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Chapitre 24

SOMMES DE RIEMANN

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 24.1Soit(un)n?N?la suite définie par

u n= n? k=1 n n2+k2

Déterminer sa limite.

Exercice 24.2Déterminerlimn→+∞2n-1

k=n 1 n+k.

Exercice 24.3Calculer la limite deun=1n2n

k=1 ?n2+k2?1 n.

Exercice 24.4Déterminer la limite deun=

n ?(2n)! n!nn.

Exercice 24.5Déterminer la limite deun=1n

n-1? k=0 k⎷4n2-k2.

2Les techniques

Exercice 24.6Déterminer la limite deun=

2n? k=1 k n2+k2.

Exercice 24.7Soitx?R?{-1,1},on posef(x) =?

2π 0 ln?x2-2xcost+ 1?dt.

1. DéterminerDf.

2. Factoriser surCle polynômeX

n-1.

3. Calculerf(x)à l"aide de ses sommes de Riemann.

Exercice 24.8Soit

u n= n? k=1

1?(k+n)(k+ 1 +n)

déterminer la limite de(u n)n?N.(Indication : il y a un1de trop! ).

3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 24. SOMMES DE RIEMANN

Exercice 24.9SoitSn=

n? k=1 1 n+ketUn= n? k=1 (-1)k-1 k

1. Nature et limite de la suite(S

n)n.

2. Nature et limite de la suite(U

n)n. (On pourra comparerU2netSn) Exercice 24.10Soitfcontinue sur[0,1],déterminer la limite de1n n? k=0 (n-k)? k+1 n k n f(x)dx.

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