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variance d'une variable aléatoires sont définies, avant de signaler les deux théorèmes importants : loi (formule des probabilités totales) Soit (Ai)i∈I une fa-
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Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement B en le La variance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi B(n, p) est : V (X)
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Comment calculer la variance d'une variable aléatoire réelle discrète X la variance de X a été établie, on a alors le choix entre utiliser la définition (rare) ou la L'avantage de cette astuce est que dans les calculs des probabilités PpX “ kq,
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remarque : on peut prendre a = −∞ ou b = +∞ dans cette formule b a Definition Soit X une variable aléatoire continue de densité fX , sa variance est
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Proposition 7 (Formule des probabilités totales) Soit A un événement tel que 0 < L'espérance et sa variance ne dépendent de X qu'`a travers sa loi : deux
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On en déduit la loi de probabilité de X : xi 0 1 2 3 pi = P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8 Définition 2 4 : Supposons que les valeurs prises par la v a X puissent s'écrire
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La définition montre directement que l'espérance d'un tirage de Bernoulli est p et que la variance d'un tirage de Bernoulli est p(1 − p) 4 4 3 Loi binomiale Soit X
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3 1 5 Espérance et variance des vecteurs aléatoires 54 3 1 6 Formule de transfert 56 3 1 7 Calcul de densité de vecteurs aléatoires
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Probabilites continues
Julie Delon
1/99Plan du cours
PART 1: Introduction
PART 2: Esperance, variance, quantiles
PART 3: Lois usuelles
PART 4: Loi normale et cie
PART 5: Lois jointes, independance
PART 6: Theoremes limites
2/99Premiere partie I
Introduction
3/99Du discret au continu
Denition
Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire discreteprend ses valeurs dans un ensemble ni ou denombrablelance de de,X( ) =f1;2;3;4;5;6gnombre de photons emis par une source lumineuse pendant 1s,X( ) =N4/99Du discret au continu
Denition
Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire continuepeut prendre une innite non denombrable de valeurs, par exemple dans un intervalle ou sur toutR.taille des individus d'une population,X( ) = [0;M]temps d'attente a la poste,X( ) =R+taux de cholesterol,X( ) =R+poids a la naissance,X( ) = [0;m]... 4/99 Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu0246810121416051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu051015051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu051015051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire continue
SiXa une loi continue, la probabilite queXprenne une valeur bien preciseaest en general nulle.On ne peut donc pas denir la loi deXen se contentant de donner ses probabilites elementairesP[X=a] pour touta.SiXdesigne le taux de cholesterol d'un individu, alorsP[X= 0:53969252982mgjl] = 0.On s'interesse plut^ot a la probabilite queXsoit dans un intervalle donne [a;b], ou
qu'il soit inferieur a une valeur donneea. 6/99Du discret au continu
Exercice
On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la loi deX? Comment peut-on la representer graphiquement? Quelle est la probabilite de l'evenementf3 X2 g?7/99Densite de probabilite
Denition
Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive fX:R!R+telle que
P(aXb) =Z
b a fX(x)dxpour tousa;b2R;ab:
Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-
pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +11fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99
Densite de probabilite
Denition
Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive fX:R!R+telle que
P(aXb) =Z
b a fX(x)dxpour tousa;b2R;ab:
Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-
pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +11fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99
Calculer la loi d'une variable a densite, c'est calculer sa densite! 9/99P[X=x]
Si la variable aleatoireXa une densitefX, alors pour toute valeura, la probabilite queXprenne la valeuraest0!!!P(X=a) =P(aXa) =Z
a a fX(x)dx= 0
On s'interesse plut^ot a la probabilite queXprenne ses valeurs dans un intervalle donne [a;b] 10/99Decrire une loi
M^eme terminologie que pour des distributions discretes : dyssymetrie (skewness), moyenne, variance, median, mode, quantiles, etc. 11/99Exercice
Exercice
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des densites de probabilite?1f(x) =8 :x+ 1 si1x01xsi 0x11
0 sinon.2f(x) =(
x2si 0x10 sinon.3f(x) =(
2cos(x) si 0x2
0 sinon.4f(x) =(
34(1x2) si1x1
0 sinon.
12/99Fonction de repartition
Denition
Lafonction de repartitiond'une variable aleatoireXest la fonction denie pour tout t2Rpar FX(t) =P(Xt):
Autrement dit,FX(t) est la probabilite de l'evenement "la valeur deXest inferieure ou egale at".F XF XFigure:Exemples de fonctions de r epartitiond'une va riablediscr eteet d'une va riablecontinue. 13/99Proprietes de la Fonction de repartition
FX(t)2[0;1] pour toutt2R;F
Xest une fonctioncroissantelim
x!1FX(x) = 0 et limx!+1FX(x) = 1pour toutaProposition
Si la fonction de repartitionFXest derivable, alorsXest une variable a densite et sa densite est la derivee deFX: fX=F0XExercice
On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la fonction de repartition de la loi deX?15/99Deuxieme partie II
Esperance, variance, quantiles
16/99Esperance
Denition
SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, son esperance estE[X] =Z
R tfX(t)dt;
lorsque cette integrale est bien denie.Si l'integrale precedente n'est pas convergente, alors l'esperance deXn'est pas denie.
E[X] est une moyenne ponderee des valeurs que peut prendreX. 17/99Proprietes de l'esperance
Proposition
Soient X et Y deux variables aleatoires et2Run nombre reel, on a alorsE() =E(X) =E(X)E(X+) =E(X) +E(1X+2Y) =1E(X) +2E(Y)BAttention cependant, meme si l'esperance admet beaucoup de proprietes qui la
rendent agreable, elle ne respecte pas en general la multiplication (E(XY)6=E(X)E(Y)), sauf pour des variables independantes. 18/99Proprietes de l'esperance
Proposition
SoientXune variable aleatoire continue de densitefX, etg:R!Rune fonction quelconque. L'esperance deg(X) se calcule ainsi :E(g(X)) =Z
R g(x)fX(x)dx:BIl se peut tres bien queE(g(X)) n'existe pas alors queE(X) existe! 19/99Esperance
Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?1050510051020:10:150:220/99Esperance
Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?105051000:10:20:30:420/99Variance
Denition
SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, sa variance estVar[X] =E[(XE[X])2] =Z
R (tE[X])2fX(t)dt =E[X2]E[X]2=Z R t2fX(t)dt Z R tfX(t)dt
2lorsque ces integrales sont bien denies.La variance est un nombre positif, qui peut ^etre inni m^eme si l'esperance existe.
Denition
L'ecart-typed'une variable aleatoireXest la racine carree de sa variance : (X) =pVar(X):21/99Proprietes de la variance
Proposition
Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() =Var(X+) =Var(X) =22/99Proprietes de la variance
Proposition
Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() = 0Var(X+) =Var(X)Var(X) =2Var(X)22/99
Variance
Que pouvez-vous dire des variances de ces densites?105051000:10:20:30:423/99Quantile
Denition
Lesquantilesd'une distributionfsont les valeurs permettant de diviser le support dela distribution en intervalles de poids egaux.On parle de q-quantile lorsqu'on divise le poids de la distribution en q intervalles. Il y
en aq1Par exemple2-quantile = median
3-quantile = tercile
4-quantile = quartile
10-quantile = decile
Lesq-quantiles de la distributionfXde fonction de repartitionFXsont les valeurs F 1 Xiq ;i2 f1;:::;q1g 24/99Exercice
Exercice
SoitXune variable aleatoire de densite
fX(x) =(
43x1=3si 0x1