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Chapitre 3 : solution des

´equations diff´erentielles lin´eaires

Philippe Chartier

20 octobre 2016

1 Syst

`emes diff´erentiels lin´eaires Dans cette section,Ed´esigne unK-espace vectoriel de dimension finiedavecK=RouK=C,

etIun intervalle ouvert deR. On´etudie ici les´equations diff´erentielles lin´eaires du type :

_y(t) =A(t)y(t) +b(t)(1.1) o `uA2 C(I;L(E))etb2 C(I;E). D"apr`es le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz (dans le cas d"une fonction globalement Lipschitzienne), on est assur

´e de l"existence d"une solution unique surIau

probl `eme de Cauchy pourf(t;y) =A(t)y+b(t), et ce pour tout(t0;y0)2IE. Remarque 1.1On confondra souvent l"endomorphismeAdeL(E)et sa repr´esentation matricielle dansMd(K) Exemple 1.21.Le syst `eme de deux´equations`a deux inconnuesy1(t)ety2(t) _y1(t) =ty1(t) +y2(t)1 _y2(t) = cos(t)y1(t) + exp(t)y2(t) est de la forme ( 1.1 ) avec y(t) =y1(t) y 2(t) ; A(t) =t1 cos(t) exp(t) etb(t) =1 0 2. L "

´equation diff´erentielle du second ordre

y(t) +q(t)y(t) = 0 est ´egalement de la forme (1.1), avecy1(y) =y(t),y2(t) = _y(t),b(t) = (0;0)Tet

A(t) =0 1

q(t) 0 :1

1.1 Formule int

´egrale et r´esolvante

(i) Syst`emes diff´erentiels homog`enes On suppose dans un premier temps queb0. On dit alors que le syst`eme est homog`ene. Th ´eor`eme 1.3L"ensembleVdes solutions de l"´equation (1.1) avecb0est un sous-espace vecto-

riel deC1(I;E)de dimension finied. Plus pr´ecis´ement, siy(t;t0;y0)d´esigne la solution au tempst

de l" ´equation (1.1) avec condition initaley(t0) =y0, alors l"application t0:E! C1(I;E) y

07!y(t;t0;y0)

est unisomorphismed"espaces vectoriels entreEetV. Preuve.Siy(t)etz(t)sont deux applications deC1(I;E)satisfaisant l"´equation (1.1) pour tout t2I, alors il est clair qu"il en est de mˆeme pour(y+z)(t)pour tout(;)2K2, de sorte queV

est un sous-espace vectoriel deC1(I;E). L"unicit´e de la solution de (1.1) pour une condition intiale

donn ´ee assure par ailleurs que't0est lin´eaire, injective et commeV='t0(E), c"est finalement une isomorphisme deEandV. On a ainsidim(V) = dim(E) =d.D ´efinition 1.4On appelle syst`eme fondamental de solutions de l"´equation (1.1) avecb0unebase de l"espace vectorielV.

Notons que, en vertu du th

´eor`eme pr´ec´edent,(y1;:::;yd)est un syst`eme fondamental de solutions si et seulement si il existet2Itel que(y1(t);:::;yd(t))constitue une famille libre deE. La famille

(y1(s);:::;yd(s))est alors libre pour touts2I. Cette´equivalence est´egalement une cons´equence

de la proposition suivante : Proposition 1.5Soienty1;:::yd,dsolutions de (1.1) avecb0etw2 C1(I;R), leurWronskien, d

´efini par

w(t) = det(y1(t);:::;yd(t)): Alors, pour(s;t)2I2, on a la formule suivante, dite de Liouville : w(t) =w(s)exp Zt s

Tr(A())d

Preuve.On noteY(t)la matrice deM(Kd)dont les colonnes sont constitu´ees des vecteurs solutions de ( 1.1 ) avecb0, not´eesy1(t), ...,yd(t). La matriceY(t)est alors solution du syst`eme diff´erentiel matriciel_Y(t) =A(t)Y(t): D ´esignons alors parl1(t), ...,ld(t)les lignes deY(t)et parai;j(t)les coeffiients deA(t)pourietj compris entre1etd. Il est imm´ediat que

8i2 f1;:::;dg;_li(t) =dX

j=1a i;j(t)lj(t): 2

En remarquant quew(t)peut aussi s"´ecrire

w(t) = det0 B @l

1(t)...

