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Proposition 32 – Soit E de dimension finie n et f ∈ E∗ une forme linéaire non nulle On a dim Ker f = n − 1 Le noyau de f est appelé hyperplan de E déterminé  

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Déterminer la dimension du noyau et de l'image de On donnera un vecteur directeur de ker( ) 3 A-t-on ker( ) ⊕ ( ) = ℝ 3 ? 4

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Montrer que, si x ∈ Ker (ϕ) alors, pour tout n ∈ N : ϕn(x) = 0 Exercice 5 Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E dans lui- 

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Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces

vectoriels et applications linéaires. Correction des exercices.

Tatiana Labopin-Richard

Mercredi 18 mars 2015

Exercice 1 :Montrer que sif:R→Rest polynômiale de degré 2, alors pour tous réelsaetb: f(b)-f(a) = (b-a)f??a+b2

Correction :

Sifest constante égale à 1, alors la propriété est clairement vérifiée. De même sif=id. De plus, sifest la fonction carrée, alors, pour tous réelsaetb: f(b)-f(a) =b2-a2= (b-a)(b+a)f??a+b2 donc la propriété reste vraie. Comme cette propriété est sable par combinaison

linéaire (par linéarité de la dérivation), on en déduit que toute fonction polynômiale

de degré deux vérifie cette propriété. Exercice 3 :SoiteunK-espace vectoriel de dimension finien?N?etf un endomorphisme deEtel qu"il existe un vecteurx0?Epour lequel la famille (x0,f(x0),...,fn-1(x0))soit une base deE. On note

C={g? L(E)/g◦f=f◦g}.

1) Montrer queCest un sous-espace vectoriel deL(E).

2) Observer que

C=?(a0Id+a1f+...an-1fn-1|a0,...an-1?K?.

3) Déterminer la dimension deC.

1

Correction :

1)C ? L(E),0? C. Soientλetμdeux élément s deKetgethdeux éléments

deC. On a

f◦(λg+μh) =λ(f◦g) +μ(f◦h) =λ(g◦f) +μ(◦f) = (λg+μh)◦f

doncλg+μh? C. b) Soitg=a0+a1f+···+an-1fn-1. On ag◦f=a0f+a1f2+···+an-1fn=f◦g doncg? C. Ainsi, ?a

0Id+a1f+...an-1fn-1|a0,...an-1?K?? C.

Inversement, soitg? C. Puisque(x0,f(x0),...fn-1(x0))est une base deE, il existea0,a1,...an-1?Ktels queg(x0) =a0x0+a1f(x0)+...an-1fn-1(x0). Introduisons alorsh=a0Id+a1f+...an-1fn-1. Nous avonsgethdeux

éléments deCetg(x0) =h(x0)donc

g(f(x0)) =f(g(x0)) =f(h(x0)) =h(f(x0)) et de manière plus générale g(fk(x0)) =fk(g(x0)) =fk(h(x0)) =h(fk(x0)) Ainsi,gethprennent mêmes valeurs sur la base(x0,f(x0),...fn-1(x0))) doncg=h. Ainsi nous avons l"inclusion dans l"autre sens et donc l"égalité. c) On aC=V ect(Id,f,f2,...fn-1). De plus, sia0Id+a1f+...an-1fn-1(x0) = 0.Or, la famillex0,...fn-1(x0)) est libre donca0=a1=...an-1= 0. La famille(Id,f,...fn-1)est une famille libre et génératrice deC, c"est donc une base et a dimension deCest den. Exercice 4 :SoientEun espace vectoriel de dimension finie et(u,v)? L(E). montrer que

Ker(f)?Ker(g)? ?h? L(E), g=h◦f.

Correction :

Le sens indirect est immédiat. Montrons le sens direct. Supposons queker(f)? ker(g). SoitHun supplémentaire deker(f)dansE.fréalise un isomorphisme deHversIm(f)notéf|Im(f). SoientKun supplémentaire deIm(f)dansEet h? L(E)déterminé par h |Im(f)=g◦f-1 |Im(f) 2 et h |K= 0.

Pour toutx?H,

(h◦f)(x) =h(f|H(x)) =g(f-1 |H(f|H(x))) =g(x) Les applicationsgeth◦fcoÃŕncidant sur des cous-espaces vectoriels supplé- mentaires, elles sont égales. Exercice 7 :Montrer que les parties suivantes sont des espaces vectoriels.

1)F={f? C1([a,b]),R)|f?(a) =f?(b)}.

2)G=?? C0([a,b]),R)|?b

af(t)dt= 0?.

Correction :

1)F? F([a,b],R)et0?F.

