[PDF] Les nombres complexes PDF complexes-handout.pdf

Représentation de l'addition des complexes Conjugaison Module d'un nombre complexe Racine carrée des nombres complexes L'équation du second degré

[000011] Exercice 4 Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : eeiα Calculer les racines carrées de 1, i, 3+4i, 8-6i, et 7+24i Indication Τ

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3 nov 2016 · CM13-Racines carrées Definition On appelle racine carrée d'un nombre complexe z0 tout nombre complexe z tel que z2 = z0

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29 mai 2012 · Racines carrées d'un nombre complexe Déterminer les racines carrées de Z = a + ib équivaut `a trouver nombres complexes z = x + iy

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rées : racine carrée d'un réel positif et racines carrées d'un nombre complexe Exercice 10 : Montrer que z = 15 + 8i admet les deux nombres complexes sui-

[PDF] Les nombres complexes

Représentation de l'addition des complexes Conjugaison Module d'un nombre complexe Racine carrée des nombres complexes L'équation du second degré

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Les nombres complexes, définitions et opérations Vidéo i partie 2 Racines carrées, équation du second degré Vidéo partie 3 Argument et trigonométrie

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Les nombres z solutions d'un telle équation sont les racines carrées de a+ bi Il est assez facile de montrer que tout nombre complexe admet deux racines carrées

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6 sept 2017 · prolongent aux nombres complexes et les r`egles de calcul restent les On appelle racine carrée dans C de Z = A+iB tout complexe z = x +iy

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Dans un document précédent, on a introduit le corps des nombres complexes afin que tout nombre réel ait une racine carrée On va voir ici que l'on a obtenu

[PDF] Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire

Exercice 8 Mettre sous forme trigonométrique 1+eiθ o`u θ ∈]−π, π[ Donner une interprétation géométrique 1 Page 2 2 Racines carrées, équation du second

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[PDF] racine carré de 3

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[PDF] racine carré de 6

[PDF] racine carré de 8

[PDF] racine carré de 9

[PDF] racine carré de a2+b2

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[PDF] racine carré de exponentielle

Les nombres complexes

Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexes

Introduction

Opérations surCLes nombres complexes représentés dans le plan

Représentation de l"addition des complexes

Conjugaison

Module d"un nombre complexe

Racine carrée des nombres complexes

L"équation du second degré

Argument

Écriture trigonométrique des nombres complexes

Représentation de la multiplication

Représentation de la division

Formule de De Moivre

Exponentielle complexe

Racines des nombres complexes

Trigonométrie

Le théorème fondamental de l"algèbre

Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesIntr oduction

La règle des signes

Soitaetb2R+É

0=a.(b+(b)) =a.b+a.(b)) (a.b) =a.(b)Le produit d"un positif et d"un négatif est négatif

0= (a).(b+(b)) = (a).b+(a).(b) =(a.b)+(a).(b))a.b= (a).(b)Le produit d"un négatif et d"un négatif est positif

DansR, un carré est toujours positifL"équationX2+1=0 n"a pas de racine.Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesIntr oduction

On appelleiune racine carrée de1:i2=1On définit l"ensemble desnombr escomple xescomme :

C={z=x+iyjx,y2R,i2=1}É

xest lapartie r éellede z, notée :x=?(z)

yest lapartie imaginair ede z, notée :y=?(z)Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesOpérations sur CÉ

z=x+iy=0,x=y=0É z+z0= (x+iy)+(x0+iy0) =x+x0+i(y+y0)É z.z0= (x+iy).(x0+iy0) =x.x0y.y0+i(x.y0+x0.y)É x+iy=x0+iy0,x=x0ety=y0É (x+iy).(xiy) =x2+y2É

Six+iy6=0 :1x+iy=xiyx

2+y2=xx

2+y2+iyx

2+y2Sinon poury6=0 :i=xy

2R ?(z+z0) =?(z)+?(z0)et?(z+z0) =?(z)+?(z0) ?(z.z0) =?(z).?(z0)?(z)?(z0) et ?(z.z0) =?(z)?(z0)+?(z0)?(z)

Puisque :x+iy=x0+iy0,xx0+i(yy0) =0

?(1 z ) =?(z) ?(z)2+?(z)2et?(1 z ) =?(z)

?(z)2+?(z)2Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesL esnombr escomple xesr eprésentésdans le plan

Soitz=a+ib2C.

