[PDF] ´Enoncés des exercices

Calculs de déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques

orrigée par Arnaud Bodin Exercice 1 Exercice 7 Déterminant de Vandermonde Montrer que

7 Determinants Corriges - Optimal Sup Spé

e assez délicat, comportant des questions difficiles, Déterminant de Vandermonde 9

1 Programme de Colles 2 Exercices - Normale Sup

Exercice 3 (Vandermonde) Soit a1, ,an des réels On appelle déterminant de 

´Enoncés des exercices

tion : Van Der Monde) Exercice 43 [ Corrigé ] Calculer le déterminant ∆n (θ) de An = (aij)1 ≤ i,j 

Exercices - Déterminants : corrigé Petits calculs - F2School

e 4 - Déterminant de Vandermonde - L1/L2/Math Sup/Math Spé - ⋆⋆ Nous allons procéder par 

TD 6 - corrigé - Maths PT Benjamin Franklin

corrigé Alg 2 Exercice 6 23 Déterminant de Vandermonde Soit n ∈ N∗ et (x1, ,xn) ∈ Kn Le 

Exercices - Déterminants - Jérôme Von Buhren - Free

e 22 : Pour n ∈ N∗, calculer le déterminant de la matrice (i − j)1⩽i,j⩽n Exercice 23 : Pour Exercice 35 (Vandermonde) : Soient α1, ,αn ∈ C distincts On note V (α1, ,αn) 

Exercice Éléments de solution

HÉMATIQUES Exercice 1)Déterminant de Vandermonde Soit (a1, , an) ∈ Cn Calculer

Correction - Math93

: CORRECTION Algèbre linéaire : généralités et déterminants 1 1 −1 1 1 1 0

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Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´es´

Enonc´es des exercicesExercice 1[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????0 1 1 1

1 0c2b2

1c20a2

1b2a20?

???????Exercice 2[Corrig´e]

Calculer le d´eterminant Δ =

5 1 2 3 4

4 5 1 2 3

3 4 5 1 2

2 3 4 5 1?

Calculer le d´eterminant Δ =

?????1 cosθcos2θ cosθcos2θcos3θ cos2θcos3θcos4θ? ?????Exercice 4[Corrig´e]

Calculer le d´eterminant Δ =

?????b+c c+a a+b b

2+c2c2+a2a2+b2

b

3+c3c3+a3a3+b3?

?????Exercice 5[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????1 1 1 1

1 1-1-1

1-1-1 1

1-1 1-1?

???????puis Δ =? ???????a b c d b a d c c d a b d c b a? ???????Exercice 6[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????y

2+z2yx zx

xy z

2+x2zy

xz yz x 2+y2? (EcrireDcomme le carr´e d"un autre d´eterminant)Exercice 7[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????bc+ca+ab a2+b2+c2bc+ca+ab bc+ca+ab bc+ca+ab a2+b2+c2 a

2+b2+c2bc+ca+ab bc+ca+ab?

(EcrireDcomme le produit de deux d´eterminants)Exercice 8[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????0x y z -x0w-v -y-w0u -z v-u0? ?????Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 1

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 9[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????x a b x a x x b b x x a x b a x? ???????Exercice 10[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????1x x2x3 x 3x2x1

1 2x3x24x3

4x33x22x1?

???????Exercice 11[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????-a b c d b-a d c c d-a b d c b-a? ???????Exercice 12[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????x y z t -y x-t z -z t x-y -t-z y x? (SiD= detA, consid´erer le produitATA)Exercice 13[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

???????1a a2a4

1b b2b4

1c c2c4

1d d2d4?

???????(Indication : Van Der Monde)Exercice 14[Corrig´e]

CalculerD=?

b·a?b?2b·c b·d c·a c·b?c?2c·d d·a d·b d·c?d?2? ???????, o`ua,b,c,dsont des vecteurs deR3.Exercice 15[Corrig´e] On reprend l"exercice pr´ec´edent en supposant quea,b,c,dsont des vecteurs deR4.