Soientλetμdeux réels etfetgdeux éléments deF. La fonctionλf+μg est de classeC1sur[a,b]et (λf+μg)?(a) =λf?(a) +μg?(a) =λf?(b) +μg?(b) = (λf+μg)?(b) doncλf+μg?F. b)G? F([a,b],R)et0?G. Soientλetμdeux réels etfetgdeux éléments deg. La fonctionλf+μgest continue sur[a,b]et b a(λf+μg)(t)dt)λ? b af(t)dt+μ? b ag(t)dt= 0 doncλf+μg?G.

Exercice 8 :SoitFun sous-espace vectoriel deEet

N={f? L(E), F?Ker(f)}.

Montrer queNest un sous-espace vectoriel deL(E).

Correction :

On peut montrer à la main queNest un sous-espace vectoriel deL(E):N n"est pas vide car comprend l"endomorphisme nul deE. Et pour tout scalaireλet μ, tous élémentsfetgdeN, et tout vecteurxdeF: (λf+μg)(x) =λf(x) +μg(x) = 0E. On peut aussi prouver ce fait en remarquant que l"application 3

φ:L(E)→ L(E,F)

f?→f|F(1) et linéaire, donc son noyauNest un sous-espace vectoriel deL(E). Exercice 9 :SoitFl"ensemble des applications de classeC1deRdansR vérifiant f ?(x)-3f(x+ 2) +f(2) +f?(-1) = 0 pour tout réelx. Montrer queFest un espace vectoriel.

Correction :

La dérivation deC1(R,R)dansC0(R,R)) est linéaire, ainsi que la composition à droite parx?→x+ 2, et toute évaluation donc

φ:C1(R,R)→ C0(R,R)

f?→(x?→f?(x)-3f(x+ 2) + 2f(2) +f?(-1))(2) est linéaire et son noyauEest un sous-espace vectoriel deC1. Exercice 10 :Montrer que l"ensembleFdes triplets(x,y,z)de réels vérifiant : x+y+z= 0

2x-y+z= 0

x-2y= 0(3) est un sous-espace vectoriel deR3.

Correction :

On peut bien entendu vérifier à la main que le vecteur nul est dans l"ensemble et que cet ensemble est stable par combinaison linéaire. Mais, de manière plus élé- gante, on peut aussi voirFcomme intersection de trois noyaux de formes linéaires non nulles surR3(la première étant(x,y,z)?→x+y+z), c"est à dire de trois hyperplans deR3. Exercice 11 :Les parties suivantes sont-ils des espaces vectoriels deR2?

2){(x,y)?R2|x=}

3){(x,y)?R2|x2-y2= 0}

4){(x,y)?R2|xy= 0}

5){(x,y)?R2|x+y= 1}

6){(x,y)?R2|x2+y2= 0}

4

Correction :

1) non : pas stable par multiplication par un scalaire :(0,1)appartient mais

pas-(0,1).

2) non : pas stable par addition :(1,0) + (0,1).

3) oui.

4) non : ne passe pas par(0,0).

5) non : pas stable par addition :(1,1) + (1,-1).

6) oui (c"est l"espace nul!).

Exercice 12 :Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R N?

1)?(un)?RN|(un)bornée?

2) ?(un)?RN|(un)monotone? 3) ?(un)?RN|(un)convergente? 4) ?(un)?RN|(un)arithmétique?

Correction :

1) oui

2) non : pas stable par addition :un=n2etvn=-9n+ 20.

3) oui

4) oui

Exercice 13 :A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel?

Correction :

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deK-espace vectorielE. SiF?G ouG?FalorsF?GvautFouGet est évidemment un sous-espace vectoriel de E. Inversement, supposons queF?Gsoit un sous-espace vectoriel deEetF*G. Il existex?Ftel quex?=G. Pour touty?G,x+y?F?Gpar stabilité par somme. Six+y?G, alorsx= (x+y)-y?G, ce qui est exclu. Doncx+y?F et alorsy= (x+y)-x?F. Ainsi,G?F. Ainsi pour queF?Gsoit un sous-espace vectoriel deE, il faut et il suffit

F?GouG?F.

Exercice 14 :SoitEunK-espace vectoriel et-→x ,-→ztrois vecteurs deEtelq que la famille(-→x ,-→y ,-→z)soit libre. On pose u=-→y+-→z ,-→v=-→z+-→x ,-→w=-→x+-→y . Montrer que la famille(-→u ,-→v ,-→w). 5

Correction :

Supposons que

On aurait alors

(β+γ)-→x+ (α+γ)-→y+ (β+α)-→z=-→0.

La famille(-→x ,-→y ,-→z)étant libre, nous avonsβ+γ= 0,α+γ= 0etα+β= 0

et doncα=β=γ= 0. La famille est donc libre. Exercice 15 :Soitα1...αndes réels distincts.