Le nombre complexezs"appellel"affix edu point Mde

coordonnées(a,b)dans le plan.y xOM(z=a+ib) ab Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesR eprésentationde l"addition des comple xesy xO M(z) ab M 0(z0) a 0b 0

a+a0b+b0S(z+z0)Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR eprésentationde l"addition des comple xesy

xO M(z) ab M 0(z0) a 0b 0 M

00(-z0)-a0

-b0a-a0b-b0D(z-z0)Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesConjugaison

Soitz=x+iy2C.

On appelle nombre complexe

conjugué de z, le nombre : z=xiyO M(z) xy M

0(z)-yParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesConjugaison

Conjugué : règles de calcul

z=x+iyz=xiyÉ ?(z) =?(z)et?(z) =?(z)É ?(z) =12 (z+z)et?(z) =12i(zz)É z2R,z=zÉ z2iR,z+z=0É(z1+z2) =z 1+z

2,(z) =z,(z1.z2) =z

1.z

2Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesModule d"un nombr ecomple xe

On appelle

module du nombr ecomple xez, le nombrer éel: jzj=pz.z=AEx

2+y2É

jzj=j zj=jzj,jxj jzj,jyj jzjÉ jzj=0,z=0É jz.z0j=jzj.jz0jÉ jz+z0j jzj+jz0jAttention :Ne pas confondremodule d"un nombr ecomple xe avec valeur absolue

La notation est la même

mais

Siz2R,(z=x)jzj=px

2=jxjet doncjz2j=z2É

Siz2CnR,(z=x+iy,y6=0)É

z2=x2y2+2ixy6=jz2j x

2+y2=0,x=y=0

jz.z0j2= (z.z0). (z.z0) = (z.z0).(z.z0) = (z.z).(z0.z0) =jzj2.jz0j2 jz+z0j2= (z+z0). (z+z0) =z.z+z.z0+z0.z+z0.z0 =jzj2+2?(z.z0)+jz0j2

jzj2+2jzj.jz0j+jz0j2= (jzj+jz0j)2Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesModule d"un nombr ecomple xe

OM(z)r=px

2+y2xy

Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesR acinecar réedes nombr escomple xes

Proposition :

T outnombr ecomple xea deux racine car rées

opposées.Exemple : trouver la racine carrée de 3+4iOn cherchez=x+iytel quez2=3+4iÉ (x+iy)2=x2y2+2ixy=3+4iÉ jzj2=x2+y2=q3

2+42=5xetysont donc solutions du système :

8 :x 2y2=3 2xy=4 x

2+y2=5D"où les deux solutions :(x,y) = (2,1)et(x,y) = (2,1)Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR acinecar réedes nombr escomple xes

Pour trouver la racine d"un nombre complexea+ib,

on pose :(x+iy)2=a+ibÉ (x+iy)2=x2y2+2ixy=a+ibÉ jzj2=x2+y2=qa

2+b2xetysont donc solutions du système :

8 :x

2y2=a(1)

2xy=b(2)

2+y2=qa

2+b2(3)

Les équations (1) et (3) permettent de calculerx2ety2

L"équation (2) permet de trouver le signe dexetyParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesL"équation du second degr é az

2+bz+c=0,a6=0,b,c2Caz

2+bz+c=az2+ba

z+ca

=0

=a"z+b2a

2b24ac4a2=0

=a"z+b2a

24a2=0Les racines sont donc les nombres complexesz, tels que

z+b2asoit une racine carrée de4a2Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesL"équation du second degr é

Quanda,betcsontr éels, on a les solutions (complexes) suivantes :Si>0, les deux racines sont : z 1=b+p

2aetz2=bp

2aSi<0, les deux racines sont :

1=b+ip2aetz2=bip2aSi =0, il y a une racine double :

z=b2aParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesAr gument

M(z)r=px

2+y2xy

x=r:cosy=r:sinParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesAr gument

On appelle

ar gument du nombr ecomple xez=x+iy, la seule solutionθ,0θ <2π, du système : 8 :cosθ=xAE x 2+y2 sinθ=yAE x 2+y2 Notation :θ=arg(z)Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesÉcritur etrigonométrique des nombr escomple xes

