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Exercice 3 Calculer l'intégrale de f : [a, b] → R comme limite de sommes de Riemann- Darboux dans les cas suivants : 1 f(x) = sinx et f(x) = cosx sur [0, π 2 ]  

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Exercice 1 Montrer que la fonction inv(x) =1/ x est Riemann intégrable entre [1;2] en exprimant S(D) 

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Exercice 1: 1 Montrer, en utilisant les sommes de Darboux, que la fonction f(x) = x − [x] est Riemann-intégrable sur l'intervalle [0,2] 2 Toujours `a l'aide des 

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Est une somme de Riemann associe à sur Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse Toutes les 

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Exercice 1 Montrer que la somme de Darboux associée `a f et D; Exercice 5 En utilisant les sommes de Riemann, calculer les limites des suites suivantes:

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2 4 Exercices 2 tenant donner avec Darboux une façon plus commode de la calculer (fi- gure (2) En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :

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Les sommes de Darboux sont des réels bien définis ssi la fonction f est bornée, c' est-à-dire ∃M ∈ R l'expression des sommes de Darboux (exercice ) On peut montrer que pédagogique, avec nombreux exercices corrigés ) [2] X OUDOT 

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1 sept 2020 · On appelle somme de Darboux supérieure l'intégrale de la fonction en En effet la Riemann-intégrabilité de f est facile `a justifier (exercice), 

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Corrigé de l'examen 1 sont associées premièrement la somme de Darboux inférieure relativement à la subdivision ∆ : Σ∆(f) := n ∑ k=1 f ⩽ sup Ik f, pour tout k = 1, ,n, ces sommes satisfont toujours manifestement (exercice direct) :

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦15Calculs d"int´egrales

1 Utilisation de la d´efinition

Exercice 1Soitfla fonction d´efinie sur [0,3] par f(x) =? ??????-1 six= 0

1 si 0< x <1

3 six= 1

-2 si 1< x?2

4 si 2< x?3.

1. Calculer

?3

0f(t)dt.

2. Soitx?[0,3], calculerF(x) =?x

0f(t)dt.

3. Montrer queFest une fonction continue sur [0,3]. La fonctionFest-elle d´erivable sur

[0,3]? Exercice 2Montrer que les fonctions d´efinies surR, f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex,

sont int´egrables sur tout intervalle ferm´e born´e deR. En utilisant les sommes de Riemann,

calculer les int´egrales?1

0f(x)dx,?2

1g(x)dxet?x

0h(t)dt.

Exercice 3Calculer l"int´egrale def: [a,b]→Rcomme limite de sommes de Riemann-

Darboux dans les cas suivants :

1.f(x) = sinxetf(x) = cosxsur [0,π2

] etxk=kπ2n,k= 0,1,...,n,

2.g(x) =1x

sur [a,b]?R?+etxk=aqk,k= 0,1,...,n(q´etant `a d´eterminer),

3.h(x) =αxsur [a,b] ,α >0, etxk=a+ (b-a).kn

,k= 0,1,...,n. Exercice 4Les fonctions suivantes sont-elles int´egrables au sens de Riemann?

1.f(x) = [x] sur [0,2]

2.g: [0,1]→R, g(x) =?

?1x ?si 0< x?1,

1 six= 0

3.h: [0,1]→R, h(x) =?

1x sin?1x ?si 0< x?1,

1 six= 0

4.k: [0,1]→R, k1(x) =?

1 six?[0,1]∩Q,

0 six?[0,1]\Q

1 Exercice 5Soitf: [a,b]→Rune fonction int´egrable sur [a,b] (a < b).

1. On suppose quefest continue en un pointx0?[a,b] et quef(x0)>0. Montrer que?b

af(x)dx >0. En d´eduire que sifest une fonction continue positive sur [a,b] telle que?b af(x)dx= 0 alorsfest identiquement nulle.

2. On suppose quefest continue sur [a,b], et que?b

af(x)dx= 0. Montrer que qu"il existe c?[a,b] tel quef(c) = 0.

3. Application : on suppose quefest une fonction continue sur [0,1] telle que?1

0f(t)dt=12

Montrer qu"il existed?[0,1] tel quef(d) =d.

Exercice 6Soitf: [a,b]→Rcontinue, positive; on posem= sup{f(x),x?[a,b]}. Montrer que lim n→∞? ?b a (f(x))ndx? 1n =m. Exercice 7Soitf: [0,1]→Rune application strictement croissante telle quef(0) =

0, f(1) = 1. Calculer :

lim n→∞? 1 0 fn(t)dt.

