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3 1 Définition des probabilités conditionnelles 3 4 La formule des probabilités totales Démonstration Soit A ∈ P(Ω) A ∩ A = 0 et donc d'après l'axiome 

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2 Définition d'une probabilité conditionnelle 3 Conséquences Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Théorème de Bayes

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Théorème 1 L'application qui a tout évènement B associe le réel PA(B) définit une probabilité sur E appelée probabilité conditionnelle sachant A Démonstration 

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13 mai 2015 · Notons aussi Bi l'évè- nement : la boule du i-ème tirage est blanche, de sorte que B3 = B Par la formule des probabilités totales P(B) = P(BA0)P( 

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3 3 Indépendance Statistique 4 Probabilités Conditionnelles 4 1 Définition 4 2 Probabilités Composées 4 3 Probabilités Totales 4 4 Le Théorème de Bayes 

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démonstration : Puisque pour toute partie B de Ω, B ∩ Ω = B, il est clair que Théorème 3 (formule des probabilités totales) : Soit (Bk)1妻k妻n une partition finie 

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Probabilité Probabilités conditionnelles Formules des probabilités totales Loi de Bayes Sources : Initiation aux probabilit´es,Sheldon Ross, édité aux Presses

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13 mai 2009 · 4 1 Probabilités conditionnelles composées Proposition 4 1 Soient (Ω, P(Ω),P) un espace probabilisé, A et B deux événements avec P(A) 

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Le théorème de Bayes est une conséquence immédiate des probabilités conditionnelles et des probabilités totales Probabilités conditionnelles Exemple Dans une bibliothèque comportant Pour la partition A, A , la formule de Bayes donne

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1 Probabilité conditionnelle

Définition 1SoitPune probabilité sur un universEetAun évènement tel queP(A)6= 0 Pour tout évènementB, on appelleprobabilité deBsachantAle réel P

A(B) =P(A\BP(A)Théorème 1L"application qui a tout évènementBassocie le réelPA(B)définit une

probabilité surEappeléeprobabilité conditionnelle sachantA Démonstration 1PAassocie à tout évènement un réel positif etPA(?) = 0 On prendeest un évènement élémentaire dansE, sie =2A, alorsPA(e) = 0par définition dePA

D"oùX

e2EP A(e)X e2AP

A(e) =1P(a)X

e2AP(e) =P(A)P(A)= 1 Proposition 1SiAest un évènement de probabilité non nulle etBun évènement quel- quonque dans l"universE, on a : -PA(A) = 1; si AetBsont incompatibles,PA(B) = 0; -P(A\B) =P(A)PA(B); -PA(B) = 1PA(B).

2 Formule des probabilités totales

Théorème 2SoitA1;A2;:::;Anun système complet d"évènements de l"universEetB un évènement quelquonque dansE. On a :

P(B) =PA1(B)P(A1) +PA2(B)P(A2) ++PAn(B)P(An)Démonstration 2Best la réunion des évènementsB\A1;B\A2;:::;B\An, qui sont

deux à deux disjoints. Ainsi :

P(B) =P(B\A1) +P(B\A2) ++P(B\An):

Or pour touti2 f1;2;:::;ng;P(B\Ai) =P(B)P(Ai). D"où le résultat.

3 Indépendance

3.1 Rappels

Définition 2On appelleexpérience aléatoire, un processus dont le résultat ne peut

être déterminé à l"avance.

Définition 3On appelleuniversl"ensemble des valeurs prises par le résultat d"une ex- périence aléatoire. Définition 4On appellevariable aléatoiretoute grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat d"une expérience aléatoire. 1 Définition 5Soit P une probabilité sur un universEOn dit que les évènements A et B sont indépendants si

P(A\B) =P(A)P(B)Proposition 2SiP(A)6= 0, on a :

AetBsi et seulement si,PA(B) =PB(A)

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