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c) Quels sont les ensembles A ⊂ ℝ qui vérifient la définition ci-dessus après interversion des quantificateurs "∀ x ∈ A" et "∃ ε > 0" raisonnement par récurrence,

Exercice 4 Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans” Correction

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Exercices de logique : corrigé PCSI 2 Lycée Pasteur 24 septembre 2007 Exercice 1 : • (2 + 2 = 4) ∧ (1 + 1 = 3) est fausse, sa négation est (2 + 2 = 4) ∨ (1 + 1

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191 n'est pas divisible par 2,3,5,7,11,13 donc 191 est premier Correction 5 Raisonnement par l'absurde Supposons que √ 89 = p q avec

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Exercice 3 Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ⇔ Correction 2 Dans ce corrigé, nous donnons une justification, ce qui n'était pas

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Ecrire la proposition ( ) avec des quantificateurs 2 Ecrire la négation avec des quantificateurs puis l'énoncer en français Aller à : Correction exercice 8 :

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c) Quels sont les ensembles A ⊂ ℝ qui vérifient la définition ci-dessus après interversion des quantificateurs "∀ x ∈ A" et "∃ ε > 0" raisonnement par récurrence,

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N'hésitez pas à les consulter pour refaire les exercices avant de regarder la l' exercice 1, il se peut que le rédacteur fasse quelques raccourcis ; cela ne vous autorise bien sûr pas à en faire Si cela ne vous parait pas logique, on peut aussi

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EXERCICE 1 : Ecrire avec des quantificateurs les propositions suivantes : a) Il existe un nombre rationnel dont le carré vaut deux b) La somme de deux

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pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions

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Corrigé de l'épreuve diagnostique sur les préalables Corrigé des exercices Vous serez appelé à vous pencher sur les notions d'implication logique et

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Université d'Angers : L3SEN TD mathématiques : logique 1/9

TD : Exercices de logique

négation Exercice 1 Ecrire la négation des propositions suivantes :

1. Toutes les voitures rapides sont rouges;

2. il existe un mouton écossais dont au moins un côté est noir;

4. Pour tout x Î ℝ, on a x2 < 0.

Exercice 2 Enoncer la négation des assertions suivantes :

1. Tout triangle rectangle possède un angle droit

2. Dans toutes les prisons tous les détenus détestent tous les gardiens

3. Pour tout entier x il existe un entier y tel que pour tout entier z la relation z < y implique la

relation z < x + 1.

Exercice 3 Soit P, Q, R des propositions. Dans chacun des cas suivants, les propositions citées sont-elles

la négation l'une de l'autre ?

1. (P et Q) ; (non P et non Q) ; 2. (P Þ Q) ; (non Q Þ non P) ;3. (P ou Q) ; (P et Q).

Exercice 4 Soit a, b, c des réels. Ecrire la négation des propositions suivantes :

1. a £ -2 ou a³ 3 ;2. a £ 5 et a > -1 ;3. a £ 5 ou 3 > c ;

connecteurs et logique

Exercice 5 Supposons que les chiens aboient et que la caravane passe. Traduisez les propositions sui-

vantes en langage propositionnel. On note p : les chiens aboient et q : la caravane passe. a Si la caravane passe, alors les chiens aboient. b Les chiens n'aboient pas.

c La caravane ne passe pas ou les chiens aboient. d Les chiens n'aboient pas et la caravane ne passe pas.

Exercice 6 Dans chaque exemple, y a-t-il équivalence entre la proposition A et la proposition B ?

Donner l'implication vraie, s'il y en a une.

Exemple 1 :Proposition A : Pour toute porte, il existe une clé qui ouvre la porte. Proposition B : Il existe une clé, pour toute porte, la clé ouvre la porte. Exemple 2 :Proposition A : Pour tout x Î ℝ, il existe y Î ℝ, y < x Proposition B : Il existe y Î ℝ, pour tout x Î ℝ, y < x. Exercice 7 Examiner les relations logiques existant entre les assertions suivantes : A - Tous les hommes sont mortels B - Tous les hommes sont immortels C - Aucun homme n'est mortelD - Aucun homme n'est immortel E - Il existe des hommes immortelsF - Il existe des hommes mortels

Exercice 8 On dit que "P ou exclusif Q" est vrai si P ou Q est vrai mais pas simultanément P et Q. Ecrire

la table de vérité du "ou exclusif".

Exercice 9 En interprétant p par "je pars", q par "tu restes" et r par "il n'y a personne", traduisez les for-

mules logiques suivantes en phrases du langage naturel : Université d'Angers : L3SEN TD mathématiques : logique 2/9

Exercice 10 Evaluer les formules suivantes en considérant uniquement les valeurs des variables données:

Exercice 11 En utilisant les tables de vérité, démontrer que

Exercice 12 Evaluer les formules suivantes en utilisant les tables de vérités. Indiquez alors lesquelles par-

mi ces formules sont satisfaisables, réfutables, lesquelles sont des tautologies, des contradictions.

