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Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d'un nombre négatif est impossible n'existe pas 2) Quelques nombres de la
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RACINE CARREE EXERCICES CORRIGES Les carrés parfaits : ( sauf 1 ) 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , et la racine carrée de ces carrés parfaits :
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Quelle méthode peux-tu utiliser pour simplifier une racine carrée ? d Écris les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont des entiers positifs avec b le
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On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est égal à a Des racines irrationnelles : l'écriture la plus simple de la racine carrée de 2 est 2
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La notion de « racine carrée » a déjà été abordée dans le chapitre sur le théorème de Pythagore En fin de calcul, on avait par exemple : AB2 =36 AB= 36
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1 / 3 RACINES CARREES 1) Définition définition Si a désigne un nombre positif, on appelle "racine carrée de a", notée a , le nombre positif dont le carré est a
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On en déduit que : ab= a× b La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de ces nombres On démontre qu'il
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Retenons qu'on ne peut pas calculer exactement la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait : 2, 3, 5, 7, 8, 10, sont des nombres irrationnels
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Racines carrées.
1. Généralités :
a) Définition : b) Notation. c) Exemples.2. Propriétés.
a) Produits de 2 racines carrées. b) Quotient de 2 racines carrées. c) Lien avec les puissances. d) Modification d"écritures avec des radicaux au dénominateur.3. Exercices de bases corrigés.
4.Exercices non corrigés.
5.Approfondissement.
1. Généralités :
a) Définition : soit aun nombre positif ou nul.On appelle racine carrée de
a le nombre positif dont le carré est égal à a Cette définition se traduit en écritures mathématiques par :2a a a a´ = =
20,9 0,9=
2p p= 8 8 8´ = Pour 0:x>
20,7 0,7
x x=Remarque : il est essentiel d"acquérir cet automatisme pour se simplifier les écritures mathématiques.
b)Notation : on note la racine carrée de a para.
Le symbole "
» est le symbole " radical ».
c) Exemples : Des racines entières (entier naturel) : 2 220 0 0 0
4 16 16 4
9 81 81 9
2 221 1 1 111 121 121 11
450 202500 202500 450
Des racines décimales : 220,1 0,01 0,01 0,1
3,5 12,25 12,25 3,5
220,05 0,0025 0,0025 0,05
27,43 752,4049 752,4049 27,43
Des racines rationnelles. :23 9 9 3
5 25 25 5
Des racines irrationnelles : l"écriture la plus simple de la racine carrée de 2 est2.2. Propriétés.
a) Produits de 2 racines carrées : ab a b a b= ´ = ´En conséquence :
22a a a a a a a= ´ = ´ = =
Automatismes à acquérir :Il est essentiel de connaître sa table des carrés pour se simplifier les écritures mathématiques
avec radicaux quand celles-ci font apparaître des racines carrés de carrés de nombre entier 222 2 2
21 1 1 1
2 4 2 2
3 9 3 3
222 2 2
24 16 4 4
5 25 5 5
6 36 6 6
222 2 2 2 2
27 49 7 7
8 64 8 8
9 81 9 9
10 100 10 10
Il faut connaître par coeur la série suivante : 1 1 4 2 9 3 16 4 25 536 6
49 7
64 8
81 9
100 10
Exemples d"application : 3216 2 16 2 4 2 4 2a a a a a== ´= ´= ´
4 75 6 12 3
4 25 3 6 4 3 3
4 25 3 6 4 3 3
4 5 3 6 2 3 3
20 3 12 3 1 3
3 20 12 1
9 3b b b b b bb= - += ´ - ´ += ´ ´ - ´ ´ += ´ ´ - ´ ´ += ´ - ´ + ´= ´ - +
25 2 15
5 2 5 3
5 2 5 3
2 5 3 2 5 3 10 3c c c c c c= ´= ´ ´ ´= ´ ´ ´= ´ ´= ´ ´ ()3 2 2 53 2 2 3 2 5
3 2 15 2
6 15 2d
d d d= -60 30 50
2 30 30 2 25
2 30 5
300ee e e= ´ ´= ´ ´ ´ ´= ´ ´ 20 2 4 5 2 2 5 2 5f f f f= b)
Quotient de 2 racines carrées :
Pour a o³et 0b> : a a bb= 9 9 325 525= = 1 1 1
4 24= =
c)Lien avec les puissances :
On remarque que les formules relatives aux racines carrées sont des extensions des formules relatives
aux puissances d"un nombre appliquées aux racines carrées. nn nab a b= ´ et ab a b= ´ ( 0a³et0)b³ nn na a b b a a bb= ( 0a³et0)b>En fait, au lycée, tu apprendras que pour
120:a a a³ =
d) Modification d"écritures avec des radicaux au dénominateur : Une règle d"écriture veut de ne jamais avoir de radicaux en dénominateur.Ainsi, une écriture telle que
32est à transformer.
