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9 mai 2012 · t−1(ln(t))−2 dt, donc convergente 1 3 Fonctions positives, intervalle borné Nous traitons ici le cas où la fonction à intégrer tend vers l'infini en 

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f(t)dt est convergente (en b) Théor`eme 1 Une intégrale absolument convergente est convergente 3 Intégrales Impropres des fonctions `a signe constant

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Intégrales convergentes La plupart des intégrale§que vous Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que f  

[PDF] Chapitre 7 : Intégrales généralisées

converge en tous ces points, alors on conclut que l'intégrale est convergente Exemple : On voudrait considérer ∫ ∞ 0 e−x dx Le seul probl`eme est la borne 

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Lorsqu'on sait calculer explicitement une primitive, une premi`ere mani`ere de vérifier qu'une intégrale impropre est convergente est donc d'examiner la limite 

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dt est convergente Calculer sa valeur Exercice 5 Montrer que les intégrales ⌡ ⌠ 0 + sin

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f(t)g(t)dt est convergente Corollaire 6 1 Si f est une fonction numérique positive et décroissante sur l'intervalle [a, +∞[ et si lim

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Ainsi, l'intégrale Z 1 0 ln(1 + t) t dt est convergente 19 1 2 Intégration sur un intervalle [a,+∞[ ou ] − ∞,a] Définition 4 Soit a ∈ R Soit f une fonction continue  

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1 1 − x2 dx est convergente (pourquoi ?) Dans le cas d'une intégrale généralisée sur un intervalle ouvert, il faut donc traiter les deux bornes séparément L' 

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Critère de Cauchy pour les intégrales impropres 1 5 Intégrales impropres des fonctions positives 2 1 Exemples d'intégrales absolument convergentes

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Chapitre 1

Intégrales généralisées

I. Approximation des fonctions, développements limités Dans le chapitre 3 du Cours de première année (premier semestre), vous avez vu la formule de Taylor pour construire des approximations de fonctions; vous avez aussi vu la notion de fonctions équivalentes au voisinage d"un point. Dans cette partie, nous revoyons tout cela et l"approfondissons en introduisant la technique des développements limités. Ces méthodes sont fondamentales pour les calculs de limites et d"ordres de grandeurs; elle vont servir abondamment dans tous les chapitres vus ce semestre.

I.1 Formules de Taylor

I.1.1 Formule de Taylor-YoungThéorème1 (Taylor-Young).Soit I unintervalleouvertdeRetsoitx02I.Soitn2Nunentier.

Si f est dérivable n fois sur I, alors il existe une fonction²définie sur I vérifiantlimx!x0²(x)AE0

et telle que

8x2I,f(x)AEnX

kAE0f

(k)(x0)k!(x¡x0)kÅ(x¡x0)n²(x). (I.1)La formule (I.1)est c onnuesou sle n omde formule de Taylor-Young. On parle aussi de déve-

de droite de cette égalité est undéveloppement limitédefau voisinage dex0. Cette formule montre comment, localement, on peutapprocherune fonction par un polynôme. Pour pouvoir l"utiliser pour des évaluations concrètes, il est utile d"avoir une estimation du reste(x¡x0)n²(x). C"est que que nous faisons maintenant.

I.1.2 Formule de Taylor-Lagrange, reste intégralThéorème2 (Taylor-Lagrange).Soit I un intervalle ouvert deRet soit x02I. Soit n2Nun

entier. Si f est dérivable nÅ1fois sur I alors, pour tout x2I, il existe cx2]x0,x[(resp.]x,x0[si

xÇx0) tel que f(x)AEnX kAE0f (k)(x0)k!(x¡x0)kÅ(x¡x0)nÅ1(nÅ1)!f(nÅ1)(cx). (I.2)1

Vous connaissez déjà un cas simple de cette formule : pournAE0, c"est le théorème des ac-

croissements finis. Cette formule de Taylor-Lagrange peut donc se comprendre comme un théorème des accroissements finis généralisé. Une conséquence utile de cette formule estl"inégalité de Taylor-Lagrangeci-dessous, qui kAE0f (k)(x0)k!(x¡ x

0)k. Sous les hypothèses du théorème2 :

¯¯¯¯¯f(x)¡Ã

nX kAE0f (k)(x0)k!(x¡x0)k! c2Ijf(nÅ1)(c)j. (I.3) Exemple :Comme la dérivée deexestex, la formule de Taylor au voisinage de 0 nous donne e xAE1ÅxÅx22!

