Alors le théorème de la bijection montre que la fonction ] − ∞, 1/2] →] − ∞, 1/4] donnée par la même formule que f est une bijection Exercice 3 Soient f et g les
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[PDF] 1 Bijection et fonctions réciproques - Licence de mathématiques
2 La somme de deux bijections est-elle une bijection? Exercice 9 (Fonction impaire et bijective) Soit f : I → J une fonction impaire
[PDF] Bijections et fonctions réciproques usuelles - Mathématiques PTSI
Exercice 1 : [corrigé] Soit E, F et G trois ensembles, et f : E →F et g : F →G deux applications Démontrer que 1 Si g ◦ f est injective alors f est injective 2
[PDF] Fonctions réciproques
Exercice 6 3 On considère la fonction f(x) = x 1 + x 1) Montrer que f est une bijection de ] − 1,1] sur ]−∞, 1 2] 2) Trouver la fonction réciproque f-1 de la
[PDF] PCSI2 Fonctions usuelles Fiche 3 Bijection réciproque Exercice 1
Bijection réciproque Exercice 1 Soit f définie par f (x) = ln2 1 − 3x 2 + x 3 Préciser le domaine de définition de f, noté Df Montrer que f réalise une bijection de
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Corrigés des exercices 11 Théorème de la bijection pour les fonctions numériques on démontre l'inclusion E ⊂ F et l'inclusion réciproque F ⊂ E
[PDF] Corrigé du TD no 6
Alors le théorème de la bijection montre que la fonction ] − ∞, 1/2] →] − ∞, 1/4] donnée par la même formule que f est une bijection Exercice 3 Soient f et g les
[PDF] Corrigé du TD no 11
(pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque, voir l'exercice suivant) Exercice 11 1 Soit la fonction f : [−1, +∞[→ R, définie par f(x)
[PDF] Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct
Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que Soient E et F deux ensembles, et soit f de E dans F qui admet une application réciproque f −1
[PDF] Leçon 01- Correction des exercices
d) Lesquelles de ces fonctions admettent une fonction réciproque? la définir e) Définir fog f n'étant ni injective, ni surjective f n'est pas bijective c) Pour que la
[PDF] Devoir de Mathématiques 2 : corrigé Exercice 1 Deux sommes
Donc d'apr`es le théor`eme de la bijection f induit une bijection de ]−π, π[ vers l' intervalle J = R `a déterminer On note g la fonction réciproque ainsi déterminée (
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![[PDF] Corrigé du TD no 6 [PDF] Corrigé du TD no 6](https://pdfprof.com/Listes/17/18697-17TD6_corrige.pdf.pdf.jpg)
CPP - 2013/2014 Algèbre générale I
J. Gillibert
Corrigé du TD n
o6Exercice 1 On considère les applicationsfetgdéfinies par f:R2-→Rg:R-→R2 (x,y)?-→xy x?-→(x,x2)1. Les applicationsf◦getg◦fsont données par
f◦g:R-→Rg◦f:R2-→R2 x?-→f(g(x)) =f(x,x2) =x3(x,y)?-→g(f(x,y)) =g(xy) = (xy,x2y2)2. (a) L"applicationfest-elle injective? En d"autres termes, est-il possible de retrouver un couple
(x,y)à partir de la donnée de son image parf, à savoir le produitxy? La réponse est évidemment non, mais pour préciser cela il convient de fournir un exemple. On peut prendre celui-ci : f(1,1) =f(2,1/2) = 1 ce qui montre quefn"est pas injective.(b) L"applicationfest-elle surjective? Autrement dit, est-il vrai que tout élémentt?Rest l"image
