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d'une application qui serait la « racine carrée » de la dérivation, c'est-à-dire d'une et de la théorie de la réduction des endomorphismes, l'autre en dimension 

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10 oct 2011 · des matrices carrées (réelles ou complexes) est une loi associative Notations : on note l'ensemble µn des racines complexes n−ièmes de l'unité est un sous- Considérons l'endomorphisme de dérivation u := D : E → E, f 

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l'endomorphisme dérivation D : pour tout u ∈ D, D(u) = u Soit λ ∈ R Si le polynôme caractéristique Pf n'a que des racines simples toutes dans K alors Dans ce paragraphe, A désigne une matrice carrée d'ordre n : A ∈ Mn(K) Dé nition 

[PDF] pres 2 Détermination

Soenit E un espace vectoriel et ϕ un endomorphisme de E (c'est `a dire une propres des racines n-i`emes de 1, en efftet si f(v) = λv on a fn(v) = λnv, soit tion associe sa dérivée admet tous les réels pour valeur propre, la fonction x ↦→ eax

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Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son noyau est réduit au vecteur Le spectre de la dérivation en tant qu'endomorphisme de Ã[X] est réduit à Si le polynôme caractéristique de u est scindé à racines simples, alors u est 

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Décomposition Spectrale et racine carrée d'un endomorphisme La dérivation est linéaire et (A cos +B sin +C ch + D sh) ′ = −A sin +B cos +C sh + D ch 

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λ ∈ est dite valeur propre de l'endomorphisme f s'il existe un vecteur non nul v ∈ E tel que Soit d : E → E, φ → φ l'application de dérivation Pour tout λ ∈ 

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Une matrice A ∈ Mn() (resp un endomorphisme f ∈ (E)) est diagonalisable sur si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples dans

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n'est pas de Cramer ; en effet, ce système carré a déjà, pour tout λ, la colonne nulle pour solution a Proposition Proposition Les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son poly- (5) A = L (K[X]), a l'endomorphisme de dérivation

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Vérifier que ϕ est effectivement un endomorphisme de Rn[X] Exercice 7 – Recherche des racines carrées d'une matrice (extrait de CCP 2004) (g) Calculer avec le moins de calculs possibles la dérivée n-ième des fonctions de la question 

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8

Réduction des endomorphismes

1.L"étude d"un endomorphismeud"un espace vectorielE

consiste à identifier des sous-espaces vectoriels deEsur lesquels le comportement deuest aussi simple que possible. I

Rappels

I.1 Endomorphisme canoniquement associé à une matrice

2. Bases canoniques

On note traditionnellement(E1,...,En), la base canonique de l"espaceMn,1( ?)des matrices colonnes.

On identifie couramment les espaces vectoriels

?netMn,1( au sens où la même notationxest utilisée pour le vecteur x= (x1,...,xn)? ?n et pour la matrice colonne x=x1E1+···+xnEn?Mn,1( qui représente ce vecteur dans la base canonique de ?n.

2.1On note(Ei,j)1?i?n,1?j?p, la base canonique deMn,p(

de telle sorte que la matrice

A= (ai,j)1?i?n,1?j?p?Mn,p(

peut être décomposée en

A=n∑

i=1p j=1a i,jEi,j. Pour tout 1?j?p, laj-ième colonne deAest égale à n∑ i=1a i,jEi?Mn,1( Pour tout 1?i?n, lai-ième ligne deAest égale à p j=1a i,jtEj?M1,p(

2.2➙Si Eiet Ejont même taille, alors

t

EiEj=δi,j?

2.3➙Si Ei?Mn,1(

?)et Ej?Mp,1(?), alors E itEj=Ei,j?Mn,p(

2.4➙Si Ei,j?Mn,p(

?)et Ek,??Mp,q(?), alors E i,jEk,?=δj,kEi,??Mn,q(

3.SoitA?Mn,p(

3.1SiEj?Mp,1(

?), alors le produitAEjest laj-ème co- lonne deA.

3.2SiEi?Mn,1(

?), alors le produittEiAest lai-ème ligne deA.4.✍On suppose que les espaces ?pet ?nsont rapportés à leurs bases canoniques respectives. L"application linéaire canoniquement associéeà une matrice A de M n,p( ?)est l"application linéaire de?pdans ?nreprésentée par la matrice A.

