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MACS1 - S6 - Equations différentielles - TD3

Systèmes d"équations différentielles - Résolvante - Wronskien1 Systèmes de deux équations

On considère un système d"équations différentielles linéaires, écrit sous forme matricielle

y

0(t) =Ay(t)

Pour chacune des matrices suivantes, tracer le portrait de phase, puis calculer la résolvanteetA. A=1 2 21
; A=11 13 ; A=21 1 2

2 Blocs de Jordan et systèmes de trois équations

On considère la matrice

M=0 @0 23 1 3 0

0 0 21

A

1. Calculer les valeurs propres de la matriceM, leur multiplicité et les espaces propres correspon-

dants.

2. On poseE=ker(M2I). Montrer que

dimE= 1

En déduire queMn"est pas diagonalisable.

3. Soitv1une base deE. Déterminierv2tel que

(M2I)v2=v1

4. Montrer qu"on peut trouverv3tel que, dans la base(v1;v2;v3), la matrice de l"application linéaire

associée àMs"écrive J=0 @2 1 0 0 2 0

0 0 11

A

5. On poseE2=ker((M2I)2). Montrer que(v1;v2)forment une base deE2. Montrer queJ

peut se décomposer sous la forme J=D+N avecDdiagonale etNnilpotente, telles queDetNcommutent. Préciser l"ordre deN.

6. Calculer alorseDteteNt. En déduireeMt

7. Calculer la solution du problème

X

0(t) =MX(t); X(1) = (1;0;0)T

1

3 Equation différentielle d"ordre 2 et variation de la constante

Trouver les solutions générales des équations suivantes (i)u00+u= 1;(ii)u00+2u= 1;(iii)u00+u= cosx

4 Equations différentielles d"ordre 3 à coefficients constants

On considère l"équation différentielle ordinaire y (3)5y(2)+ 8y04 =t2

1. Résoudre l"équation homogène en calculant la matrice compagnon et son exponentielle.

2. Résoudre l"équation homogène en utilisant le théorème du cours.

3. Résoudre l"équation avec second membre.

5 Système à coefficients variables

On considère le système différentiel

Y

0(t) =A(t)Y(t)

1. On s"intéresse d"abord au cas où la matriceAest donnée par

A(t) =(t)(t)

(t)(t) (a) Montrer que pour toutuetv,A(u)etA(v)commutent. (b) En déduire la résolvante du système en terme d"exponentielle deA. (c) Résoudre explicitement le problème.

2. On considère maintenant le cas oùAest donnée par

A(t) =tA

avecAune matrice constante. Répondre aux mêmes questions que précédemment.

3. On considère maintenant le cas oùAest donnée par

A(t) =1=t t

0 1 (a) Calculer

A(u)A(v)A(v)A(u)

(b) Calculer, pourt06= 0, la résolvanteC(t;t0)ainsi que la quantité expRt t

0A(u)du

. Comparer les résultats. 2

6 Equation différentielle d"ordre 2 à coefficients variables

On considère l"équation différentielle

y

00+a(x)y0+b(x)y=c(x)

1. Rappeler la définition du wronskien de deux solutions

2. Quelle est l"équation différentielle satisfaite par le wronskien?

3. Montrer que sifetgsont deux solutions de l"équation homogène, alors l"équation différentielle

s"écrit 1W(x) f g y f 0g0y0 f

00g00y00

4. On suppose connue une solutionfde léquation. Posery=zfet trouver l"équation différentielle

dontz0est solution.

5.Premier exemple :

On considère l"équation

x

2y00+ 4xy0+ 2y=ln(x)

(a) Montrer quef(x) = 1=x2est solution. (b) Trouver une autre solution en utilisant la méthode de la quesiton précédente. (c) En déduire la solution générale de l"équation. (d) Résoudre l"équation en utilisant le changement de variablex=et.

6.Deuxième exemple :

On considère l"équation

(1x2)y002xy0+ 2y= 0 (a) Chercher une solution polynomiale. (b) Appliquer la méthode du wronskien.

On définit l"opérateur

L(y) =ddx

(1x2)dydx

Alorsyest fonction propre de cet opérateur associé à la valeur propre 2 : c"est l"un des polynômes

de Legendre.

7 Solutions locales, maximales, globales

prenant en compte la gravité et la résistance de l"air, la chute d"un objet peut se modéliser par

l"équation différentielle suivante mh

00=mg+(h0(t))2:

(a) Indiquer les données de Cauchy pour un objet lâché au tempst= 0d"une hauteurHavec une vitesse nulle. (b) Justifier que le problème admet une solution locale unique. 3 (c) Soithla solution maximale définie sur un intervalle[0;T)oùT2R+. Démontrer (sans la calculer) que i. la vitessev=h0est croissante et bornée, ii.T= +1ethest une solution globale. (d) Calculer la solution et vérifier les assertions précédentes.

2. Pour chacune des équations différentielles suivantes, indiquer si un théorème de Cauchy Lipschitz

s"applique, et discuter les solutions locales, maximales, globales suivant la condition initiale

3. Soitf2 C1(Rn;Rn)telle que pour toutxdansRn,f(x)x0. Montrer que pour toutt0dans

R, pour toutx0dansRn, le problème de Cauchy

x

0t() =v(x(t)); x(t0) =x0

a une unique solution globale.

8 Résolution par série de Taylor

Soit le problème de Cauchy

y

0=y2; y(0) = 1:

Ecrire la série de Taylor deydans un voisinage de 0. Trouver son rayon de convergence et sa somme.

En déduire une solution maximale de l"équation. 4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41