Montrer que sia,b,c,dsont li´es alorsD= 0, et que dans le cas contraireD >0.Exercice 16[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

n+ 1n+ 2n+ 3...2n

2n+ 1 2n+ 2 2n+ 3...3n

n

2-n+ 1n2-n+ 2... ... n2?

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 17[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

?????(a+b)2a2b2 a

2(a+c)2c2

b

2c2(b+c)2?

?????Exercice 18[Corrig´e]

CalculerD(m,p) =?

0 mC1 m...Cp m C 0 m+1C1 m+1...Cp m+1............ C 0 m+pC1 m+p...Cp m+p?

Calculer le d´eterminantD=?

1 2x3x24x35x4

1 4x9x216x325x4

1y y2y3y4

1 2y3y24y35y4?

Soitaun r´eel. On noteA=(

(((a

2a2 2a

a a 22a2

2 2a a2a

2a2a a2)

)))etB=( (((2 2a a 2 a)

)))1.Calculer detAsous forme factoris´ee.2.D´eterminer le rang de la matriceA.3.R´esoudre le syst`emeAX=B.Exercice 21[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

51 13 32 40 46

61 11 14 50 56

62 20 7 13 52

80 24 45 57 70?

Calculer le d´eterminantDn=?

q ......p q ... q p+q?

Calculer le d´eterminantD=?

???????a

1+b1b1b1... b1

b

2a2+b2b2... b2

b nbn... bnan+bn? ???????Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 3

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 24[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

0-a2a2...:

............0

0...0-anan

1 1...1 1?

Calculer le d´eterminantD=?

1a2... an

a

1x a2... an

a

1a2x......

............an a

1a2... anx?

Calculer le d´eterminantD6=?

0a0 0b0

0 0a b0 0

0 0b a0 0

0b0 0a0

b0 0 0 0a?

Calculer le d´eterminant d"ordren:Dn=?

??????x a ... a a x...............a a ... a x? ??????Exercice 28[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantDn=?

???????x

1a ... a

a x

2...............a

a ... a x n? ???????Exercice 29[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantDn=?

1a ... a

b x

2......

.........a b ... b x n?

(Ajoutert`a chaque coefficient. Consid´erer la fonctionDn(t)ainsi obtenue et v´erifier qu"elle est

affine par rapport `at. Utiliser ensuite deux valeurs particuli`eres det)Exercice 30[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

b

1a1a1... a1

b

1b2a2... a2

b

1b2... bnan?

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 31[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

1 n+11 0...0 C 2 n+2C1 n+21...... ...........0 ...... ...C1 n+p-11 C p n+pCp-1 n+p...C2 n+pC1 n+p?

Calculer le d´eterminantDp=?

1

11 0...0

C 2 2C1

21......

............0 ...... ...C1 p-11 C p pCp-1 p...C2 pC1 p?

Calculer le d´eterminantDn(x) =?

21-x a1a2... ... a1an

a

2a1a22-x a2a3... a2an

a

3a1a3a2a23-x ... a3an

a na1ana2... anan-1a2n-x?

Calculer le d´eterminantD=?

0 1 1 ............0

0...0 1 1

1 0...0 1?

Calculer le d´eterminantD=?

n2...... .........n n ... n n?

Calculer le d´eterminantD=?

???????P(x)P(x+ 1)... P(x+n)

P(x+ 1)P(x+ 2)... P(x+n+ 1)

P(x+n)P(x+n+ 1)... P(x+ 2n)?

o`uPest un polynˆome de degr´e strictement inf´erieur `an.Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 5

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 37[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantD=?

2 1n...3

n-1......1n n n-1...2 1?

Calculer le d´eterminantDn=?

-1 0 3... n -1-2 0...... ............n -1-2...-(n-1) 0? Montrer qu"un d´eterminant antisym´etrique d"ordre impair est nul.

Exercice 40[Corrig´e]

Calculer le d´eterminantDn=?

-1 0 3... n -1-2 0...... ............n -1-2...-(n-1) 0?

Calculer le d´eterminantDn+1=?

1 0 1 2 .........2 ......1 0 1 n ...2 1 0?