5.SiA?Mn,p(

?), alors l"application [X?→AX]:Mp,1( ?)→Mn,1(?) est une application linéaire et sa matrice relative aux bases cano- niques deMp,1( ?)etMn,1(?)est la matriceA.

6.✍L"imagede A?Mn,p(

?)est le sous-espace deMn,1(?) engendré par la famille des colonnes de A.

ImA=Vect(AE1,...,AEp) =?AX,X?Mp,1(

7.SoitA?Mn,p(

7.1✍Lenoyaude A est le sous-espace deMp,1(

?)défini par

X?KerA??AX=0.

7.2Le noyau deAest réduit au vecteur nul si, et seulement

si, l"application linéaire canoniquement associée àAest injective.

7.3➙Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son noyau

est réduit au vecteur nul.

7.4Méthode

Les vecteurs du noyau deAsont en bijection avec les relations de liaison entre les colonnes deAau sens où la matrice colonne

X=α1E1+α2E2+···+αpEp

appartient à KerAsi, et seulement si, les colonnes(Cj)1?j?pde

Asont liées par la relation

1C1+α2C2+···+αpCp=0.

I.2 Matrices semblables

8.1✍Soient A et B, deux matrices carrées. La matrice B estsem-

blableà la matrice A lorsqu"il existe une matrice inversible P telle que

B=P-1AP.

On note alors B≡A.

8.2SoitA=MatB(u). La matriceBest semblable àAsi, et

seulement si, il existe une baseCtelle queB=MatC(u).

8.3➙Pour tout entier n?1, larelation de similitude≡est une

relation d"équivalence sur chaque espaceMn(

8.4➙Deux matrices semblables ont même rang, même trace et même

déterminant.

9. Conjugaison des matrices

9.1➙Quelle que soit la matrice P?GLn(

?), l"application [M?→P-1MP] est un automorphisme de l"algèbreMn(

9.2SoientAetB, deux matrices semblables.

1. Quel que soitk?

?, les matricesAketBksont sem- blables.

2. La matriceAest inversible si, et seulement si, la matrice

Best inversible et dans ce cas,A-1etB-1sont semblables.

3. Pour tout polynômeQ?

?[X], les matricesQ(A)et Q(B)sont semblables. En particulier,Q(A) =0 si, et seulement si,Q(B) =0.

8•Réduction des endomorphismes

10. Matrices codiagonalisables

1. Deux matrices diagonalesD1etD2commutent.

2. S"il existe une matrice inversiblePtelle que

P -1AP=D1etP-1BP=D2, alors les matricesAetBcommutent.

3. SiAetBreprésentent deux réflexions d"un plan eucli-

dien dans une même base orthonormée, elles sont semblables à une même matrice diagonale. Les matricesAetBcommutent- elles?

11.SoientBetC, deux matrices semblables dansMn(

Pour quelsx?

?les matrices(xIn-B)-1et(xIn-C)-1sont- elles semblables?

12.Une matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont

toutes les colonnes, sauf la première, sont nulles. Plus précisé- ment, siA?Mn( ?)est une matrice de rang 1, alors : - ou bienAest semblable àEn-1,n; - ou bien il existeθ? ?tel queAsoit semblable àθEn,n.

Étudier la réciproque.

13.Parmi les matrices suivantes, déterminer celles qui sont

semblables.((1 0 00 0 00 0 0)) (0 0 00 1 00 0 0)) (0 1 00 0 00 0 0)) (1 0 00 0 00 0 3)) 0 0 1 0 0 0

0 0 0))

(0 0 10 0 10 0 0)) (0 0 00 0 10 0 0)) (1 1 00 0 00 0 0)) 0 2 0 0 0 0

0 0 0))

(0 1 00 0 10 0 0)) (0 0 00 2 00 0 0)) (2 0 00 2 00 0 0))

14.Les matrices

A=(( 1 0 0 0 0 1

0-1 2))

etB=(( 1 0 0 0 1 1

0 0 1))

sont semblables. CalculerAnpour toutn?

15.Les matrices

A=(((((((1

0001 1 0 0

01)))))))

?Mn+2( ?)etB=Diag(0n,I2) sont semblables.