Un nombre complexe peut s"écrire de deux manières :1.algébrique : z=x+iy,x,y2R2.trigonométrique :

z=r(cosθ+isinθ),r2R+,0θ <2πRemarque :Le choix 0θ <2πest un choix arbitraire, on

peut tout aussi bien choisir :πθ < πou ...Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesÉcritur etrigonométrique des nombr escomple xes

Exemples

z=1+i r=jzj=p1

2+12=p2

Donc :

z=p2(1p2 +i1p2 ) =p2(p2 2 +ip2 2 ) =p2(cos(π4 )+isin(π4 z=3+ip3r=jzj=q3

2+(p3)2=p12=2p3

Donc :

z=2p3(32 p3 +ip3 2 p3 ) =2p3(p3 2 +i12 ) =2p3(cos(π6 )+isin(π6 z=1ip3r=jzj=q1

2+(p3)2=p4=2

Donc :

z=2(12 ip3 2 ) =2(cos(5π6 )+isin(5π6 ))Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesÉcritur etrigonométrique des nombr escomple xes

Moyen mnémotechnique

θ0π

6π 4π 3π 2 sinθp0 2p1 2p2 2p3 2p4 2 cosθp4 2p3 2p2 2p1 2p0 2

Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR eprésentationde la multiplication

Soit :z=r(cosθ+isinθ),z0=r0(cosθ0+isinθ0) zz

=rr0[cos(θ+θ0)+isin(θ+θ0)]Règle :Pour multiplier deux nombres complexes écrits sous

forme trigonométrique,

On multiplie les modules

On additionne les argumentsParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesR eprésentationde la multiplication y xO P

0(z0P)P(zP)Q(zP:z0P)

0 0+r

PParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR eprésentationde la multiplication

Soit :z=r(cosθ+isinθ),z0=r0(cosθ0+isinθ0) zz

=rr0[cos(θ+θ0)+isin(θ+θ0)]Règle :Pour multiplier deux nombres complexes écrits sous

forme trigonométrique,

On multiplie les modules

On additionne les argumentsParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesR eprésentationde la division

Siz6=0,1z

=zz.z=r.(cosθisinθ)r 2: 1z =1r (cosθisinθ)?z6=0,z02C: z 0z =r0r cos(θ0θ)+isin(θ0θ)Règle :Pour diviser deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique,

On divise les modules

On soustrait l"argument du dénominateur de l"argument du numérateur Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesF ormulede De Moivr e

Puissance entière d"un nombre complexe.

Sin2N,

z n=z.z...z|{z} n-fois =r.r...r|{z} n-fois =rn.cos(nθ)+isin(nθ) Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesF ormulede De Moivr e

Sin2Z?

,n2N z n=1z n= 1r Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesF ormulede De Moivr e

Formule de De Moivre

?n2Z: (cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesExponentielle comple xe

Théorème :Il existe une fonctione xponentielledéfinie sur C (notéeez?z2C) qui vérifie :1.?z,z02C:ez+z0 =ez.ez02.Si x2R,exest l"exponentielle réelle3.L"application : [0,2π[7!C

θ7!eiθest une bijection sur

l"ensemble des complexes de module 1Théorème admis Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesExponentielle comple xe

Les nombres complexes de module 1

1 e iπ6 e iπ3 i= eiπ2 e i3π4 e iπ=-1 -i= ei3π2e i5π3 =e-iπ3 Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesExponentielle comple xe

1 e i2π5

M(z=32

ei2π5 cossin =2π5 Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesExponentielle comple xe

On dispose de 3 écritures pour les nombres complexes :1.algébrique : z=x+iy,x,y2R2.trigonométrique :

z=r.(cosθ+isinθ),r2R+, θ2[0,2π[3.e xponentielle: z=r.eiθ,r2R+, θ2[0,2π[É eiθ=cosθ+isinθÉ eiθ1.eiθ2=ei(θ1+θ2)É (eiθ)n=eniθParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesR acinesdes nombr escomple xes

Racinen-ièmed"un nombre complexe

Soitz=r(cosθ+isinθ)2Cetn2N?.