Å¢¢¢Åxnn!Åxn²(x).

Utilisons l"inégalité de Taylor-Lagrange pour estimer une valeur dee12 . Comme la fonction exponentielle est croissante, nous voyons que (pourxpositif)

¯¯¯¯¯ex¡Ã

nX kAE0x nn!! c2[0,x]ecAExnÅ1(nÅ1)!ex.

PourxAE12

, comme nous savons queeÇ3, nous pouvons majorere12 parp3, donc par 1.74. Ainsi, la formule ci-dessus donne l"estimation suivante :

¯¯¯¯¯e12

nX kAE0( 12 )nn!!

¯¯¯¯¯·1.7412

(nÅ1)(nÅ1)!.

Cecimontrequesionremplacee12

parlenombrenX kAE012 n¢n!(quel"onpeutcalculeravecjuste de 3.10 ¡11pournAE10, etc. Nous avons donc non seulement une approximation du nombre e 12

mais aussi une majoration de l"erreur commise dans cette approximation.Une autre estimation du reste est donné par la formule de Taylor avec reste intégral ci-

dessous.Théorème3 (Taylor-reste intégral).Soit I un intervalle ouvert deRet soit x02I. Soit n2N

un entier. Si f est de classeCnÅ1sur I alors, pour tout x2I : f(x)AEnX kAE0f (k)(x0)k!(x¡x0)kÅZ x x

0(x¡t)n)n!f(nÅ1)(t)dt. (I.4)I.1.3 Notationso(¢¢¢)etO(¢¢¢)de Landau

Reprenons la formule de Taylor-Young. Dans le reste (x¡x0)n²(x), le terme (x¡x0)nindique un"ordredegrandeur» del"approximation.Lanotationci-dessouspermetd"écrirecegenre de reste de façon plus condensée. Définition1.1. Soit f une fonction réelle définie dans un voisinage de0. Soit n2Nun entier. O ndi tque f AEo¡xn¢(" f est un petit-oh de xn») si lim x!0x6AE0f(x)x nAE0. Dans ce cas, on dit aussi que f(x)est négligeable devant xnau voisinage de0. O ndi tque f AEO¡xn¢(" f est un grand-oh de xn») s"il existe a¸0tel que lim x!0x6AE0jf(x)x njÇa. Dans ce cas, on dit aussi que f(x)est dominée par xnau voisinage de0.

Les cas typiques d"utilisation sont les suivants.

Quandf(x)AExn²(x) avec limx!0²(x)AE0, on afAEo¡xn¢.

Quandf(x)AExn(aŲ(x)), on afAEO¡xn¢.

Naturellement, on peut remplacerxnpar (x¡x0)nsi on travaille au voisinage d"un réelx0 non nul (et parµ1x n si on travaille au voisinage deÅ1).

I.1.4 Développement limité

Définition

1 .2.Soitx0unréelet f unefonctiondéfinieauvoisinagedex0.Onditque f admet

undéveloppement limité d"ordrenau voisinage dex0s"il existe un intervalle I contenant x0 et nÅ1nombres a0,a1,...,antels que :

8x2I,f(x)AEnX

kAE0a k(x¡x0)kÅo¡(x¡x0)n¢. Dans les cas d"applications des formules de Taylor, le membre de droite de la formule donne donc un développement limité def. Remarquons que, pour un polynômePde degrén, si

PAEo¡xn¢alors nécessairementPAE0 (c"est le polynôme nul). Ceci montre le résultat impor-

tant suivant d"unicité du développement limité : Lemme

1.3. Soit x0un réel et f une fonction définie au voisinage de x0. Supposons que l"on

trouve deux développement limités f(x)AEnX kAE0a k(x¡x0)kÅo¡(x¡x0)n¢et f(x)AEnX kAE0b k(x¡ x

