[PDF] [PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à

[PDF] Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité

Pascal Lainé 1 Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités

[PDF] Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Théor`eme 5 : Théor`eme des valeurs intermédiaires Soit a et b deux réels tels que a

[PDF] Fonctions limites, continuité et dérivabilité TS A - My MATHS SPACE

est-elle continue sur [0; ∞[ ? II Propriétés des fonctions continues 1 Théorème des valeurs intermédiaires THÉORÈME Soit f une fonction 

[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes

7 nov 2014 · Remarque : Parfois la fonction f n'admet pas une limite en a, mais admet une limite à Théorème 3 : Théorème des valeurs intermédiaires

[PDF] Limites et continuité - Lycée dAdultes

10 oct 2011 · 3 Continuité et théorème des valeurs intermédiaires 11 3 1 Définition 11 3 2 Continuité et dérivabilité La définition rigoureuse des différentes limites n'est pas au programme, ce-

[PDF] Chapitre 2 : Continuité et dérivabilité

On pourra généraliser à tout intervalle après avoir vu la notion de limite plus tard dans l'année Démonstration : Par le théorème des valeurs intermédiaires, 

[PDF] Limites et continuité

La figure 3 illustre le théorème des valeurs intermédiaires Le résultat est tout à fait intuitif : si une fonction continue prend deux valeurs distinctes sur un intervalle,

[PDF] Limites, continuité, dérivabilité - AC Nancy Metz

Limites, continuité, dérivabilité (2) () Analyse valeurs dans R et a ∈ R désigne un point ou un bord de D () Théor`eme des valeurs intermédiaires Lemme

[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à

continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I Soit un réel a continues est continue ( voir le cours sur les limites) Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une 

[PDF] Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

valeur absolue dans R Cela nous permet d'introduire maintenant la notion de limite pour une des fonctions de Rn la notion de continuité puis, modulo quelques difficultés supplémentaires, la notion de dérivabilité au chapitre suivant valeurs intermédiaires est vérifié : si les réels a et b sont dans l'image de f alors tous 

[PDF] Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité

[PDF] Continuité d 'une fonction de plusieurs variables - Institut de

[PDF] Images correspondant ? contoh checklist apar terbaru filetype:pdf

[PDF] Images correspondant ? contoh form checklist apar filetype:pdf

[PDF] penetapan pemberian ijin perceraian pns - Kemenag Jatim

[PDF] Jurnal Ekonomi, Bisnis dan kewirausahaan ISSN - Neliti

[PDF] Images correspondant ? contoh kartu gantung apar filetype:pdf

[PDF] quot Sq Dan Perempuan Single Parent (Studi Kasus Tentang

[PDF] Penafsiran Pasal 33 UUD 1945 Dalam Membangun - Neliti

[PDF] pemeringkata universitas t pemeringkatan koperasi mahasiswa

[PDF] laporan perkawinan pertama - Website BKDD Kabupaten Ciamis

[PDF] Penentuan Struktur dan Skala Upah Metode Skala Ganda Berurutan

[PDF] STANDARD OPERATING PROCEDURE Tgl Revisi : #8212 APAR

[PDF] Peraturan Menteri Ketenagakerjaan Nomor 1 tahun 2017 - Gadjian

[PDF] Peraturan Menteri Ketenagakerjaan Nomor 1 tahun 2017

ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maxima. Les commandes en ligne sont précédée de (%i) en

police courrier. Ce logiciel est disponible sur internet (google: calcul formel maxima)

I - Continuité

1/ Définition

Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Soit un réel a

appartenant à I. La fonction f est continue en a si ax→limf(x) = f(a) Par extension, f est dite continue sur I si elle est continue en tout réel a de I.

Remarques :

- Si f est continue en a, alors f doit être définie sur un " voisinage » de a de la forme ]a-ε ;a+ε[, ε>0.

- f est continue à droite en a si f est définie sur un " voisinage » de a de la forme [a ;a+ε[, ε>0 et

+→axlimf(x) = f(a). - On reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue sur un intervalle

I si elle peut être tracée sans

lever le crayon. Corollaire 1 : L'image d'un intervalle fermé borné [a ;b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [m ;M]. De plus la fonction atteint ses bornes.

Corollaire 2 :

- En appliquant les propriétés sur les opérations avec les limites, le produit, la somme de fonctions

continues est continue (voir le cours sur les limites). - Les fonctions polynômes, cos x et sin x, ex sont continues sur Ë. - La fonction x est continue sur [0 ;+õ[, ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition.

-Les fonctions construites algébriquement à partir des fonctions usuelles sont continues sur leur

ensemble de définition. ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 2/10 Exemple : Montrer que la fonction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est continue en 0 puis sur [0;+ (%i) f(x):=x^2*log(x); (%i) limit(f(x)), x, 0, plus); (%i) plot2d([x^2*log(x),[x,0,2]);

2/ Application : Existence de solutions pour l'équation f(x) = k

Théorème des valeurs intermédiaires :

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b]. Alors, pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris dans [a ;b] tel que f(c) = λ.

Justification graphique :

Remarque

: Ce théorème ne montre que l'existence mais pas l'unicité. Exemple : Montrer que la fonction f(x) = cos x admet un point fixe sur [0; 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x cos(x)x (%i20) plot2d([cos(x),x],[0,%pi/2]); (%i25) find_root(x=cos(x), x, 0, %pi/2); ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 3/10

II Nombre dérivé

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, un réel a ? I, et h un réel non nul (a+h ? I).

f est dérivable en a si le taux d'accroissement f(a+h)-f(a) h admet une limite finie l quand h tend vers 0. l est appelé le nombre dérivé de f en a et on note f'(a)=l.

