[PDF] Exercice Éléments de solution

Calculs de déterminants - Exo7 - Exercices de mathématiques

orrigée par Arnaud Bodin Exercice 1 Exercice 7 Déterminant de Vandermonde Montrer que

7 Determinants Corriges - Optimal Sup Spé

e assez délicat, comportant des questions difficiles, Déterminant de Vandermonde 9

1 Programme de Colles 2 Exercices - Normale Sup

Exercice 3 (Vandermonde) Soit a1, ,an des réels On appelle déterminant de 

´Enoncés des exercices

tion : Van Der Monde) Exercice 43 [ Corrigé ] Calculer le déterminant ∆n (θ) de An = (aij)1 ≤ i,j 

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e 4 - Déterminant de Vandermonde - L1/L2/Math Sup/Math Spé - ⋆⋆ Nous allons procéder par 

TD 6 - corrigé - Maths PT Benjamin Franklin

corrigé Alg 2 Exercice 6 23 Déterminant de Vandermonde Soit n ∈ N∗ et (x1, ,xn) ∈ Kn Le 

Exercices - Déterminants - Jérôme Von Buhren - Free

e 22 : Pour n ∈ N∗, calculer le déterminant de la matrice (i − j)1⩽i,j⩽n Exercice 23 : Pour Exercice 35 (Vandermonde) : Soient α1, ,αn ∈ C distincts On note V (α1, ,αn) 

Exercice Éléments de solution

HÉMATIQUES Exercice 1)Déterminant de Vandermonde Soit (a1, , an) ∈ Cn Calculer

Correction - Math93

: CORRECTION Algèbre linéaire : généralités et déterminants 1 1 −1 1 1 1 0

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Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES

Exercice

1)D´eterminant de VandermondeSoit (a1,...,an)?Cn. Calculer

V n= D´et((((1a1a21... an-111a2a22... an-12.........

1ana2n... an-1n))))

C n= D´et?1 ai+bj? (ai-aj)(bi-bj)?

´El´ements de solution

1)SoitP(x) =n-1?

k=0λ kxk+xn-1. Alors, en utilisant les propri´et´es des d´eterminants, on a

D´et

(1a1a21... an-1

11a2a22... an-12.........

1ana2n... an-1n))))

= D´et((((1a1a21... P(a1)

1a2a22... P(a2)

1ana2n... P(an)))))

PrenonsP(x) =n-1?

k=0(x-ai). En d´eveloppant par rapport `a la derni`ere colonne, on end´eduit que D n=P(an)Dn-1=? et une r´ecurrence peremt alors de conclure que

D´et

(1a1a21... an-1

11a2a22... an-12.........

1ana2n... an-1n))))

2)On d´efinit une fractionRpar

R(x) =(x-a1)...(x-an-1)

(x+b1)...(x+bn)=n? k=1λ kx+bk avecλk=(bk+a1)...(bk+an) (bk-b1)...(bk-bk-1)(bk-bk+1)...(bk-bn).

On a donc, en utilisant les propri´et´es des d´eterminants (on remplace la derni`ere colonne par la somme desλifois

lai`eme colonne) C n=1

λnD´et(((1

a1+b1...1a1+bn-1R(a1) 1 an+b1...1an+bn-1R(an))))

λnR(an)Cn-1.

On peut alors conclure par r´ecurrence.

Remarquer queCn(ai,bi) =Vn(ai)Vn(bi)

2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12