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Puissances, Racines
Exponentielles et Logarithmes
2MStand/Renf
Jean-Philippe Javet
http://www.javmath.chTable des matières
1 Puissances et Racines 1
1.1 Les puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1
1.1.1 Puissances à exposants entiers naturels . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1
1.1.2 Puissances à exposants entiers relatifs . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2
1.1.3 La notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4
1.2 Les racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5
1.2.1 La définition d"une racine... mal définie? . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8
1.2.2 Des bons réflexes qui sauvent la ... fin des calculs . . . . .. . . . . . . . . . 9
1.3 Puissances à exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11
1.4 Puissances à exposants réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14
2 Fonctions et équations exponentielles 15
2.1 Deux exemples en introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15
2.2 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 16
2.3 Équations exponentielles (Début) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 18
2.4 Une première application des fcts exponentielles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Le nombre d"Euler : e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21
3 Logarithmes 25
3.1 Logarithme en base 10 (ou logarithme décimal) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25
3.2 Logarithme en basea(a>0 eta1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Logarithme en base e (ou logarithme naturel) : . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 27
3.4 Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 28
3.5 Formule du changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 36
3.6 Un petit retour aux équations exponentielles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37
4 Quelques applications concrètes 39
4.1 Applications concrètes des exp et des log . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39
A Bibliographie 45
I IIA Quelques éléments de solutions I
A.1 Les Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . I A.2 Fonctions et équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . V A.3 Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . VI A.4 Quelques applications concrètes des exp et log. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . IXMalgré le soin apporté lors de sa conception, le polycopié que vous avez entre les mains contient certainement
quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à son amélioration en m"envoyant un mail : javmath.ch@gmail.comMerci;-)
1Puissances et Racines
1.1 Les puissances entières
1.1.1 Puissances à exposants entiers naturels
Définition:SoitaP?etnP?°. On appellepuissancen-ième deaouaà la puissancen, le produit denfacteurs dea. En d"autres termes : a n"a¨a¨...¨aloooooomoooooon nfacteurs Le nombreas"appellela basede la puissance et le nombrens"ap- pellel"exposantde la puissance.Exemple 1:Calculer les expressions :
a)54"b) ´1 2 3 b)pamqn"am¨np42q3"4...
c)pa¨bqn"an¨bn34¨24"...4
d) ´a b¯ n"anbn, sib023 3 e) am an"$""&""%a m´n, simąn1 , sim"n
1 an´m, simăn3734"...
3437"...
12 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES
Exercice 1.1:Calculer sans machine :
a)p22q3b)2p23qc)p23q2 d)23´32e)32`34f)103`102 g) 1 3 4 h)´25
3 i)´52
4 j)24k)`?56l)
´1?3
8Question:23"8... Mais que pourrait valoir 2´3?
1.1.2 Puissances à exposants entiers relatifs
Définition:Nous allons étendre la notion de puissances à exposants entiers positifs non nuls (i.e.nP ?°) aux puissances à exposants entiers (i.e.nP ?), de façon à conserver les propriétés déjà mentionnées : a m¨an"am`n (avecaP?°)sim"0
a0¨an"a0`n
a0¨an"an
a 0"1Ainsi :a0"1
sim" ´n
a´n¨an"a´n`n
a´n¨an"a0
a´n¨an"1
a´n"1
anAinsi :a´n"1
an "Remarquons que sia"0 , l"expression 00"1.Exemple 2: a)4´3"
b) ´2 5 ´3Nouvelles propriétés:À la liste des propriétés précédentes, on peut alors compléter :
e) am an"am´n5759"5... f) ´a b¯´n"ba
n23 ´2 2CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 3
Exercice 1.2:Calculer sans machine :
d)a´3¨a4e)2´332f)12
´2 Exemple 3:Compléter les écritures des expressions : a)2´3¨24"12...b)p2´3q´4"4...c)254´3"2...
d)9´2
Exercice 1.3:Compléter les écritures des expressions suivantes : a)a3¨a4¨a5"a...b)pa3q4"1 a... c) a4 a5"a...d)3n¨32"3... e)5n`1¨5n´1"5...f)4n`344"14
g) an`1 a"a...h)pa3¨b4q2"a...b... i)26¨49´1
k)a´4¨an`3"a...l)212¨7´363´2¨34"7...3...
m)a´3 a´4 2 "a...n)a3a4 ´2 "a...4 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES
1.1.3 La notation scientifique
Définition:Écrire un nombre réelxennotation scientifiquesignifie écrire ce nombre sous la forme : La notation scientifique a pour principal intérêt de simplifier l"écri- ture des calculs. Elle permet également d"estimer une réponse finale sans l"utilisation obligatoire d"une calculatrice. Exemple 4:Écrire les nombres ci-dessous en notation scientifique : a)Distance Terre - Lune :384404000 m =
b)Masse d"un atome d"hydrogène :0,000"000"000"000"000"000"000"001"7 g = Le saviez-vous?:On désigne souvent les puissances de 10 avec un préfixe précédent les unités de mesure. Par exemple, on parle dekilomètres pour ex- primer 103mètres ou degigaoctets pour désigner 109octets.
Constatant qu"il n"existait aucun terme pour désigner10100, le ma- thématicien américain Edward Kasner (aux environs de 1938)créa le néologismegoogol. Kasner prétend que l"invention de ce mot est due à son neveu qui avait alors 9 ans. On peut néanmoins souligner que rien n"est, pour nous, égal au googol 1"le nombre de cheveux estimé sur toutes les têtes de la popu-lation mondiale est d"environ :ŹEstimation :p1,25¨105q ¨ p7,15¨109q "............
ŹCalculatrice :p1,25¨105q ¨ p7,15¨109q "............ "le nombre de grains de sable dans le Sahara est estimé à :