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Chapitre4:équationsdebilan
Mecanique des
uides
Christophe Ancey
Chapitre4:équationsdebilan
Principes de conservation
Specicites des
uides
Theoremes de transport
Theoreme de Bernoulli
Applications du theoreme de Bernoulli
my headerMecanique des uides 2 o
Unpetitquizpours'échauffer
Onperce trois trous dans un reservoir rempli
d'eau. Il se forme trois jets. Quel est le jet qui va le plus loin?Oninsue de l'air entre une plaque mobile et une plaque xe. Que fait la plaque mobile? my headerMecanique des uides 3 o
Principes
Ilexiste trois principes fondamentaux en physique
la masse se conserve; la variation de quantite de mouvement (massevitesse) est egale a la somme des forces appliquees; l'energie totale se conserve : c'est le premier principe de la thermodynamique. my headerMecanique des uides 4 o
Descriptionseulérienneetlagrangienne
Dansla description eulerienne, on considere un point xe M du volume de uide et on regarde les particules passer. La vitesse du uide au point M correspond alors a celle de la parcelle de uide qui se situe en M au tempst. my headerMecanique des uides 5 o
Descriptionseulérienneetlagrangienne
Dansla description lagrangienne, on considere une parcelle de uide que l'on suit dans son mouvement au l du temps my headerMecanique des uides 6 o
Descriptionseulérienneetlagrangienne
Lechoix d'une description est une aaire de
convenance.
En mecanique des
uides, il est plus facile de travailler en eulerien car un uide possede un nombre inniment grand de parcelle de uides, dont le mouvement est irregulier (surtout si l'ecoulement est turbulent). En mecanique des solides, il est plus facile de travailler en lagrangien car les parcelles de solides restent proches les unes des autres au cours du temps. my headerMecanique des uides 7 o
Dérivéelagrangienne
Considere un nageur qui plonge dans de l'eau,
dont la temperature varie deT1aT2en fonction de la profondeurxsous l'eet du soleil. Si le nageur est immobile (U= 0) on a
T=cst)dTdt
=0
La temperature ressentie par le nageur ne
change pas. my headerMecanique des uides 8 o
Dérivéelagrangienne
Sile nageur nage vers le fond avec une vitesse
U >0, alors la temperature ressentie diminue
avec la profondeur
T=T2xh
T1xhh
Lavariation de temperature ressentie est donc
d Tdt =dTdx d xdt =UT2T1h =UrT alors qu'en un point M xe quelconque, la temperature (eulerienne) reste xe, donc @T@t = 0: my headerMecanique des uides 9 o
Dérivéelagrangienne
Simaintenant la temperatureT1augmente au
cours de la journee et que le nageur reste a la m^eme place alors les points de vue lagrangien et eulerien concident : @T@t =dTdt my headerMecanique des uides 10 o
Dérivéelagrangienne
Ennsi le nageur se met a plongeur dans
cette eau a temperature variableT(x;t), alors la temperature ressentie est d Tdt =@T @t +UrT: d Tdt derivee materielle ou lagrangienne @T@t derivee locale
UrTterme d'advection
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Dérivéelagrangienne:synthèse
Considerons la fonction temperatureT(x;t). Si on se place en un endroit xe, la variation locale de temperature en un pointxau cours du tempstest representee par une dierentielle partielle@T@t Si maintenant on tient compte du fait que la temperature varie non seulement du fait de processus locaux (p. ex. conduction de chaleur), mais aussi parce que le uide se deplace et transporte de la chaleur (convection), alors la variation totale de temperature comprend ces deux processus. Considerons une petite parcellede uide, qui est enxa l'instantt. Elle est transportee a la vitesseu. my headerMecanique des uides 12 o
Doncau tempst+ dt, la temperature sera
T+ T=T(x+udt;t+ dt) =T(x;t) + dt
u@T@x +@T@t (developpement de Taylor a l'ordre 1) soit le taux de variation de la temperature d Tdt =lim d t 0Tdt =@T @t |{z} variation temporelle+u@T@x |{z} transport convectif On retrouve le fait que lorsqu'on suit une particule dans son mouvement, la variation totale comprend deux termes : une variation locale et un terme de transport appeleconvectionouadvection. my headerMecanique des uides 13 o
Application:accélération
Quelleque soit la description (eulerienne/lagrangienne), l'acceleration d'une particulede uide animee de la vitesseuest denie comme a=dudt =lim d t
0u(x+udt;t+ dt)u(x;t)dt
=@u @t +u@u@x Un resultat que l'on peut generaliser en dimension 3 avecu= (u;v;w) a=ddt u=lim d t
0u(x+udt;t+ dt)u(x;t)dt
=@u@t u r)u: ou on a deni l'operateur (dans un systeme cartesienx;y;z) u r) =u@@x +v@@y +w@@z Remarque : la derivee lagrangienne est parfois notee DDt my headerMecanique des uides 14 o
Volumedecontrôle
Enmecanique des
uides, on peut travailler en un point donne : description locale le mouvement est decrit par un systeme d'equations aux derivees partielles sur un volume de uide, ditvolume de contr^ole : description plus globale le mouvement est decrit par des equations integrales my headerMecanique des uides 15 o
Théorèmedetransportendimension1
Onconsidere un
volume de contr^oleen dimension 1 compris entre A et B, deuxquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
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