2 Calculs de primitives

Exercice 8Calculer les primitives suivantes, en pr´ecisant si n´ecessaire les intervalles de validit´e

des calculs : a) arctanxdxb)? tan

2xdxc)?1xlnxdxd)?x⎷x+ 1dx

e)? arcsinxdxf)?13 + exp(-x)dxg)?-1⎷4x-x2dxh)?1x ?1-ln2xdx i) ?1⎷1 + expxdxj)?x-1x

2+x+ 1dxk)?x+ 2x

2-3x-4dxl)?

cosxexpxdx

Exercice 9Calculer les primitives suivantes :

?sinxsinx+ cosxdxet?cosxsinx+ cosxdx.

Exercice 10Calculer les primitives suivantes, en pr´ecisant si n´ecessaire les intervalles de va-

lidit´e des calculs : a) sin

8xcos3xdxb)?

cos

4xdxc)?

cos

2003xsinxdxd)?12 + sinx+ cosxdx

e)?1sinxdxf)?1cosxdxg)?3-sinx2cosx+ 3tanxdxh)?17 + tanxdx

3 Fonctions d´efinies par une int´egrale

Exercice 11Soitf:R→Rune fonction continue surRetF(x) =?x

0f(t)dt. R´epondre par

vrai ou faux aux affirmations suivantes :

1.Fest continue surR.

2

2.Fest d´erivable surRde d´eriv´eef.

3. Sifest croissante surRalorsFest croissante surR.

4. Sifest positive surRalorsFest positive surR.

5. Sifest positive surRalorsFest croissante surR.

6. SifestT-p´eriodique surRalorsFestT-p´eriodique surR.

7. Sifest paire alorsFest impaire.

Exercice 12Soientuetvdeux fonctions d´erivables surRetfune fonction continue surR.

1. On poseF(x) =?

v(x) u(x)f(t)dt. Montrer queFest d´erivable surRet calculer sa d´eriv´ee.

2. Calculer la d´eriv´ee deG(x) =?

2x xdt1 +t2+t4.

Exercice 13SoitF(x) =?

x2 x1lntdt

1. Quel est l"ensemble de d´efinition deF.Fest-elle continue, d´erivable sur son ensemble de

d´efinition?

2. D´eterminer lim

x→1+F(x) en comparantF`aH(x) =? x2 x1tlntdt.

4 Calculs d"int´egrales

Exercice 14Calculer les int´egales suivantes :

a) 1

0arctanx1 +x2dxb)?

2 12 1 +1x 2? arctanxdxc)? π2

0xsinxdx

d) 1 -1(arccosx)2dxe)? 1

01(1 +x2)2dxf)?

⎷3 0x

2⎷4-x2dx

g) 2 1 x2lnxdxh)? 1 -11x

2+ 4x+ 7dxi)?

1

03x+ 1(x+ 1)2dx

Exercice 15Calculer les int´egrales suivantes : π2

011 + sinxdxet?

π2

0sinx1 + sinxdx.

Exercice 16 (Int´egrales de Wallis)SoitIn=?

π2

0sinn(x)dxsin?N.

1. Montrer que (In)nest positive d´ecroissante.

2. Montrer queIn+2=n+1n+2Inet expliciterIn, en d´eduire?1

-1(x2-1)ndx.

3. Montrer queIn≂In+1

4. A l"aide de (n+ 1)InIn+1montrer queIn≂?π

2n.

5. En d´eduire

1.3...(2n+1)2.4...(2n)≂2?n

3

Exercice 17SoitIn=?

1 0x n1 +xdx.

1. En majorant la fonction int´egr´ee, montrer que lim

n→+∞In= 0.

2. CalculerIn+In+1.

3. D´eterminer lim

n→+∞? n? k=1(-1)k+1k

5 Calculs d"aires

Exercice 18Calculer?R

-R⎷R

2-x2dx(on poseraθ= arcsinxR

) et en d´eduire l"aire d"un disque de rayonR. Exercice 19Calculer l"aire de la r´egion d´elimit´ee par les courbes d"´equationy=x22 ety=

11 +x2.

6 Limites de suites et int´egrales

Exercice 20Calculer la limite des suites suivantes :

1.un=nn-1?

k=01k 2+n2;

2.vn=n?

k=1?

1 +k2n

2? 1n 4

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦15Calculs d"int´egrales

Indication 2Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme

des carr´es desnpremiers entiers et de la somme d"une suite g´eom´etrique. La formule g´en´erale

pour les sommes de Riemann est que?b af(x)dxest la limite (quandn→+∞) de S n=b-an n-1? k=0f(a+kb-an Indication 31. On pourra penser que le cosinus et le sinus sont les parties r´eelles et imaginaires de la fonctiont?→eit. On chercha donc d"abord `a calculer? π2

0eitdt.