16.Si les matricesA1etA2sont semblables dansMn(

alors les matrices?A10 0A1? et?A20 0A2? sont semblables dansM2n(

I.3 Sous-espaces stables

17.L"image paru?L(E)d"un sous-espaceFdeEest un

sous-espace vectoriel deE, qu"on noteu?(F).

17.1✍Un sous-espace F eststablepar l"endomorphisme u?L(E)

lorsqu"il contient son image par u : u ?(F)?F.

17.2Le sous-espaceF=Vect(xi,i?I)est stable parusi, et

seulement si,u(xi)?Fpour touti?I.

17.3SiFetGsont deux sous-espaces stables paru, alors les

sous-espacesF+GetF∩Gsont stables paru.

17.4SiFest stable paru, alorsFest stable parQ(u)pour tout

polynômeQ? ?[X].

17.5Siu◦v=v◦u, alors Kervet Imvsont stables paru.Endomorphisme induit par restriction18.✍Soient u?L(E)et F, un sous-espace stable par u. L"endo-

morphisme induit par restrictionde u au sous-espace F est l"appli- cation u

F:F→F définie par

?x?F,uF(x) =u(x).

19. Sous-espaces stables et polynômes enu

SoientF, un sous-espace vectoriel stable paruetuF, l"endomor- phisme deFinduit par restriction deu. Alors ?P? ?[X],?x?F,P(uF)(x) =P(u)(x).

19.1➙Pour tout P?

?[X], un sous-espace F stable par u est aussi stable par P(u)et l"endomorphisme induit par restriction de P(u)à F est P(uF).

19.2➙Soient E, un espace de dimension finie et u?GL(E). Si F est

un sous-espace stable par u, alors u

F?GL(F), le sous-espace F est

stable par u -1et (u-1)F= (uF)-1.

20. Traduction matricielle

On suppose queEest un espace vectoriel de dimension finie.

20.1➙Il existe un sous-espace F stable par u?L(E)si, et seulement

si, il existe une baseBde E telle que Mat

B(u) =?A B

0C? où les blocs A et C sont des matrices carrées. Dans ce cas, la matrice A représente l"endomorphisme u

Finduit par

restriction de u à F.

20.2Il existe une baseBdeEet deux matrices carréesAetB

telles que Mat

B(u) =?A0

0B? si, et seulement si, l"espaceEest somme directe de deux sous- espaces stables paru.

21. Exemples élémentaires

1. SoientD, une droite vectorielle etf, un endomorphisme

deD. Quelle est la nature géométrique def?

2. SoientP, un plan vectoriel etB= (e1,e2), une base de

P. On cherche à caractériser les endomorphismes dePdont la structure est la plus simple.

2.aQuels sont les sous-espaces dePstables par une homo-

thétie? une projection? une symétrie?

2.bSoitf?L(P). On suppose qu"il existe deux droites vec-

toriellesFetGstables parf, telles queP=F?G. Que dire des endomorphismes induits par restriction defàFet àG?

2.cSoitf0, l"endomorphisme dePdéfini par

Mat

B(f0) =?1 10 1?

Quelles sont les dimensions possibles pour un sous-espace deP stable parf0? Quels sont les sous-espaces stables parf0? Existe- t-il deux sous-espaces stricts dePqui soient supplémentaires dansPet stables parf0? I.4 Projections et décomposition en somme directe

22.➙Soit p?L(E), un projecteur. Alors x?Imp si, et seulement

si, x=p(x).

23. Projections associées à une décomposition

On suppose connue une décomposition en somme directe deE: (1)E=? i?IE i où l"ensemble d"indicesIest fini.

I Rappels

23.1Pour touti?I, la projectionpisurEiparallèlement au

sous-espace F i=? j?=iE j est bien définie. Cet endomorphisme deEvérifie :

Impi=Ei, Kerpi=Fi.

23.2Pour toutx?E, la décomposition dexadaptée à la

décomposition (1) deEest x=∑ i?Ip i(x). 23.3
x?=0E?? ?i?I,pi(x)?=0E

23.4La famille(pi)i?Idesprojections associées à la décom-

position deEen somme directevérifie : ?i?=j,pi◦pj=0 et∑quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49