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Vérifier que ϕ est effectivement un endomorphisme de Rn[X] Exercice 7 – Recherche des racines carrées d'une matrice (extrait de CCP 2004) (g) Calculer avec le moins de calculs possibles la dérivée n-ième des fonctions de la question

d'une application qui serait la « racine carrée » de la dérivation, c'est-à-dire d'une et de la théorie de la réduction des endomorphismes, l'autre en dimension

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10 oct 2011 · des matrices carrées (réelles ou complexes) est une loi associative Notations : on note l'ensemble µn des racines complexes n−ièmes de l'unité est un sous- Considérons l'endomorphisme de dérivation u := D : E → E, f

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l'endomorphisme dérivation D : pour tout u ∈ D, D(u) = u Soit λ ∈ R Si le polynôme caractéristique Pf n'a que des racines simples toutes dans K alors Dans ce paragraphe, A désigne une matrice carrée d'ordre n : A ∈ Mn(K) Dé nition

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Soenit E un espace vectoriel et ϕ un endomorphisme de E (c'est `a dire une propres des racines n-i`emes de 1, en efftet si f(v) = λv on a fn(v) = λnv, soit tion associe sa dérivée admet tous les réels pour valeur propre, la fonction x ↦→ eax

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Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son noyau est réduit au vecteur Le spectre de la dérivation en tant qu'endomorphisme de Ã[X] est réduit à Si le polynôme caractéristique de u est scindé à racines simples, alors u est

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Décomposition Spectrale et racine carrée d'un endomorphisme La dérivation est linéaire et (A cos +B sin +C ch + D sh) ′ = −A sin +B cos +C sh + D ch

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λ ∈ est dite valeur propre de l'endomorphisme f s'il existe un vecteur non nul v ∈ E tel que Soit d : E → E, φ → φ l'application de dérivation Pour tout λ ∈

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Une matrice A ∈ Mn() (resp un endomorphisme f ∈ (E)) est diagonalisable sur si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples dans

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n'est pas de Cramer ; en effet, ce système carré a déjà, pour tout λ, la colonne nulle pour solution a Proposition Proposition Les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son poly- (5) A = L (K[X]), a l'endomorphisme de dérivation