnement par récurrence, 

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N'hésitez pas à les consulter pour refaire les exercices avant de regarder la l' exercice 1, il se peut que le rédacteur fasse quelques raccourcis ; cela ne vous autorise bien sûr pas à en faire Si cela ne vous parait pas logique, on peut aussi 

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EXERCICE 1 : Ecrire avec des quantificateurs les propositions suivantes : a) Il existe un nombre rationnel dont le carré vaut deux b) La somme de deux 

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pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions 

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Corrigé de l'épreuve diagnostique sur les préalables Corrigé des exercices Vous serez appelé à vous pencher sur les notions d'implication logique et

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦2Logique, ensembles, raisonnements

1 Logique

Exercice 1Soient les quatre assertions suivantes : (a)?x?R?y?Rx+y >0 ; (b)?x?R?y?Rx+y >0 ; (c)?x?R?y?Rx+y >0 ; (d)?x?R?y?Ry2> x.

1. Les assertionsa,b,c,dsont-elles vraies ou fausses?

2. Donner leur n´egation.

Exercice 2Soitfune application deRdansR. Nier, de la mani`ere la plus pr´ecise possible, les ´enonc´es qui suivent :

1. Pour toutx?Rf(x)?1.

2. L"applicationfest croissante.

3. L"applicationfest croissante et positive.

4. Il existex?R+tel quef(x)?0.

5. Il existex?Rtel que quel que soity?R, six < yalorsf(x)> f(y).

On ne demande pas de d´emontrer quoi que ce soit, juste d"´ecrire le contraire d"un ´enonc´e.

Exercice 3Compl´eter les pointill´es par le connecteur logique qui s"impose :?,?,?.

1.x?Rx2= 4...... x= 2;

2.z?Cz=z ...... z?R;

3.x?Rx=π ...... e2ix= 1.

Exercice 4DansR2, on d´efinit les ensemblesF1={(x,y)?R2, y?0}etF2={(x,y)? R

2, xy?1, x?0}.´Evaluer les propositions suivantes :

1.?ε?]0,+∞[?M1?F1?M2?F2/||----→M1M2||< ε

2.?M1?F1?M2?F2/?ε?]0,+∞[||----→M1M2||< ε

3.?ε?]0,+∞[/?M1?F1?M2?F2||----→M1M2||< ε

4.?M1?F1?M2?F2?ε?]0,+∞[/||----→M1M2||< ε

Quand elles sont fausses, donner leur n´egation. Exercice 5Nier la proposition : "tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans".

Exercice 6Nier les assertions suivantes :

1. tout triangle rectangle poss`ede un angle droit;

1

2. dans toutes les ´ecuries, tous les chevaux sont noirs;

3. pour tout entierx, il existe un entierytel que, pour tout entierz, la relationz < x

implique le relationz < x+ 1;

4.?ε >0?α >0/|x-7/5|< α? |5x-7|< ε.

Exercice 7Montrer que?ε >0?N?Ntel que (n?N?2-ε <2n+1n+2<2 +ε). Exercice 8Soitf,gdeux fonctions deRdansR. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :

1.fest major´ee;

2.fest born´ee;

3.fest paire;

4.fest impaire;

5.fne s"annule jamais;

6.fest p´eriodique;

7.fest croissante;

8.fest strictement d´ecroissante;

9.fn"est pas la fonction nulle;

10.fn"a jamais les mˆemes valeurs en deux points distcincts;

11.fatteint toutes les valeurs deN;

12.fest inf´erieure `ag;

13.fn"est pas inf´erieure `ag.

2 Ensembles

Exercice 9Montrer par contraposition les assertions suivantes,E´etant un ensemble :

1.?A,B? P(E) (A∩B=A?B)?A=B,

2.?A,B,C? P(E) (A∩B=A∩CetA?B=A?C)?B=C.

Exercice 10SoitA,Bdeux ensembles, montrer?(A?B) =?A∩?Bet?(A∩B) =?A??B. Exercice 11SoientEetFdeux ensembles,f:E→F. D´emontrer que : ?A,B? P(E) (A?B)?(f(A)?f(B)), ?A,B? P(E)f(A∩B)?f(A)∩f(B), ?A,B? P(E)f(A?B) =f(A)?f(B), ?A,B? P(F)f-1(A?B) =f-1(A)?f-1(B), ?A? P(F)f-1(F\A) =E\f-1(A). Exercice 12Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ´eventuellement vide ou r´eduit `a un point I

1=+∞?

n=1? -1n ,2 +1n etI2=+∞? n=1? 1 +1n ,n? Exercice 13SoientA,B?E. R´esoudre les ´equations `a l"inconnueX?E

1.A?X=B.