Exercice 13 A l'aide de la méthode des tables de vérité, dites si les formules suivantes sont des tautolo-

gies.

Ø(p Ù Øp)(principe de non-contradiction)

p ® (q ® p)(le vrai est impliqué par tout)

Øp Þ(p Þq)(le faux implique tout)

(Øp Þp) Þ p(preuve par l'absurde) ((Øp Þ q) Ù (ØpÞ Øq)) Þ p(preuve par l'absurde) ((p Þq) Ù (q Þ r) Þ(p Þr)(transitivité de ®) quantificateurs Exercice 14 Ecrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes :

1. Le carré de tout réel est positif.2. Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.

3. Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.4. Tous les réels ne sont pas des quotients d'entiers.

5. Il existe un entier multiple de tous les autres.6; Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.

7. Etant donné trois réels, il y en a au moins deux de même signe.

Exercice 15 Peut-on intervertir les quantificateurs " " n Î ℕ" et " $ m Î ℕÎ" dans les propositions sui-

vantes (justifier proprement votre réponse). a) " n Î ℕ, $ m Î ℕ n ³ mb) " n Î ℕ; $ m Î ℕ n2 ³ m:

Exercice 16 Un ensemble A Ì ℝ est dit ouvert si la propriété suivante est vérifiée :

" x Î A $ e > 0 tel que ]x -e ; x + e[ Î A a) Montrer que ]0; 1[ est un ouvert de b) En niant la définition ci-dessus, montrer que [0; 1[ n'est pas un ouvert de

c) Quels sont les ensembles A Ì ℝ qui vérifient la définition ci-dessus après interversion des

quantificateurs "" x Î A" et "$ e > 0". raisonnement par récurrence, par l'absurde, par contraposé Exercice 17 Démontrer les énoncés suivants par récurrence (éventuellement forte) : Université d'Angers : L3SEN TD mathématiques : logique 3/9

1. Pour tout naturel n, on a 1221

ånn

k k;2. Pour tout entier naturel n, on a 2)1( 0 nnk n k;

3. 6)12)(1(²

0 nnnk n k;4. 23
02)1( ae+=å= nnk n k4. Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence la propriété suivante :

P(n) : 10n - (-1)n est divisible par 11

Exercice 18

a. Partager un carré en 4 carrés, puis en 6, 7, 8, 9 et 10 carrés. b. Peut-on partager un carré en 3 ou 5 carrés?

c. Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence (de 3 en 3) que tout carré peut être partagé

en n carrés, n ³ 6. Exercice 19 En utilisant un raisonnement par l'absurde, démontrer que :

1. La somme et le produit d'un nombre rationnel (non nul pour ´) et d'un nombre irrationnel sont des

nombres irrationnels.

2. La racine carré d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.

3. Un rectangle a pour aire 170

m². Montrer que sa longueur est supérieure à 13 m.

4. Démontrer par un raisonnement par l'absurde la proposition suivante :

" Si n est le carré d'un nombre entier non nul alors 2n n'est pas le carré d'un nombre entier". 5. 2 est un nombre irrationnel (écrire 2 sous forme d'une fraction irréductible p q puis discuter la parité de p et q). Exercice 20 A l'aide d'un raisonnement par contraposé, démontrer que :

1. Si n²,

n Î ℕ, est impair alors n est impair.

2. Si " e > 0 a £ e alors a £ 0 ( a Î ℝ).

3. Soit

a un réel. Si a2 n'est pas un multiple entier de 16, alors a/2 n'est pas un entier pair. Exercice 21 Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété

P suivante pour

n2, n∈ℕ : P : Si l'entier ( n2 - 1) n'est pas divisible par 8, alors l'entier n est pair.

1.Définir la contraposé d'une implication

A⇒B, A et B représentant des assertions. Démontrer l'équivalence à l'aide d'un tableau de vérité.

2. Ecrire la contraposée de la proposition

3. Démontrer qu'un entier impair n s'ecrit sous la forme n = 4k + r avec k

∈ N et r ∈ {1, 3}.

4.Prouver alors la contraposée.

5.A-t-on demontré la propriété de l'énoncé ?

Exercice 22

a. Enoncer précisément le théorème de Thalès. b. Enoncer précisément la réciproque du théorème de Thalès. Université d'Angers : L3SEN TD mathématiques : logique 4/9 c. Enoncer précisément la contraposé du théorème de Thalès. d. Déterminer pour chaque cas, a b ou c, un exemple. Exercice 23 Résoudre le problème suivant en utilisant un raisonnement par l'absurde.

Exercice 24

Soit n un entier naturel. On se donne n + 1 réels x0, x1, . . . , xn de [0, 1] vérifiant:

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