0)kÅo¡(x¡x0)n¢. Alors, pour tout k2{0,...,n}, on a akAEbk. Autrement dit, il y a unicité du

développement limité (s"il existe). Remarque:Sifest suffisamment dérivable, alors la formule de Taylor donne un développe- ment limité. Mais la réciproque n"est pas vraie : une fonction peut admettre un développe- ment limité sans être dérivable. Par exemple, pourf(x)AEx52 sin(1/x) (pourx2R?), on peut montrer quef(x)AEo¡x2¢(faites le) maisfn"est pas dérivable en 0. Exemple :On sait (somme des termes d"une suite géométrique) que

Si on pose²(x)AEx1¡x, on voit qu"on a11¡xAE1ÅxÅx2Å¢¢¢ÅxnÅxn²(x) avec limx!0²(x)AE0.

Le lemme

1 .3 ci-dessu smont red oncq ue1 ÅxÅx2Å¢¢¢ÅxnÅxn²(x) est le développement limité de11¡xau voisinage de 0. I.2 Calcul de développements limités et applications

I.2.1 Exemples

Les trois développements limités ci-dessous sont à connaître par coeur impérativement.1

1¡xAE1ÅxÅx2Åx3Å ¢¢¢ ÅxnÅo¡xn¢

e xAE1ÅxÅx22

Åx36

Å ¢¢¢ Åxnn!Åo¡xn¢

x2Å®(®¡1)(®¡2)3!

x3Å ¢¢¢ Å®(®¡1)¢¢¢(®¡nÅ1)n!xnÅo¡xn¢I.2.2 Règles de calcul sur les développements limités

Une fois qu"on connait des développement limités, on peut les additionner, les multiplier, les dériver et les intégrer. Nous allons préciser ça.

ADDITION: Sif(x)AEnX

kAE0a kAE0b k(x¡x0)kÅo¡(x¡x0)n¢ alors, pour un réel¸, f(x)Ÿg(x)AEnX

Exemple : les fonctions hyperboliquessinh(x)AE12

(ex¡e¡x)etcosh(x)AE12 (exÅe¡x).En utilisant le développement limité deexete¡x, on obtient sinh (x)AExÅ16 x3Å1120 x5Åo¡x6¢ cosh (x)AE1Å12 x2Å124 x4Å1720 x6Åo¡x6¢ Il ne vous reste plus qu"à écrire la formule générale.

FONCTIONS PAIRES/IMPAIRES:

Lemme

1.4. Si f est une fonction paire (resp. impaire), alors son développement limité au

voisinage de0n"a que des termes de degré pair (resp. impair).

DÉMONSTRATION- En cours.

PRODUIT: Pour obtenir le développement limité def(x)¢g(x) à l"ordren, on multiplie les polynômes nX kAE0a k(x¡x0)ketnX kAE0b k(x¡x0)ken ne gardant que les termes de degré inférieur

ou égal àndans ce produit.Si on a deux développement limités d"ordres différents et qu"on les multiplie ou qu"on les

additionne, alors c"est l"ordre le plus petit qui l"emporte.Exemple :Supposons quef(x)AE1¡x2Åx2²1(x) etg(x)AE1¡xÅx3²2(x). Alorsf(x)g(x)AE

1¡x¡x2Åx2²(x) : les termes enx3ont été "avalés» par le restex2²(x).

Exemple :Développement limité dex2sin(x)1Åxau voisinage de 0.

INTÉGRATION:

Lemme

1 .5.Soit f une fonction dérivable dans un voisinage de0. Si f0admet au voisinage

de0le développement limité d"ordre n f0(x)AEnX kAE0a kxkÅo¡xn¢alors f admet au voisinage de

0le développement limité d"ordre nÅ1f(x)AEf(0)ÅnÅ1X

kAE1a k¡1k xkÅo¡xnÅ1¢.

DÉMONSTRATION- En cours.Autrement dit, on peut intégrer terme à terme un développement limité (et ça fait monter

l"ordre du développement).