2.A∩X=B.

2

3 Absurde et contrapos´ee

Exercice 14Soit (fn)n?Nune suite d"applications de l"ensembleNdans lui-mˆeme. On d´efinit une applicationfdeNdansNen posantf(n) =fn(n) + 1. D´emontrer qu"il n"existe aucun p?Ntel quef=fp. Exercice 151. Soitp1,p2,...,prrnombres premiers. Montrer que l"entierN=p1p2...pr+

1 n"est divisible par aucun des entierspi.

2. Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer par l"absurde qu"il existe une infinit´e de

nombres premiers.

4 R´ecurrence

Exercice 16Montrer :

1. n? k=1k=n(n+ 1)2 ?n?N?. 2. n? k=1k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

?n?N?. Exercice 17Soit la suite (xn)n?Nd´efinie parx0= 4 etxn+1=2x2n-3x n+ 2.

1. Montrer que :?n?Nxn>3.

2. Montrer que :?n?Nxn+1-3>32

(xn-3).

3. Montrer que :?n?Nxn??32

n+ 3.

4. La suite (xn)n?Nest-elle convergente?

Exercice 18

1. Dans le plan, on consid`ere trois droites Δ

1,Δ2,Δ3formant un "vrai" triangle : elles ne

sont pas concourantes, et il n"y en a pas deux parall`eles. Donner le nombreR3de r´egions (zones blanches) d´ecoup´ees par ces trois droites.

2. On consid`ere quatre droites Δ

1,...,Δ4, telles qu"il n"en existe pas trois concourantes, ni

deux parall`eles. Donner le nombreR4de r´egions d´ecoup´ees par ces quatre droites.

3. On consid`erendroites Δ1,...,Δn, telles qu"il n"en existe pas trois concourantes, ni deux

parall`eles. SoitRnle nombre de r´egions d´elimit´ees par Δ1...Δn, etRn-1le nombre de r´egions d´elimit´ees par Δ

1...Δn-1. Montrer queRn=Rn-1+n.

4. Calculer par r´ecurrence le nombre de r´egions d´elimit´ees parndroites en position g´en´erale,

c"est-`a-dire telles qu"il n"en existe pas trois concourantes ni deux parall`eles. Exercice 19SoitXun ensemble. Pourf? F(X,X), on d´efinitf0=idet par r´ecurrence pourn?Nfn+1=fn◦f.

1. Montrer que?n?Nfn+1=f◦fn.

2. Montrer que sifest bijective alors?n?N(f-1)n= (fn)-1.

3

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦2Logique, ensembles, raisonnements

Indication 1Attention : la n´egation d"une in´egalit´e stricte est une in´egalit´e large (et r´ecipro-

quement). Indication 4Faire un dessin deF1et deF2. Essayer de voir si la difficult´e pour r´ealiser les assertions vient deε"petit" (c"est-`a-dire proche de 0) ou deε"grand" (quand il tend vers Indication 7En fait on a toujours :2n+1n+2?2. Puis chercher une condition surnpour que l"in´egalit´e

2-ε <2n+ 1n+ 2

soit vraie. Indication 10Il est plus facile de raisonner en prenant un ´el´ementx?E. Par exemple, soit F,Gdes sous-ensemble deE, pour montrer queF?Gil est ´equivalent de montrer que pour toutx?Falorsx?G. Et montrerF=Gest ´equivalent `ax?Fsi et seulement six?G, et ce pour toutxdeE. Remarque : pour montrerF=Gon peut aussi montrerF?Gpuis G?F. Enfin, se rappeler quex??Fsi et seulement six /?F. Indication 14Par l"absurde, supposer qu"il existep?Ntel quef=fp. Puis pour un telp,

´evaluerfetfpen une valeur bien choisie.

Indication 15Pour la premi`ere question vous pouvez raisonner par contraposition.

Indication 171. R´ecurrence : calculerxn+1-3.

2. Calculerxn+1-3-32

(xn-3).

3. R´ecurrence.

Indication 19Pour les deux questions, travailler par r´ecurrence. 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦2Logique, ensembles, raisonnements Correction 11. (a) est fausse. Car sa n´egation qui est?x?R?y?Rx+y?0 estquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8