parfd"un certain couple? Pour répondre positivement à cette question il suffit de remarquer que f(1,t) =t doncfest surjective. (c) L"applicationgest-elle injective? Oui, car la donnée du couple(x,x2)permet de retrouverx.Pour répondre à la question en se servant de la définition, on se donne deux réelsxetx?tels
queg(x) =g(x?), c"est-à-dire tels que (x,x2) = (x?,x?2) Alorsx=x?par identification. Ainsi la relationg(x) =g(x?)implique quex=x?, ce qui est la définition de l"injectivité deg.(d) L"applicationgest-elle surjective? Non, car(1,0)n"admet pas d"antécédent parg: en effet, si
c"était le cas, alors on aurait trouvé un réelxtel que(x,x2) = (1,0), c"est-à-dire tel quex= 1
etx2= 0, ce qui est impossible.(e) Grâce à l"analyse réelle (théorème de la bijection), on voit quef◦g:R→Rest bijective, en
particulier elle est injective et surjective.(f) Commefn"est pas injective,g◦fn"est pas injective. En effet, il suffit de récupérer le même
exemple que pourf: g(f(1,1)) =g(f(2,1/2)) = (1,1)(g) Commegn"est pas surjective,g◦fn"est pas surjective. En effet,(1,0)n"admet pas d"antécédent
parg, donc n"admet pas non plus d"antécédent parg◦f. 1Exercice 2
On considère l"applicationfdéfinie par
f:R-→R x?-→x(1-x)1. Soityun réel fixé. On souhaite déterminerf-1({y}), c"est-à-dire l"ensemble des antécédents dey
par la fonctionf, ou encore l"ensemble des solutionsxde l"équationf(x) =y. Or cette équation s"écrit x(1-x) =y c"est-à-dire x2-x+y= 0
Il s"agit d"une équation de degré2enx, dans laquelleyest vu comme une constante. Le discriminant
estΔ = 1-4y. On distingue alors trois cas possibles : (a)Δ>0, c"est-à-direy <1/4. Alors l"équation a deux solutions qui sont 1 + ⎷1-4y2 et1-⎷1-4y2 (b)Δ = 0, c"est-à-direy= 1/4. Alors l"équation a une solution unique :x= 1/2. (c)Δ<0, c"est-à-direy >1/4. Alors l"équation n"admet pas de solution.La fonctionfn"est pas injective, car les réels strictement inférieurs à1/4admettent deux antécé-
dents : par exemplef(0) =f(1) = 0. La fonctionfn"est pas surjective, car les réels strictementsupérieurs à1/4n"admettent aucun antécédent. La valeury= 1/4est particulière car c"est le seul
réel qui admet un unique antécédent parf.2. On peut prendreI=]- ∞,1/2]etJ=]- ∞,1/4]. Alors le théorème de la bijection montre que la
fonction]- ∞,1/2]→]- ∞,1/4]donnée par la même formule quefest une bijection.Exercice 3
Soientfetgles applications deNdansNdéfinies par : f(n) = 2n, g(n) =?n21. (a) L"applicationfn"est pas surjective. En effet,1n"admet pas d"antécédent parf, car il n"existe
pas d"entier naturelntel que2n= 1. Commefn"est pas surjective, elle n"est pas bijective. (b) L"applicationgn"est pas injective. En effet,g(0) =g(1) = 0.2. (a) L"applicationf◦gn"est pas injective, cargn"est pas injective. En effet,f(g(0)) =f(g(1)) = 0.
Par conséquent,f◦gn"est pas bijective. On notera par ailleurs quef◦gn"est pas surjective,
carfn"est pas surjective. (b) L"applicationg◦f:N→Nest donnée par g(f(n)) =g(2n) =?2n2 =?n? Or icinest un entier naturel, donc?n?=n. Autrement dit,g◦fest l"application identité deNdansN. Elle est donc bijective.
Exercice 4
Soit l"applicationh:N2→Ndéfinie par
h:N2-→N (p,q)?-→2p3q 21. On se demande sihest injective. Soient(p,q)et(a,b)deux éléments deN2tels queh(p,q) =h(a,b),
alors nous avons 2 p3q= 2a3bPar unicité de la décomposition d"un nombre en produit de facteurs premiers, on en déduit que
p=aetq=b.