[PDF] Dérivées et intégrales simples de fonction réelles

Intégrales dépendant dun paramètre - Exo7 - Cours de

∂ x (x, t) dt On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx ∫ b

La dérivée, lintégrale, la primitive un univers de sens

Il est difficile à enseigner, car il s'appuie sur un rapprochement inattendu des notions de pente et d'aire, 

Intégrales dépendant dun paramètre - Maths-francefr

s le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction F est 

Principaux théorèmes dintégration

?me (Théorème de dérivation sous l'intégrale) Soit f : (t,x) ↦→ f(t,x) une fonction de I × E dans C

Primitives et intégrales

ns dérivées n'est pas nécessairement une fonction dérivée Exemple Soit f et g de R dans R PRIMITIVES ET INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 403 Lemme 37 1

Dérivées et intégrales simples de fonction réelles

Dérivées et intégrales simples de fonction réelles présentées dans ce chapitre

Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Institut de

?es des fonctions usuelles Dans chaque ligne, f′ est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I

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Derivees et integrales simples de fonction reelles

Edouard Laroche, Universite de Strasbourg

13 novembre 2008

1 Derivees

1.1 Preliminaires

Soientfetgdeux fonctions reelles.

Denition 1 (fonction negligeable)

On dit quefest negligeable devantgau voisinage deaet on notef(x) =oa(g(x))sif(x)g(x)tend vers 0 lorsquextend versa.

Exemple 1

1.x2=o0(x)

2.sin(x) =x+o0(x2)

3.cos(x) = 1x22

+o0(x3) 4.

11+x= 1x+o0(x)

5.(1 +x)n= 1 +nx+o0(x)

6.exp(1 +x) = 1 +x+o0(x)

Denition 2 (Fonctions equivalentes)

On dit quefetgsont equivalentes au voisinage deaet on notef(x)ag(x)sif(x)g(x) est negligeable devantf(x)au voisinage dea.

Exemple 2 (

Equivalents courants)

1.sin(x)0x

2.cos(x)01

3.

11+x01

1.2 Denitions

Denition 3

On appelle derivee de la fonctionfenx, et on notef0(x), la pente de la courbe representative de cette fonction enx.

Exemple 3

Considerons une fonction lineairef(x) =ax+b. La courbe caracteristique de cette fonction est une droite passant par le point de coordonnees(0 ;b)et de pentea. Cette pente est 1 aussi le taux de variation qui peut ^etre calcule entre deux points d'abscisses respectivesx1 etx2:f(x2)f(x1)x

2x1=a(1)

Comme la pente est constante, on af0(x) =apour toutx.

Denition 4

On peut ecrire la derivee comme la limite du taux de variation entrexetx+xlorsque xtend vers zero : f

0(x) = lim

x!0f(x+x)f(x) x(2)

Propriete 1 (Tangente)

Sifest derivable enx0, la tangente a la courbe representative en(x0;f(x0))a comme equation; y=f(x0) +f0(x0)(xx0) (3)

Denition 5

On peut aussi ecrire que :

f(x+x)'f(x) +f0(x)x(4) De maniere plus rigoureuse, ce resultat s'ecrit comme suit :

Denition 6

Si la fonctionf(x)admet un developpement au voisinage dexde la forme : f(x+x) =f(x) +f0(x)x+o0(x) (5) alorsf0(x)est la derivee defenx.

Exemple 4 (Derivee dex2)

On a :

(x+x)2=x2 1 +xx 2 (6) =x2

1 + 2xx

+o0(x) (7) =x2+ 2xx+o0(x) (8) De par la denition precedente, on a donc(x2)0= 2x.

Exemple 5 (Derivee desin(x))

On a :

sin(x+x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) (9) = sin(x)(1 +o0(x)) + cos(x)(x+o0(2x)) (10) = sin(x) + cos(x)x+o0(x) (11) De par la denition precedente, on a doncsin0(x) = (sin(x))0= cos(x). 2

1.3 Proprietes

Propriete 2 (linearite)

1.(f+g)0(x) =f0(x) +g0(x)

2.(f)0(x) =f0(x)

Propriete 3 (Autres proprietes)

1. Produit :(fg)0(x) =f0(x)g(x) +f(x)g0(x)

2. Inverse :(1f

)0(x) =f0(x)f 2(x)

3. Quotient :(fg

)0(x) =f0(x)g(x)f(x)g0(x)g 2(x)

4. Composition de fonctions :h(x) =f(g(x)). On ah0(x) =g0(x)f0(g(x)).

f(x)1x xnsin(x) cos(x) tan(x) exp(x) exp(ax) ln(x)f

0(x)0 1nxn1cos(x)sin(x) 1 + tan2(x) exp(x)aexp(ax)1x

Tab.1 { Tableau des derivees usuelles

Exercice 1 (Calcul des derivees)

Retrouvez les expressions des derivees du tableau 1 a partir des denitions et des proprietes presentees dans ce chapitre. Vous pourrez notamment utiliser la denition (5) et des developpements donnes en Exemple 1.

2 Integrales

2.1 Denition

On appelle integrale de la fonction entre les bornesaetbla surface situee entre la courbe representative de la fonctionfet l'axe des abscisses, comptee negativement si la fonction est negative. On note cette grandeur : Z b a f(x)dx(12)

2.2 Denition n?2

On peut aussi denir la fonction primitiveF(x) a partir defet d'un reelx0tels que : dF(x)dx=f(x) (13) (x0) = 0 (14)

Alors, on a :

F(x) =Z

x x

0f(y)dy(15)

2.3 Calcul

Si on trouve une primitiveF(x) def(x), alors :

Z b a f(x)dx= [F(x)]b a=F(b)F(a) (16) 3

2.4 Proprietes

Propriete 4 (Linearite)

Z b a (f(x) +g(x))dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx(17) Z b a f(x)dx=Z b a f(x)dx(18)

Propriete 5 (Autres proprietes 1)

Z b a f(x)dx=Z c a f(x)dx+Z b c f(x)dx(19) Z b a f(x)dx=Z a b f(x)dx(20)

Propriete 6 (Autres proprietes 2)

ddx Zx a f(t)dt =f(x) (21)

2.5 Integration par parties

Theoreme 1 (Integration par parties)

Z b a f0(x)g(x)dx= [f(x)g(x)]b aZ b a f(x)g0(x)dxdx(22)

Demonstration 1

La derivee d'un produit s'ecrit(f g)0=f0g+f g0. En integrant les deux termes de cette egalite entreaetb, on obtient la formule de l'integration par parties.

Exercice 2

Calculez les integrales suivante :

1. Z 0 xsin(x)dx(23) 2. Z1 0 xexp(x)dx(24)

2.6 Changement de variable

Un changement de variable permet parfois de simplier le calcul d'une integrale.

Theoreme 2 (Changement de variable)

Z (b) (a)f(x)dx=Z b a f((t))0(t)dt(25)

Exercice 3 (Changement de variable)

Calculez les integrales suivantes :

4 1. Z 0

2xcos(x2)dx(26)

On pourra utiliser le changement de variableu=x2.

2. Z1 0 exp3(x)dx(27) On pourra utiliser le changement de variableu= exp(x). 5quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14