Il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par un même facteur pour avoir 2 écritures
différentes de 32. On va bien sûr multiplier numérateur et dénominateur par 3.
3 3 2 3 2
22 2 2´= =´ Généralisation :
a c a c a c d a cd b d bdb d b d d´= = =´ ´3. Exercices de bases corrigés.
a) Sans calculatrice, donne l"écriture la plus simple des nombres ci-dessous. 648 a a 64 36
8 6 14
b b 22,52,5 c c= 2d d p p 2 22
3 2 3 2
9 2 18
e e e== ´= ´ = 259 25 5
39f
f= 27
7 g g= -= - 23
9 3f f f= - b) Donne l"écriture la plus simple des nombres suivants. 2 2 2 2 2052
20 52
20 54
5 5 0f
f f 2 2 2 2 2 2 2 1 5 5 2 1 5 5 4 1 515 5 5g
g g 222:a aAttentionb b
c) Montre que les nombres ci-dessous sont des entiers naturels à trouver. Donne les étapes de transformation d"écriture. 6233 2 23
2 2 2 a a a= ´ 2 45 20 2 9 5 4 5 2 332 b b b= 2 2
3 2 5 2 4 5
3 2 5 4
3 2 5 4
120c c c c d) Ecrire les nombres suivants sous la forme 5aoù a est un nombre entier relatif. 20 4 5 4 5 2 5a a a a== ´= ´ 2 45 2 9 5 2 3 5 6 5b b b b== ´ ´= ´ 80
2 16 5 2
16 5 4 5
2 52 2c
c c=e) Donner le nombre B sous la forme 3aavec a entier relatif. La réussite passe par la table de 3...
12 2 48 75
4 3 2 16 3 25 3
4 3 2 16 3 25 3
2 3 2 4 3 5 3
2 3 8 3 5 3
3 2 8 5 5 3B
B B B B B= + -= ´ + ´ - ´= ´ + ´ - ´= + ´ ´ - ´= + -= ´ + - = f) Démontre que 61540´´=A est un nombre entier à déterminer. 2 2 240 15 6
4 10 5 3 3 2
2 5 2 3 3 2
2 5 3 2
2 5 3 2 60A
A A A A= ´ ´= ´ ´ ´ ´ ´= ´ ´ ´ ´ ´= ´ ´ ´= ´ ´ ´ = g) Soit E = ()()333132++ .Développer E et donner le résultat sous la forme 3ba+ où a et b sont des entiers relatifs. ()()2 3 1 3 3 32 3 3 3 2 3 3 1 3 3 1 3
6 3 6 3 3 3 3
18 9 3 3
21 9 3E
E E EE= + +
h) Transformer ces écritures pour ne plus avoir de radicaux en dénominateur : 33a= 352=b ()9 2 6
3c-= 2 3 3 3 3 3 3 3 33a a a= 2 5 6 2 5 6 6 2 30 6 30
3 b b b b=