[PDF] Intégrales dépendant dun paramètre - Exo7 - Cours de

∂ x (x, t) dt On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx ∫ b



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Intégrales dépendant dun paramètre - Exo7 - Cours de

∂ x (x, t) dt On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx ∫ b



La dérivée, lintégrale, la primitive un univers de sens

Il est difficile à enseigner, car il s'appuie sur un rapprochement inattendu des notions de pente et d'aire, 



Intégrales dépendant dun paramètre - Maths-francefr

s le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction F est 



Principaux théorèmes dintégration

?me (Théorème de dérivation sous l'intégrale) Soit f : (t,x) ↦→ f(t,x) une fonction de I × E dans C



Primitives et intégrales

ns dérivées n'est pas nécessairement une fonction dérivée Exemple Soit f et g de R dans R PRIMITIVES ET INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 403 Lemme 37 1



Dérivées et intégrales simples de fonction réelles

Dérivées et intégrales simples de fonction réelles présentées dans ce chapitre



Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Institut de

?es des fonctions usuelles Dans chaque ligne, f′ est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I

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Intégrales dépen-

dant d"un paramètreTrès souvent, la solution d"une équation différentielle aboutit au calcul d"une primitive :

F(x) =Z

b a

f(x,t)dt.Dans de nombreux cas, il n"y a pas de forme explicite pour cette primitive et il faut donc étudier la fonctionF(x)

telle qu"elle nous est donnée, c"est-à-dire sous la forme d"une intégrale, qui dépend du paramètrex. Dans ce chapitre

nous donnons des conditions afin que cette fonctionF(x)soit continue et dérivable. Le point-clé des démonstrations

sera la continuité uniforme. Nous appliquons ces méthodes à la transformation de Laplace et à celle de Fourier. Ne

vous lancez pas dans ce chapitre sans de solides bases d"analyse : révisez les chapitres sur les limites, la continuité, la

dérivabilité, et l"intégration.

1. Continuité et dérivabilité d"une intégrale dépendant d"un para-

mètre

1.1. Fonction définie par une intégrale

Soitf:(x,t)7!f(x,t)une fonction de deux variables,xett. Nous considéronsxcomme un paramètre ett2[a,b]

comme une variable d"intégration. Cela nous permet de définir

F(x) =Z

b a f(x,t)dt.

Unxétant fixé, pour queF(x)existe, il suffit que l"application partiellet7!f(x,t)soit continue sur[a,b]. Mais ceci

ne garantit pas la continuité de la fonctionF. Nous donnons des conditions suffisantes pour queFsoit continue, puis

dérivable.

1.2. ContinuitéThéorème 1.

SoientIun intervalle deRetJ= [a,b]un intervalle fermé borné. Soitfune fonction continue surIJà valeurs

dansR(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I par

F(x) =Z

b a f(x,t)dt est continue sur I.Exemple 1. Soit

F(x) =Z

0 sin(x+t)ext2dt, définie pourx2I=R. La fonction(x,t)7!f(x,t) =sin(x+t)ext2est continue surR[0,], donc la fonction x7!F(x)est continue surR.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2On calcule queF(0) =R

0sin(t)1dt=

cos (t) 0 =2. Même si on n"a pas de formule pourF(x)en général, on déduit de la continuité queF(x)!F(0) =2 lorsquex!0.

Les démonstrations de cette section utilisent la continuité uniforme, qui fait l"objet de la section suivante.

Démonstration.

Soitx0un point deI. Quitte à restreindre l"intervalle en considérantI\[x0,x0+], on suppose

queIest un intervalle fermé borné. Le théorème de Heine (théorème6 ) s"applique alors à la fonctionfsurIJ:

elle est donc uniformément continue. En particulier, pour tout >0, il existe >0 tel que,pour tout t2J,

jxx0j< =)f(x,t)f(x0,t)6ba.

Dans ce cas,

F(x)F(x0)=

Z b a f(x,t)f(x0,t)dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)dt

6(ba)ba=.

DoncFest continue enx0.1.3. Dérivabilité

Théorème 2.

Soient I un intervalle deRet J= [a,b]un intervalle fermé borné. On suppose que : (x,t)7!f(x,t)est une fonction continue sur IJ (à valeurs dansRouC), la dérivée partielle(x,t)7!@f@x(x,t)existe et est continue sur IJ. Alors la fonction F définie pour tout x2I par F(x) =Z b a f(x,t)dt est de classeC1sur I et :F

0(x) =Z

b

a@f@x(x,t)dt.On peut retenir l"abréviation mnémotechnique d"interversion dérivée/intégrale :

ddxZ b a =Z b a@@x

Exemple 2.