CalculerDn+1=?

???????1 cosθ0cos2θ0...cosnθ0

1 cosθ1cos2θ1...cosnθ1

1 cosθncos2θn...cosnθn?

???????(Indication : Van Der Monde)Exercice 43[Corrig´e]

Calculer le d´eterminant Δ

?a ii= 2 a i-1,j=ai+1,j= cosθ a ij= 0 dans les autres casJean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 6

Exercices sur les d

´eterminants´Enonc´esExercice 44[Corrig´e] SoitA? Mn(R), les coefficients diagonaux ´etant nuls, et les autres valant±1. On suppose quenest pair. Montrer queAest inversible.Exercice 45[Corrig´e] SoientAetBdeux matrices de types respectifs (n,p) et (p,n), avecn?=p. Montrer que l"un au moins des d´eterminants det(AB) ou det(BA) est nul.Exercice 46[Corrig´e]

Calculer le d´eterminant

????0In -In0? ???.Exercice 47[Corrig´e]

SoientA,BdansMn(R). Montrer que????A B

-B A? ???=|det(A+iB)|2.Exercice 48[Corrig´e] SoitAune matrice carr´ee d"ordren, nilpotente. Montrer que det(I +A) = 1.Exercice 49[Corrig´e]

SoientA,B,Ctrois matrices carr´ees d"ordren.

Calculer le d´eterminantD=????0B

A C? ???en fonction des d´eterminants deAet deB.Exercice 50[Corrig´e]

SoitA? Mn(Z).

Montrer queA-1existe dansMn(Z)?detA=±1.Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 7

Exercices sur les d

´eterminantsCorrig´esCorrig´es des exercices

Corrig

´e de l"exercice 1[Retour `a l"´enonc´e]

On retranche par exemple la colonne C

3aux colonnes C2et C4.

On peut alors d´evelopper par rapport `a la ligne L 1: D=? ???????0 1 1 1

1 0c2b2

1c20a2

1b2a20?

???????0 0 1 0

1-c2c2b2-c2

1c20a2

1b2-a2a2-a2?

?????1-c2b2-c2 1c2a2

1b2-a2-a2?

On soustrait maintenant L

2`a L1et L2:

D=? ?????0-2c2b2-a2-c2 1c2a2

0b2-a2-c2-2a2?

?????= (a2+c2-b2)2-4a2c2 = (a2+ 2ac+c2-b2)(a2-2ac+c2-b2) = ((a+c)2-b2)((a-c)2-b2) = (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)Corrig

´e de l"exercice 2[Retour `a l"´enonc´e]

On ajoute toutes les lignes `a la premi`ere et on factorise la somme (constante) obtenue.

Puis on effectue successivement C

5←C5-C4, C4←C4-C3, C3←C3-C2, C2←C2-C1:

5 1 2 3 4

4 5 1 2 3

3 4 5 1 2

2 3 4 5 1?

5 1 2 3 4

4 5 1 2 3

3 4 5 1 2

2 3 4 5 1?

5-4 1 1 1

4 1-4 1 1

3 1 1-4 1

2 1 1 1-4?

On d´eveloppe par rapport `a la premi`ere ligne, puis on ajoute toutes les lignes `a la premi`ere.

Dans le d´eterminant obtenu, on ajoute la premi`ere ligne `a toutes les autres :

Δ = 15

???????-4 1 1 1

1-4 1 1

1 1-4 1

1 1 1-4?

???????= 15? ???????-1-1-1-1

1-4 1 1

1 1-4 1

1 1 1-4?

???????= 15? ???????-1-1-1-1

0-5 0 0

0 0-5 0

0 0 0-5?

On est arriv´e `a un d´eterminant triangulaire. Ainsi Δ = 15·53= 1875.Corrig

´e de l"exercice 3[Retour `a l"´enonc´e]

On additionne les colonnes C

1et C3:

C

1+ C3=(

(1 + cos2θ cosθ+ cos3θ cos2θ+ cos4θ) (2cos 2θ

2cosθcos2θ

2cosθcos3θ)

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