On appelle

racine n-ièmedez, le nombre complexe : a=ϱ(cosα+isinα) tel que :

z=anParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR acinesdes nombr escomple xes

z=an r(cosθ+isinθ) =ϱn(cosnα+isinnα) 8 n=r nα=θ+2kπ,8 :ϱ=npr

α=θ+2kπn

Pourk2Ntel que : 0kn1Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesR acinesdes nombr escomple xes

Théorème :Pourn2N?, tout nombre complexe

z=r(cosθ+isinθ), non-nul, anracinesn-ièmes: a k=npr cosθ+2kπn +isinθ+2kπn

0kn1Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR acinesdes nombr escomple xes

Racinesn-ièmesde l"unité

Siz=1:r=1, θ=0.

Les nombres complexes :

k=cos2kπn +isin2kπn =ei2kπn 0kn1 s"appellent les racines n-ièmesde l"unité.Pour 0kn1, ωn k=1Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1 Les nombres complexesR acinesdes nombr escomple xes

Somme des racinesn-ièmes de l"unitéO

1 +j

1 +j+j21j= ei2π3

2= ei4π3

Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR acinesdes nombr escomple xes

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Les nombres complexes

Les nombres complexes

Introduction

Représentation de l"addition des complexes

Conjugaison

Module d"un nombre complexe

Racine carrée des nombres complexes

L"équation du second degré

Argument

Représentation de la multiplication

Représentation de la division

Formule de De Moivre

Exponentielle complexe

Racines des nombres complexes

Trigonométrie

Le théorème fondamental de l"algèbre

Les nombres complexesIntr oduction

La règle des signes

Soitaetb2R+É

0=a.(b+(b)) =a.b+a.(b)) (a.b) =a.(b)Le produit d"un positif et d"un négatif est négatif

0= (a).(b+(b)) = (a).b+(a).(b) =(a.b)+(a).(b))a.b= (a).(b)Le produit d"un négatif et d"un négatif est positif

C={z=x+iyjx,y2R,i2=1}É

Les nombres complexesOpérations sur CÉ

Six+iy6=0 :1x+iy=xiyx

2+y2=xx

2+y2+iyx

2+y2Sinon poury6=0 :i=xy

Puisque :x+iy=x0+iy0,xx0+i(yy0) =0

Soitz=a+ib2C.

Le nombre complexezs"appellel"affix edu point Mde

00(-z0)-a0

Les nombres complexesConjugaison

Soitz=x+iy2C.

On appelle nombre complexe

0(z)-yParis Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesConjugaison

Conjugué : règles de calcul

2,(z) =z,(z1.z2) =z

2Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1

Les nombres complexesModule d"un nombr ecomple xe

On appelle

2+y2É

La notation est la même

Siz2R,(z=x)jzj=px

2=jxjet doncjz2j=z2É

Siz2CnR,(z=x+iy,y6=0)É

2+y2=0,x=y=0

OM(z)r=px

2+y2xy

Proposition :

T outnombr ecomple xea deux racine car rées

2+42=5xetysont donc solutions du système :

2+y2=5D"où les deux solutions :(x,y) = (2,1)et(x,y) = (2,1)Paris Descartes2012 - 2013Mathématiques et calcul 1Les nombres complexesR acinecar réedes nombr escomple xes

Pour trouver la racine d"un nombre complexea+ib,

2+b2xetysont donc solutions du système :

2y2=a(1)

2xy=b(2)

2+y2=qa

2+b2(3)

2+bz+c=0,a6=0,b,c2Caz

2+bz+c=az2+ba

=0

2b24ac4a2=0

24a2=0Les racines sont donc les nombres complexesz, tels que

2aetz2=bp

2aSi<0, les deux racines sont :

1=b+ip2aetz2=bip2aSi =0, il y a une racine double :

Les nombres complexesAr gument

M(z)r=px

2+y2xy

On appelle

Exemples

2+12=p2

Donc :

2+(p3)2=p12=2p3

Donc :

2+(p3)2=p4=2

Donc :

Moyen mnémotechnique

θ0π

2+bz+c=az2+ba

=0

2b24ac4a2=0

24a2=0Les racines sont donc les nombres complexesz, tels que

2=

1ei2π3

31ei2π3