ÉtudionsF(x) =R1

0dtx

2+t2pourx2]0,+1[. Posonsf(x,t) =1x

2+t2. Alors :

fest continue sur]0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2x(x2+t2)2est continue sur]0,+1[[0,1].

On aura donc

F

0(x) =Z

1

02x(x2+t2)2dt.

Pour cet exemple on peut calculer explicitementF(x):

F(x) =1x

2Z 1

0dt1+tx

2=1x h arctantx i t=1 t=0=1x arctan1x 1x arctan1x =1x

2arctan1x

1x

311+x2.

Ce qui prouveZ

1

02x(x2+t2)2dt=1x

2arctan1x

1x(1+x2).

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE3

Démonstration.Soitx02I. Pour simplifier l"écriture nous supposerons quex0n"est pas une extrémité deI. Nous

devons démontrer que, pour tout >0, il existe >0 tel que, pour toutx2[x0,x0+]etx6=x0:F(x)F(x0)xx0Z

b a@f@x(x0,t)dt 6.

Écrivons :

F(x)F(x0)(xx0)Z

b a@f@x(x0,t)dt Z b f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t)‹ dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t)dt.

Par le théorème des accroissements finis, pour toutt2[a,b], il existex1strictement compris entrex0etxtel que

f(x,t)f(x0,t) = (xx0)@f@x(x1,t).

Fixons >0tel que[x0,x0+]soit inclus dansI: la dérivée partielle@f=@xest uniformément continue sur

[x0,x0+][a,b], d"après le théorème de Heine (théorème6 ). Il existe donc >0tel que, pour toutxvérifiant

jxx0j< et pour tout t2[a,b],@f@x(x,t)@f@x(x0,t)Sijxx0j< , alors toutx1strictement compris entrex0etxest encore tel quejx1x0j< , donc :@f@x(x1,t)@f@x(x0,t) En reportant dans l"expression ci-dessus, on obtient :

6jxx0jba.

Il reste à intégrer par rapport àtentreaetb:F(x)F(x0)(xx0)Z b a@f@x(x0,t)dt 6Z b a jxx0jbadt=jxx0j, d"où le résultat en divisant parjxx0j.Exemple 3.

Calculonsl"intégrale de Gauss:Z

+1 0 et2dt=p 2e t2Posons, pourx2I= [0,+1[:

F(x) =Z

1 0e x2(t2+1)t

2+1dt G(x) =Z

x 0 et2dt 2

H(x) =F(x)+G(x)

1.Étude deF(x).

En posantf(x,t) =ex2(t2+1)t

2+1, on note que :

fest une fonction continue sur[0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2xex2(t2+1)est aussi continue.

Donc, par le théorème

2 ,Fest continue, dérivable et F

0(x) =Z

1

0@f@x(x,t)dt=2Z

1 0 xex2(t2+1)dt=2xex2Z1 0 ex2t2dt.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE4

2.Étude deG(x).

Gn"est pas à proprement parler une intégrale dépendant d"un paramètre. Si on noteG0(x) =Rx

0et2dt,G0est

simplement une primitive dex7!ex2etG(x) =G0(x)2. CommeG0

0(x) =ex2(la dérivée d"une primitive est la

fonction elle-même), on a : G

0(x) =ddxG0(x)2=2G0

0(x)G0(x) =2ex2Zx

0 et2dt=2xex2Z1 0 ex2u2du

Pour la dernière égalité, on a posé le changement de variablet=xu(et doncdt=xdu,u=txetuvarie de0à1

lorsquetvarie de 0 àx).

3.Étude deH(x).

Par nos calculs précédents, on trouveH0(x) =F0(x)+G0(x) =0, pour toutx2[0,+1[. Cela veut dire que la

fonctionHest une fonction constante. Or

H(0) =F(0)+G(0) =Z

1 01t

2+1dt+0="

arctant— 1 0=4

DoncHest la fonction constante égale à4

4.Limite deH(x)en+1.

Lorsquex!+1, alorsG(x)!€R+1

0et2dtŠ

2.

EtF(x)!0 car

F(x)= Z 1 0e x2(t2+1)t 2+1dt 6Z 1 0 ex2dt=ex2Z1 0

1dt=ex2!0.