1) Pour toutk? {1,...n}, on définitfk:x?→ |x-αk|. Montrer que

(fk)k?{1,...n}est libre.

2) Pour toutk? {1,...n}, on posePk=?

i=1,i?=k(X-αi).Montrer que(Pk)k?{1,...n} est libre.

Correction :

1) Pour toutk? {1,...n}, la propriété "être dérivable enαk" est vraie pour

tous lesfipouri?=kmais fausse pourfk. On dit que cette propriété est discriminante pourk. Ainsi, soient(a1,...an)des scalaires tels que a

1f1+...anfn= 0.

Nous avons alors pourkfixé, siakest différent de 0, f k=a1fa+...ak-1fk-1+ak+1fk+1+...anfna k ce qui est absurde puisque la fonction de gauche n"est pas dérivable enαk alors que celle de droite l"est. Ainsi, on peut montrer que pour toutk,ak= 0.

2) De la même manière, la propriété "admettreαkcomme racine" est discrimi-

nante pourPket donc la famille est libre. Exercice 16 :Soitα1...αndes entiers distincts ordonnés par ordre croissant.

1) On considère une famille(P1,...Pn)de polynÃťmes tels que pour toutk?

{1,...n},deg(Pk) =αk. Montrer que cette famille est libre.

2) Pour toutkentier, on posefk:x?→exp(αkx). Montrer que pour unen

fixé, la famille(f1,...fn)est libre.

Correction :

1) Pour toutk? {1,...n-1}, on introduit la propriétéPk: "être de degré

au plusαk". On dit que les propriétés(P1,...Pn-1)hiérarchisent l"ensemble 6 (P1,...Pn-1), parce que(P1,...Pk)vérifientPk, et(Pk+1,...Pn)ne vérifient pasPk. Soit ainsi,a1,...andes scalaires non tous nuls tels que a

1P1+...anPn= 0.

Notonsil"indice maximal desaknon nuls.

Nous avons

P i=ai+1Pi+1+...anPn-ai et le terme de gauche vérifie la propriétéPialors que le terme de droite non. Ainsi, nous arrivons à une absurdité. Il n"existe donc pas de tels scalaire non tous nuls vérifiant l"équation précédente et la famille est libre.

2) Pour toutk, on pose les propriétésPk: " être dominée au voisinage de+∞

parfk". L"ensemble(P1,...Pn)hiérarchise l"ensemble des fonctions que nous considérons. La famille est donc libre. Exercice 17 :Les familles suivantes de vecteurs deR3sont-elles libres? Si ce n"est pas le cas, former une relation liant ces vecteurs :

1)(x1,x2)avecx1= (1,0,1)etx2= (1,2,2).

2)(x1,x2,x3)avecx1= (1,2,1),x2= (2,1,-1)etx3= (-1,1,-2).

3)(x1,x2,x3)avecx1= (1,0,0),x2= (1,1,0)etx3= (1,-1,-2).

4)(x1,x2,x3)avecx1= (1,-1,1),x2= (2,-1,3)etx3= (-1,1,-1).

Correction :

1) oui

2) oui

3) nonx3=x2-x1

4) nonx3=-x1

Exercice 18 :Soit(a,b,c)?R3. les fonctionsx?→sin(x+a),x?→sin(x+b) et?→sin(x+c)sont-elles linéairement indépendantes? CorrectionNon car les ces trois fonctions sont combinaisons linéaires des deux fonctiosn suivantes : x?→sin(x), x?→cos(x). Exercice 19 :Soientf1,...fndes formes linéaires sur unK-espace vectorielE de dimensionn. On suppose qu"il existex?Enon nul tel que f

1(x) =···=fn(x) = 0.

Montrer que la famille(f1,...fn)est liée.

7 Correction :Soitφune forme linéaire ne s"annulant pas enx. Celle-ci n"est pas combinaison linéaire des(f1,...fn). Cette famille n"est donc pas génératrice et par suite elle est liée car formée den=dimE?éléments deE?. Exercice 20 :SoitE={(x,y,z)?R3|x+y-2z= 0et2x-y-z= 0}. Chercher une famille génératrice pour cette espace vectoriel. Correction :Le vecteur(1,1,1)forme une famille génératrice deE. (Il suffit pour le remarquer de transformer le système définissantEen le systèmex=y=z. Exercice 21 :SoitE={(x1,x2,x3,x4)?R4|x1+x3= 0et, x2+x4= 0} etF=V ect(u1= (1,1,1,1),u2= (1,-1,1,-1),u3= (1,-1,1,-1)). Déterminer une famille génératrice deE+F.

Correction :

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