l d(t)1 C A; on a par multi-lin

´earit´e du d´eterminant

_w(t) =dX i=1det0 B

BBBBBBBB@l

1(t)...

l i1(t) _li(t) l i+1(t)... l d(t)1 C

CCCCCCCCA=

dX i=1d X j=1a i;j(t)det0 B

BBBBBBBB@l

1(t)...

l i1(t) l j(t) l i+1(t)... l d(t)1 C

CCCCCCCCA=

dX i=1a i;i(t)w(t) =Tr(A(t))w(t): On obtient finalement la formule de Liouville en r ´esolvant cette´equation diff´erentielle entresett.D ´efinition 1.6On appellematrice r´esolvantedu syst`eme (1.1) avecb0, l"unique solution du syst `eme diff´erentiel matriciel _

Y(t) =A(t)Y(t)(1.2)

satisfaisant la condition initialeY(t0) =Id, o`uIdd´esigne la matrice identit´e deMd(K), et on la

noteS(t;t0).

Proposition 1.7Pour tout(t;t0;t1)2I3, la matrice r´esolvanteSv´erifie l"´egalit´e suivante

S(t;t0) =S(t;t1)S(t1;t0):

En outre, pour tout(t1;t0)2I2,S(t1;t0)2GLd(K)et

(S(t1;t0))1=S(t0;t1):

Par ailleurs, la solution du probl

`eme de Cauchy _y(t) =A(t)y(t) y(t0) =y0 est donn

´ee pary(t) =S(t;t0)x0.

Preuve.La premi`ere´egalit´e est une cons´equence imm´ediate de l"unicit´e de la solution de (1.2) avec

condition initialeY(t0) =Idet du fait que, pour toute matriceP2 Md(K)`a coefficients constants, on a_(Y P)(t) =_Y(t)P=A(t)Y(t)P=A(t)(Y(t)P):

L"inversibilit

´e deS(t1;t0)et l"expression de l"inverse s"obtiennent alors en prenantt=t0dans cette premi `ere´egalit´e. Le dernier point est´evident.3 (ii) Syst`emes diff´erentiels non homog`enes

On s"int

´eresse d´esormais au cas non homog`ene, c"est-`a-dire au syst`eme (1.1) pourbquelconque non n ´ecessairement nul. Sizest une solution particuli`ere de (1.1), alors l"ensemble des solutions est l"espace affine de dimension finied,z+Vo`uVest l"espace vectoriel des solutions du syst`eme homog `ene.

Le solution g

´en´erale du syst`eme (1.1) est donn´ee par la formule int´egrale suivante, dite formule de Duhamel :

8t2I; y(t) =S(t;t0)y0+Z

t t

0S(t;s)b(s)ds:

Elle s"obtient par la technique devariation de la constante:´etant donn´eeS(t;t0)y0la solution du

syst `eme homog`ene, on cherche la solution de (1.1) sous la formey(t) =S(t;t0)z(t), de sorte que _

S(t;t0)z(t) +S(t;t0)_z(t) =A(t)S(t;t0)z(t) +b(t);

d"o `u l"on tire l"´equation _z(t) = (S(t;t0))1b(t) =S(t0;t)b(t): L"int

´egration terme`a terme entret0ettdonne alors

z(t) =Z t t

0S(t0;s)b(s)ds+z0

o `uz0reste`a d´eterminer. En reportantz(t)dansy(t), il vient y(t) =S(t;t0)z0+Z t t

0S(t;t0)S(t0;s)b(s)ds:

La condition initiale impose de prendrez0=y0et la formule de Duhamel en d´ecoule.

1.2 Syst

`emes`a coefficients constants

Dans le cas o

`u les coefficients de la matriceAet du vecteurbne d´ependent pas du temps, le syst `eme devient autonome et il possible d"expliciter compl`etement les solutions de (1.1). Dans cette section, nous supposons donc que le syst `eme diff´erentiel est de la forme _y(t) =Ay(t) +b avecA2 Md(K)etb2Kd. (i) Exponentielle de matrices D ´efinition 1.8L"exponentielle d"une matriceA2 Md(K)est d´efinie par la s´erie (absolument) convergente suivante e A=1X n=01n!An: 4

Sik:kd´esigne la norme matricielle subordonn´ee`a la norme not´ee identiquementk:kd´efinie surKd,

alors kAnk kAkn; de sorte quekeAk ekAk. L"exponentielle de matrices poss`ede un certain nombre de propri´et´es remarquables dont cellesquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41