DoncH(x) =F(x)+G(x)!€R+1

0et2dtŠ

2.

5.Conclusion.

H

est une fonction constante :H(x) =4, sa limite en+1est donc aussi4. Mais on a calculé cette limite d"une

autre façon, ce qui prouve :Z+1 0 et2dt=s 4 =p 2

1.4. Théorème de FubiniThéorème 3(Théorème de Fubini).

SoientI= [,]etJ= [a,b]deux intervalles fermés bornés. Soitfune fonction continue surIJ, à valeurs dansR

(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I par

F(x) =Z

b a f(x,t)dt est intégrable sur I et Z

F(x)dx=Z

Zb a f(x,t)dtŒ dx=Z b a‚ Z f(x,t)dxŒ dt.On retient que l"on peut intervertir l"ordre d"intégration : Z Z b a =Z b aZ Géométriquement, on se souvient que calculer une intégraleRb af(t)dtrevient à déterminer l"aire sous le graphe,

comme somme de segments de hauteurf(t). Ces segments sont en fait des rectangles de largeur infinitésimale dt.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE5xt

abxt

abIci, pour nos fonctions de deux variables, on calcule d"abord l"aire d"une tranche parallèle à l"axe dest(en vert sur

la figure), puis on fait la somme (c"est-à-dire on effectue une seconde intégration) des aires de toutes les tranches

(qui ont en fait une épaisseur infinitésimale). On pourrait faire la même opération en commençant par les tranches

parallèles à l"axe desx(en rouge sur la figure). Le théorème de Fubini affirme que ces deux méthodes conduisent à la

même valeur. Ce nombre correspond au volume sous la portion de surface.

Exemple 4.

Calculons :

I=Z 0‚ Z1 0 (tsinx+2x)dtŒ dx Première méthode.On intègre d"abord par rapport àt, puis àx: I=Z x= x=0‚ Zt=1 t=0(tsinx+2x)dtŒ dx=Z x= x=0" t22 sinx+2xt— t=1 t=0dx Z x= sinx2 +2x‹ dx="cosx2 +x2—x= x=0=2+1

Seconde méthode.

On utilise le théorème de Fubini qui affirme que l"on peut d"abord intégrer par rapport àx, puis

par rapport àt: I=Z x= x=0‚ Zt=1 t=0(tsinx+2x)dtŒ dx=Z t=1 t=0Z x= x=0(tsinx+2x)dx dtpar Fubini Z t=1 t=0" tcosx+x2—x= x=0dt=Z t=1 t=0(2t+2)dt=" t2+2t— t=1 t=0=2+1

Démonstration.

Par le théorème

1 , la fonctionFest continue surI, donc intégrable. Pourx2I, considérons la fonction : '(x,t) =Z x f(y,t)dy. C"est une fonction continue surIJ. (Pour le prouver considérer'(x,t)'(x0,t0) =Rx x

0f(y,t)dy+Rx0

af(y,t) f

(y,t0)dy. Le premier terme est petit pourxproche dex0carfest bornée; le second est petit par continuité

uniforme def, exactement comme dans la preuve théorème du1 .)

La dérivée partielle par rapport àxde'(x,t)est@'@x(x,t) =f(x,t), qui est elle aussi continue surIJ. On peut

donc lui appliquer le théorème 2 . La fonction qui àxassocie (x) =Z b a '(x,t)dt=Z b aZ x f(y,t)dy dt est dérivable et sa dérivée est :

0(x) =Z

b a@'@x(x,t)dt=Z b a f(x,t)dt.

On obtient donc, pour toutx2I:

Z b aZ x f(y,t)dy dt=(x) =Z x

0(y)dy=Z

x Zb a f(y,t)dtΠdy.

D"où le résultat en prenantx=.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE6

1.5. Bornes qui varient

Une catégorie un peu différente d"intégrales est lorsque ce sont les bornes qui sont les paramètres de la fonction :

G(x) =Z

v(x) u(x)f(t)dt

oùu,vsont des fonctions dex.Théorème 4.Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b]à valeurs dansR(ouC). SoientIun intervalle deRetu,v:I!

[a,b]deux fonctions de classeC1. Alors la fonction G définie sur l"intervalle I par

G(x) =Z

v(x) u(x)f(t)dt est de classeC1et G

0(x) =v0(x)fv(x)u0(x)fu(x).Exemple 5.