Interprétation géométrique : Tangente

Si f est dérivable en a, la tangente (Ta) à Cf au point A d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).

Une équation de (T

a) est : (Ta) y = f'(a) (x-a) + f(a)

Interprétation numérique

Si f est dérivable en a, on a f(a+h) = f(a) + f'(a) h + h ε(h) avec 0lim→hε(h) =0 • f(a) + f'(a) h + h ε(h) est appelé développement limité d'ordre 1 de f en a.

• Si h voisin de 0, on a f(a+h) ≈ f(a) + f'(a) h, approximation affine de f(a+h) au voisinage de a.

Exemple d'application :

1/ Démontrer que la f

onction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est dérivable en 0. (%i) limit(f(x)/x,x,0,plus);

2/ Déterminer la meilleure approximation affine de (1+x)

n pour x voisin de 0. (%i20) diff((1+x)^n,x); (%i28) taylor((1+x)^n,x,0,1); ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 4/10

III Fonction dérivée

Définition : Lorsque f est dérivable en tout point de l'intervalle I, on dit que f est dérivable sur I et on

note f'(x) la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x.

1/ Dérivées des fonctions usuelles

Le tableau ci-dessous sera complété au cours de l'année f(x)= f'(x)= f dérivable sur k x xn (n?N* xα (α ? Ë) x cos x sin x tan x ex ln x

2/ Opérations et fonctions dérivées

• Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur I alors u+v, k × u (k?Ë) et uv le sont aussi et :

(u+v)' = u' + v' (ku)'=k u' (uv)'= u'v + uv' Si u et v sont dérivables sur I et v non nul sur I, 1 v et u v sont dérivables sur I et : ( 1 v )'=- v'v² ( u v )'= u'v-uv' v²

Conséquence :

Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition. Exemple : Calculer la dérivée de f(x)=x ln x - x après avoir précisé Df. (%i29) diff(x*log(x)-x,x);

3/ Dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une fonction composée (admis): Soit v une fonction dérivable sur J. Soit u une fonction dérivable sur I telle que pour tout x de I, u(x) appartient à J. Alors la fonction f(x) = v o u (x) est dérivable sur I et : f'(x)= v'(u(x)) ×××× u'(x) ( (v o u)' = (v' o u) u' )

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 5

Applications de la dérivée d'une fonction

composée f f' I u(ax+b) sin (ax+b) un , n ? É xα (α ? Ë) eu ln u

Exemple :

Calculer la dérivée de ln 1²1

xx et de e

2x² après avoir précisé Df

(%i29) diff(log((x+1)/(x^2+1)),x);

4/ Classe d'une fonction

Dérivées successives :

Soit f une fonction dérivable sur I.

f'(x) est appelée dérivée première de f sur I. Si

f'(x) est également dérivable sur I alors on définit la fonction dérivée de f'(x) notée f''(x) et appelée

fonction dérivée seconde de f : (f'(x))'=f''(x).

Pour la dérivée d'ordre 3, 4, on note

f(3)(x) f(4)(x)

Classe d'une fonction

: Soit n ? É. On dit que f est de classe Cn sur I ssi : f est n fois dérivable sur I f(n) est continue sur I

f est de classe C0 si f est continue sur I et de classe Cõ si f est infiniment dérivable (cos x).

Propriété

: Si f et g sont de classe Cn alors : (f+g), fg, f g (g non nulle sur I) g o f sont de classe Cn. Exemple : Calculer la dérivée première, deuxième, troisième de ln(1+x) et (1+x)n (%i40) diff(log(1+x),x,4);

5/ Notations différentielles.

Notation différentielle :

En posant Δx = h et Δy= f(x+Δx) -f(x), on obtient :

Δy = f'(x) Δx + Δx ε(Δx) avec 0lim→hε(Δx ) =0 et au voisinage de x : Δy ≈ f'(x) Δx

En physique on note

f'(x) = df dx f''(x) = d²f dx²

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 6

IV Fonction réciproque

1/ Définition

Théorème fondamental : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors, - f(I) est un intervalle dont les bornes sont les limites des bornes de I. - f réalise une bijection de I sur f(I) - La fonction réciproque de f, notée f -1, est strict. monotone et de même sens que f. - La fonction réciproque f -1 est continue sur f(I).

Exemple : Déterminer l'image des intervalles suivant par une fonction continue strictement monotone

Intervalle [a,b] ]a,b[ [a,b[ ]a,b]

f ↑ f ↓ Application : Résoudre l'équation f(x)=λλλλ • Si f est une fonction dérivable sur [a ;b], • Si f est strictement monotone sur [a;b], • et Si λ est compris entre f(a) et f(b), alors, l'équation f(x)=λλλλ admet une unique solution sur [a ;b]. Théorème fondamental suite : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.

Si de plus f est dérivable en x0 ?I avec f'(x0) non nul alors f -1 est dérivable en y0=f(x0) et :

(f -1)'(y0)= 1 f'(x 0) En particuliers si f '(x) ne s'annule pas sur I, (f-1)'= 1'1-off

2/ Application aux fonctions trigonométriques réciproques arc sin et arc tan

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 7

ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 8

IV Applications de la fonction dérivée

1/ Sens de variation

Théorème 1 (admis):

Soit f une fonction dérivable sur I,

• si f'(x) est positive sur I, alors f est croissante sur I • si f'(x) est négative sur I, alors f est décroissante sur I • si f'(x) est nulle sur I, alors f est constante sur Iquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34