Exemple :Développement limité de ln(1¡x)

DÉRIVATION:

Lemme

1.6. Soit f une fonction dérivable dans un voisinage de0. Si f admet au voisinage

de0le développement limité d"ordre n f(x)AEnX kAE0a kxkÅo¡xn¢et si sa dérivée f0admet au voisinage de0un développement limité d"ordre n¡1, alors ce développement limité est : f(x)AEn¡1X

DÉMONSTRATION- En cours.COMPOSITION:

Lemme

1.7. Soit f une fonction définie au voisinage de0et vérifiant f(0)AE0. On suppose

que f admet le développement limité f(x)AEnX kAE1a kxkÅo¡xn¢AExP(x)Åo¡xn¢, où P est un polynôme de degré au plus n¡1. Soit g une fonction définie au voisinage de0admettant un développement limité g(x)AE nX kAE0b kxkÅo¡xn¢. Posons F(x)AEg±f(x)AEg(f(x)). AlorsledéveloppementlimitédeF d"ordren auvoisinagede0s"obtientencalculantnX kAE0b kxkP(x)k

et en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à n¡k dans le calcul de P(x)k.

DÉMONSTRATION- En cours.DIVISION: Soitfune fonction définie au voisinage de 0 et telle quef(0)6AE0. On suppose

quef(0)AE1. Supposons quefadmet un développement limité de la forme f(x)AE1ÅnX kAE1a kxkÅo¡xn¢AE1¡x P(x)Åo¡xn¢ d"ordrenau voisinage de 0 (oùPdésigne un polynôme de degré au plusn¡1). Comme on sait que

11¡uAE1ÅuÅu2Å¢¢¢ÅunÅo¡un¢, le lemme de composition1 .7mont reque l e

développement limité de 1/fau voisinage de 0 est donné par 1f (x)AE1Åx P(x)ÅnX kAE2xkP(x)kÅo¡xn¢

où, comme ci-dessus, l"on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal àn¡kdans le

calcul deP(x)k.

Exemple :On sait que cos(x)AE1¡12

x2Å124 x4Åo¡x5¢AE1¡x2(12

¡124

x2)Åo¡x5¢. Donc

1cos(x)AE1Åx2(12

¡124

x2)Åx4(12

¡124

x2)2Åo¡x5¢. On calcule facilement (12

Å124

x2)2(mo- dulox5) et on obtient1cos(x)AE1Å12 x2Å524 x4Åo¡x5¢. On multiplie ce développement par celui du sinus (sin(x)AEx¡16 x3Å1120 x5Åo¡x5¢) et on trouve le développement de tan(x) à l"ordre 5. dans l"exemple ci-dessous. Exemple :Calculons encore un développement limité de tan(x) au voisinage de 0. On sait que sin (x)AEx¡16 x3Å1120 x5Åo¡x6¢et cos(x)AE1¡12 x2Å124 x4¡1720 x6Åo¡x6¢. Comme la fonction tangente est impaire, son développement limité n"aura que des termes de degré impair et sera donc de la forme tan(x)AEc1xÅc3x3Åc5x5ÅO¡x6¢. On a donc x¡16 x3Å1120 x5Åo¡x6¢AE(1¡12 x2Å124 x4¡1720 x6)(c1xÅc3x3Åc5x5)Åo¡x6¢ Le terme de degré 1 dans cette égalité montre quec1AE1. On a donc (c3x3Åc5x5)(1¡12 x2)AEsin(x)¡xcos(x)AE13 x3¡130 x5Åo¡x6¢

On en déduit quec3AE13

. On poursuit le processus de division : c

5x5AEsin(x)¡xcos(x)¡13

x3cos(x)AE215 x5Åo¡x6¢ d"où tan (x)AExÅ13 x3Å215 x5Åo¡x6¢. Exercice1.1.Retrouver les valeurs de c1,c3,c5de ce développement limité en utilisant la rela- tiontan(x)AEZ x 0 (1Åtan(t)2)dt et en procédant par identification. Exercice 1.2.Développement limité dearctan(x)au voisinage de0par (au moins) deux mé-

thodes : d"une part en utilisant la relationarctan0(x)AE11Åx2, d"autre part en utilisant le dé-

veloppement de la tangente et la relationarctan(tan(x))AEx. I.2.3 Développement limité de fonctions au voisinage d"un point autre que0 En pratique, il est toujours plus commode de calculer des développements limités au voisi- nage de 0. Au voisinage d"un pointx02R, on pose doncxAEx0Åhpuisf(x)AEf(x0Åh) et on la regarde comme une fonction enhdont on calcule un développement limité au voisinage dehAE0.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10