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3ème Chapitre 08 - Racines carrées

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RACINES CARREES

1) Définition

définition

Si a désigne un nombre positif, on appelle "racine carrée de a", notée a, le nombre positif dont le carré

est a. exemples

39= car 932=

525= car 2552=

Remarque : On ne peut pas toujours donner une valeur décimale exacte de la racine carrée d"un nombre

positif, par exemple 2 :

2 est le nombre positif dont le carré vaut 2 : ()22

2=. On ne peut pas donner de valeur décimale

exacte de

2. On a 414,12» (c"est une valeur approchée de 2 au millième).

Conséquence

Si a désigne un nombre positif, on a : ()aa=

2 aa=2

2) Propriétés des racines carrées

Règles de calcul

Si a et b désignent deux nombres positifs :

a) baba´=´ (ce qui s"écrit plus simplement abba=) b) si

0¹b, ba

ba= preuve : voir activité 7 p.28-29 exemple Ecrire les nombres suivants sous la forme ba, où a et b sont des entiers : 75 et 28 .

32575´=

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32575´=

3575=

7428´=

7428´=

7228=

ATTENTION !

Il n"y a aucune règle concernant la somme ou la différence de racines carrées.

On peut toutefois calculer certaines sommes :

Exemple

Ecrire le nombre suivant sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers :

3 50 2 32 6 18A= - +

50 25 2 25 2 5 2= ´ = ´ =

32 16 2 16 2 4 2= ´ = ´ =

18 9 2 9 2 3 2= ´ = ´ =

3 5 2 2 4 2 6 3 2

15 2 8 2 18 2

25 2A
A

A= ´ - ´ + ´= - +

3) Equations x² = a

propriété L"équation 2x a=, où x est l"inconnue et a est un nombre :

· a deux solutions si 0a> : a et a- ;

a une seule solution si 0a= : 0 ; n"a pas de solution si 0a< démonstration :

Si 0a> :

2 2 2 20 0 0 x a x a x a x a x a=

L"équation

0x a+ = a pour solution a-. L"équation 0x a- = a pour solution a.

L"équation de départ a deux solutions :

a et a-.

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Si 0a=, alors 0x= (équation produit).

Si

0a<, alors l"équation n"admet pas de solutions car le carré d"un nombre ne peut pas être négatif.

exemples

L"équation 25x= a deux solutions : 5 et 5-.

L"équation

23x= - n"a pas de solutions.

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