fondamentale de la dynamique ainsi que l'équation de conservation de la masse Nous allons maintenant réécrire ces équations sous une autre forme en
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fondamentale de la dynamique ainsi que l'équation de conservation de la masse Nous allons maintenant réécrire ces équations sous une autre forme en
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•la variation de quantité de mouvement (masse × vitesse) est égale `a la somme L'équation de conservation locale de la masse est appelée aussi équation de
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Table des matières I Equations fondamentales de la dynamiques des uides 3 1 Rappel 3 2 Equation de Navier-Stokes 3 2 1 Conservation de la masse
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1 3 Équations de conservation de la masse masse volumique entraîne nécessairement la conservation du volume Équation de la statique des fluides
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1 1 2 Masse du constituant i 1 2 Equation de conservation sur une particule de fluide suivie dans son mouvement 1 3 Equation d'état 1 4 Equation de transfert
Equations de conservation et lois de comportement dun - CORE
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Chapitre4
LOISDECON SERVATION
4.1Conse rvationdelaquantit´edemouveme nt
Nousavons juqu'`apr´e sent´ecritl'´equationd emouvementdesfluides`apart irdel'´equation fondamentaledeladynamiqueainsiq uel'´e quationd econservationdelamasse.Nousal lonsmaintenantr´e´ecrireces´e quationssousuneautreformeenconsid´e rantlebil andequantit´ede
mouvementdansunvolumeferm´ edufluide.4.1.1Conservat iondelaquantit´edemouvement
D´eterminonslavariationtemporelledela quantit ´edemouvementd'un´ el´ementdefluidede volumeunit´e,don tlamasseest!: "(!u) t =u t "u t (4.1) etutil isons,d'unepart,l'´equationdem ouvement(3.18)quireliel 'acc´el´eration"par ticulaire"Du/Dtauxforce senvolumeetauxcon trainte s;l'´equation
4.1devi ent:
"(!u) t =u t !!u."u+div#+f(4.2)D'autrepart,r´e´ecri vonsl'´equati ondeconservationdelamassedecet´el´eme ntdevolume,sousla
forme"lagrangienne ": t +".(!u)=0 (4.3) et4.2don ne: "(!u) t =!u".(!u)!!u."u+div#+f(4.4) soit,ennotation indici ellepourlacomposant ei: "(!u i t =!u i "(!u j x j !!u j u i x j ij x j +f i (4.5) cequid onne,enregr oupantlesdeuxpre mierst ermesdumembrededroite : "(!u i t x j (!!u i u j ij )+f i (4.6) L'´equation4.6n'estqu'uneaut re´ecr ituredel'´equati ondemouvement.Ellen efaitaucunehy - poth`esequant`alacompre ssibilit´eou` alaloi decompor tement;elleestvalidedanstoutesles circonstances.Lesecondmembrede4.6faitappara ˆı treladivergenced utenseurdescontrain tes 3536CHAPITRE4.LOISDECONSERV AT ION
ainsiqueladiv ergencedufluxconvecti fdequantit´edemouvement.L'e xpression!u i u j estene et laquant it´edemouvementdansladire ctioniquitraver se,parunit´edetemps,unesurf aceunit ´e dontlanormal eestpar all`ele`ajetce,u niquement sousl'e!etdela convect ionduflu ide.Lasomme de!u i u j etde # ij constituelefluxtotaldequanti t´edem ouvement.Enprati que,l'´equationdeconservati ondel'impulsionestsurtoututil is´ee soussaformeint´egrale,
quenousallon s´etablirm aintenant.Int ´egrons4.6surunvolumeV,fix eparrapport aurep`e reo`uest d´efinielavitesseeu l´erie nneu,en utili santleth´eor`emedeladiver gence: V ".AdV= SA.ndS.
Nousobten ons:
V "(!u i t dV=! S (!u i u j ij )n j dS+ V f i dV o`uSestlasur facelim itantlevolumeVetnestlanormal e`aS.Et ,enutili santlef aitque levolum eVestfixedans l'espace,e ns´eparant letenseurdescontraintesen unepart ieisotrope !p$ ij etund´ eviateu rd ij d dt V u i dV S u i u j n j dS+ S d ij n j dS! S pn i dS+ V f i dV(4.7)L'´equationdeconservationdel' impuls ionprenduneformeparticuli`ere ments implelorsquel'´ecoulement
eststationn aireetquelaforceenvolumed´eri ved'un potentiel %(commelagravit´e, parexe mple).Alors,4.7devien t:
S u i u j n j dS= S d ij n j dS! S pn i dS+ S n i dS(4.8) quiexprim eun´equilibreentre,d 'unepar t,lefluxconvectifdequantit´edem ouvement`atraverslasurf aceSet,d'autr epart,l'int´egraledes contraintesdˆ ues`alapr´esencedufluideext´er ieurau
volumeVetl'in t´egralesurSdupoten tiel´equivalentauchampdefor ce.Nousverronsqu'unchoix judicieuxduvolumedecontrˆoleVpermetd'estimertr `essimplementlaforcesurdesob jetsplac´es aucon tactd'un´ecouleme nt.L'´equation deconservationsouslaforme4.8nefaitinter venirquedesquantit ´escalcul´eessurlasurfacelim itantlevolumedecontrˆole;iles tinutiled econnaˆ ıtrele
champdevitess eetlec hampdepression`al'int´ erieur deV.4.1.2Exempl ed'applicationdelacons ervationdelaquantit´edemouve-
ment:forcee xerc ´eeparl'´ecoulem entsuruneconduitecoud´ ee Consid´eronsl'´ecoulementdansunec onduitepr´esentantuncoudeprogressifd'angle &.Nous supposonsiciquel'´ecoule mentest` aunnombred eReynoldssu santpourque lese etsvisque ux soientn´egligeables .Deplus,noussupposonsqueleprofildevit essee stplatdanslessect ions droitesdutube,cequ ie ectivementobserv´e`agrandnombrede Reynolds.Nouscherchonslaforceexerc´ee parl'´ecoulementsurlacondu ite.Ce tteforceFestl'int´ egraledescontraintessurla
surfaceint´erieure delaconduiteS i ,soi t:F= Si !p˜ndSo`u˜nestunvec teurun itairenormal`a S i etorien t´everslefluide. Pourcalcule rF,app liquonslaloideconservationde l'impu lsionsu runvolu medecontrˆole d´elimit´eparlasurfaceint´erieu redel acondui teS i etparde uxsec tionsdroitesS 1 etS 2 plac´ees enamonte tenavaldu coude,s oit,enn ´egligeantl epoidsd uliquidecontenu dansletube: S u i u j n j dS=! S pn i dS o`uSestlar´e unionde S 1 ,S 2 etS i .Soi tencore,p uisquelesvecteursu nitairesnsontorient´ esvers S u i u j n j dS=! S1 pn i dS! S2 pn i dS!F i (4.9)