2. On choisiraqtel queqn=ba

Indication 51. Revenir `a la d´efinition de la continuit´e en prenantε=f(x0)2 par exemple.

2. Soitfest tout le temps de mˆeme signe (et alors utiliser la premi`ere question), soit ce

n"est pas le cas (et alors utiliser un th´eor`eme classique...).

3. On remarquera que?b

af(t)dt-12 =?b a(f(t)-t)dt.

Indication 6Essayez d"encadrer?b

af(t)nm ndt. Indication 7Il s"agit de montrer que la limite vaut 0. Pour unα >0 fix´e on s´eparera l"int´egrale en deux partie selon quefest plus petit ou plus grand que 1-α. Indication 9Calculer la somme et la diff´erence de ces deux int´egrales. Indication 12Se ramener `a une composition de fonctions ou revenir `a la d´efinition de la d´eriv´ee avec le taux d"accroissement. Indication 131. Soit faire comme l"exercice 12, soit s´eparer l"int´egrale en deux, et pour l"une faire un changement de variableu=x2.

2.H(x) se calcule explicitement et montrer qu"en faitHest une fonction constante, ensuite

il faut comparerH(x) etF(x).

Indication 161.

2. Faire une int´egration par parties pourIn+2. Pour le calcul explicite on distinguera le cas

desnpairs et impairs.

3. Utiliser la d´ecroissance deInpour encadrerIn+1I

n. 4. 5.

Indication 171. Majorer parxn.

2.

3. On pourra calculer (I0+I1)-(I1+I2) + (I2+I3)- ···

Indication 20On pourra essayer de reconnˆıtre des sommes de Riemann. Pour le produits composer par la fonction ln. 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦15Calculs d"int´egrales

Correction 11. On trouve?3

0f(t)dt= +3. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette

fonction. Ensuite la valeur d"une int´egrale ne d´epend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-`a-dire ici les valeurs enx= 0,x= 1,x= 2 n"ont aucune influence sur l"int´egrale. Ensuite on revient `a la d´efinition de?3

0f(t)dt: pour la subdivision de [0,3]

d´efinie par{x0= 0,x1= 1,x2= 2,x3= 3}, on trouve la valeur de l"int´egrale (ici le sup et l"inf sont atteint et ´egaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine).

2. C"est la mˆeme chose, mais au lieu d"aller jusqu"`a 3 on s"arrˆete `ax, on trouve

F(x) =?

?xsi 0?x?1

3-2xsi 1< x?2

-9 + 4xsi 2< x?3.

3. Les seuls points `a discuter pour la continuit´e sont les pointsx= 1 etx= 2, mais les

limites `a droite et `a gauche deFsont ´egales en ces points doncFest continue. Par contre

Fn"est pas d´erivable enx= 1 ni enx= 2.

Correction 21. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que?1

0f(x)dxest la limite

(quandn→+∞) de?n-1 k=01n f(kn ). NotonsSn=1n n-1 k=0f(kn ). AlorsSn=1n n-1 k=0kn 1n 2?n-1 k=0k=1n

2n(n-1)2

. On a utilis´e que la somme des entiers de 0 `an-1 vautn(n-1)2

DoncSntend vers12

. Donc?1

0f(x)dx=12

2. Mˆeme travail :?2

1g(x)dxest la limite deS?n=2-1n

n-1 k=0g(1+k2-1n ) =1n n-1 k=0(1+kn )2= 1n n-1 k=0(1+2kn +k2n

2). En s´eparant la somme en trois nous obtenons :S?n=1n

(n+2n n-1 k=0k+ 1n 2?n-1 k=0k2) = 1+2n

2n(n-1)2

+1n

3(n-1)n(2n-1)6

. Donc `a la limite on trouveS?n→1+1+13 =73

Donc?2

1g(x)dx= 7/3. Remarque : on a utilis´e que la somme des carr´es des entiers de 0

`an-1 est(n-1)n(2n-1)6

3. Mˆeme chose pour?x

0h(t)dtqui est la limite deS??n=xn

n-1 k=0g(kxn ) =xn n-1 k=0ekxn xn n-1 k=0(exn )k. Cette derni`ere somme est la somme d"une suite g´eom´etrique, doncS??n= xn

1-(exn

)n1-exn =xn

1-ex1-exn

= (1-ex)xnquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41