Calculons la dérivée de

G(x) =Z

x2 xdtlnt

pourx>1. Pour appliquer le théorème4 ,on se restreint à un intervalle[a,b]tel que,pourxfixé,x2[a,b]]1,+1[.

Avecf(t) =1lnt,u(x) =x,v(x) =x2, on a :

G

0(x) =v0(x)fv(x)u0(x)fu(x)=2x1ln(x2)11lnx=x1lnx

Le plus simple n"est pas d"apprendre la formule mais de refaire le calcul à chaque fois, car ce calcul est juste la dérivée

d"une composition. Démonstration.Considérons d"abord la fonctionHdéfinie par

H(x) =Z

v(x) a f(t)dt. Cette fonctionHest la composée de deux fonctions :

H(x) =Fv(x)= (Fv)(x)

oùFest la primitive

F(x) =Z

x a f(t)dt. CommeFetvsont de classeC1alorsHest de classeC1et par la formule de dérivée d"une composition : H

0(x) =v0(x)F0v(x).

Mais commeF0(x) =f(x)alors

H

0(x) =v0(x)fv(x).

Si on fait le même calcul pourK(x) =Ru(x)

af(t)dt, on trouveK0(x) =u0(x)fu(x).

Finalement

G(x) =Z

v(x) u(x)f(t)dt=Z a u(x)f(t)dt+Z v(x) a f(t)dt=K(x)+H(x), donc G

0(x) =K0(x)+H0(x) =u0(x)fu(x)+v0(x)fv(x).Mini-exercices.1.

SoitF(x) =R1

0cos(xt)dtdéfinie pourx2[0,].Fest-elle continue? Dérivable? Si oui,

que vaut sa dérivée? CalculerR

0F(x)dxde deux façons différentes.

2.

SoitF(x) =R1

0etsinxdtdéfinie pourx2R.Fest-elle continue? Dérivable? Si oui, que vaut sa dérivée? Que

valent les limiteslimx!0F(x)etlimx!0F0(x)? Retrouver ces résultats en calculant une expression explicite de

F(x).

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2. CONTINUITÉ UNIFORME73.Calculer le volume sous la portion de surface sous le graphe def(x,y) =px+x y+yx+1pour(x,y)2

[0,1][2,3]. 4. Soitf(t) =sintt. Justifier quefpeut être prolongée en une fonction continue en0. SoitF(x) =Rx3 x

2sintt

dt

définie pourx2[0,+1[. CalculerF(0)etF0(x). En déduire le signe deF(x)pourxproche de 0.2. Continuité uniforme

Cette section a pour but de détailler les outils qui ont servi aux preuves de la section précédente et peut être éludée

lors d"une première lecture. Le résultat principal est le théorème de Heine qui affirme que toute fonction continue sur

un intervalle fermé borné est uniformément continue.

2.1. Fonctions d"une variable

La continuité uniforme est une notion plus forte que la continuité. On peut dire que la continuité uniforme est à la

continuité ce que la convergence uniforme est à la convergence simple.Définition 1. SoientIun intervalle deRetfune fonction définie surI, à valeurs dansR(ouC). 1.

On dit que festcontinuesurIsi

8x02I8 >09 >08x2Ijxx0j6=)f(x)f(x0)6.

2.

On dit que festuniformément continuesurIsi

8 >09 >08x02I8x2Ijxx0j6=)f(x)f(x0)6.xy

x

0f(x0)

Rappelons quejxx0j6équivaut àx2[x0,x0+].

Évidemment, la continuité uniforme implique la continuité, mais la réciproque est fausse en général. La différence

entre les deux est subtile. Dans la continuité simple, la valeur depeut dépendre non seulement demais aussi de

x0. Dans la continuité uniforme, elle ne peut dépendre que de: pour undonné, on peut choisir le mêmepour

tous les points de l"intervalle.

2.2. Théorème de HeineThéorème 5(Théorème de Heine).

Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue.La démonstration est reportée en fin de section.

Comme applications immédiates :

La fonctionx7!pxest uniformément continue sur[0,1]. INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2. CONTINUITÉ UNIFORME8

La fonctionx7!1=xest uniformément continue sur tout intervalle du type[,1](avec 0< <1).Pour bien comprendre la subtilité de la continuité uniforme, nous allons reprendre ces deux exemples à la main.

Nous allons vérifier quex7!pxest uniformément continue sur[0,1], mais nous commençons par prouver que sur

l"intervalle]0,1](qui n"estpasfermé borné) la fonctionx7!1=xn"estpasuniformément continue.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14