Montrer que f est bien définie, qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f−1 Exercice n◦7 Soit f l'application f :C −→ C z ↦− →
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Théorème de la bijection On considère une fonction f : I → R définie sur un intervalle I 1) f continue sur I, 2) f strictement croissante sur I =⇒ a) f(I) est un
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Montrer que f est bien définie, qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f−1 Exercice n◦7 Soit f l'application f :C −→ C z ↦− →
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Si c'est le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 Apr`es avoir conjecturé ce que fait l'algorithme suivant sur un exemple, étudier la terminaison, la cor- rection et Comment montrer que f : E → F n'est pas injective ?
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Conséquence : l'application f est bijective si, et seulement si, quel que soit y ∈ F, l'équation f (x) = y admet une unique solution x ∈ E La notion de bijection est
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Injectivité ® Définition : f est injective si tout élément de F admet f : I −→ J est une fonction) : toute droite d'équation y = k avec k ∈ J Bijectivité ® Définition : f est bijective si tout élément de F admet exactement un antécédent par f dans E
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Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l'image correspond au plus à un seul réel 1 / 2 ⁵ + 1 / 5 ³ + 3 ² − 1 (voir graphique)
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Soit I un intervalle et soit f : I → R une fonction strictement monotone sur I Alors f est une fonction injective Démonstration : Supposons par exemple que f soit
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particuli`ere: Si une fonction f(x) est bijective (biunivoque) il existe une autre fonction, Seules les fonctions bijectives peuvent avoir une fonction réciproque 2
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Chapitre4
Applications
1.Denitionsetexemples
l'ensembled'arriveeouensemblebutdef.Onnotef:E!Fouf:E!F
x7!f(x).L'ensembleG=f(x;y)2EFjy=f(x)gest appelelegraphedef. 1et2. 321 4 3 2 1
Diagrammesagittal
32143 2 1
Diagrammecartesien
L'applicationLogarithme:ln:R+!R
x7!ln(x)L'application:R3!R3
(x;y;z)7!(2x+3y;xy+z;y+5z) p1:RR!R
(x;y)7!xL'application\identite":IdE:E!E
x7!x complexes". \L'applicationdeRdansRdenieparf(x)=1=x". \L'applicationfdeniesurZparf(x)=x2"Compositiondesapplications
f:Df!F etonetudiel'applicationf:R!R x7!1=x. deEdansF.2.Egalite-Restriction-Prolongement
E=E0;F=F0et8x2E;f(x)=f1(x):
Exemples-Soientf:R!R
x7!cos(x)etf1:R!R x7!2cos2(x=2)1Alors,onaf=f1.Sionconsideref:R!R
x7!x2,g:R!R+ x7!x2eth:R+!R x7!x2,onobtient troisapplicationsdeuxadeuxdistinctes. f1=fjE1:
cestroisapplications). l'applicationg:E!F1 etg,sionprendF1=R+: {48{APPLICATIONS
3.Compositiondesapplications
applicationdeEdansGnoteegfenposant8x2E;gf(x)=g(f(x)):
Onl'appelleapplicationcomposeedegetf.
sionaf:R!R x7!x2etg:R!R x7!2x,onobtientgf:R!R x7!2x2et fg:R!ROna(gf)h=g(fh)(lorsquecelaaunsens).
f1:E!F1
delangage. gf.A-t-onfg=gf? 2Calculeretcomparerfgetgf.
4.Familles
n7!unplut^otque u:N!E i7!uietonparlealors naturelle,ondenit: al'undesensemblesAiaumoins: i2IA i=fx2Xj9i2I;x2Aig nentatouslesensemblesAi: i2IA i=fx2Xj8i2I;x2Aig {49{Familles
X=[ i2IA i8i;j2I;(i6=j=)Ai\Aj=;)
8i2I;Ai6=;
de[0;+1[: n2NAn.Quepeut-ondiredelafamille(An)n2N?
2 )CalculerS x2]0;1=2[]x1;x+1[etT x2]0;1=2[]x1;x+1[.5.Bijection-Injection-Surjection
8y2F;9x2E;y=f(x)
8(x;x0)2E2;(f(x)=f(x0)=)x=x0):
surjective. x festinjective. qu'uneapplicationestinjective. soitenaun.Exemples-L'applicationl:(R!R
etunseulreelxtelquey=x3. {50{APPLICATIONS
L'applicationu:(R!R+
injectivecaru(1)=u(1)et16=1:L'applicationv:(R!R
dessous: 321 4 3 2 1 f32 1 3 4 2 1 g 32
1 1 3 2 h 3 2 1 4 3 2 1 k