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En approchant cette loi par celle d'une loi normale adaptée, calculez la probabilité pour que X soit compris entre 48 et 52 Correction ▽ [006021] Exercice 3 On
[PDF] Loi normale et approximations - Exo7 - Exercices de mathématiques
Correction de l'exercice 3 △ Pour n = 2000, la loi suivie par la variable aléatoire N «nombre de plaques inutilisables parmi les 2000» est une loi de Poisson de
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3 1 Loi de Bernoulli, loi binomiale Donner l'espérance et la variance d'une loi uniforme sur [a, b] 2 Par approximation par une loi normale bien choisie
[PDF] Loi binomiale et loi normale - Juan Viu-Sos
Soit X une v a d suivant une loi binomiale de param`etres n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[, i e Exercice 2 3 Approximation de la loi binomiale par la loi normale
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1 3 exercices 4 approximation d'une loi binomiale par une loi normale 21 On a déterminé qu'une loi normale de moyenne m = 10 et d'écart type σ = 3
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Par contre, P(X
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Enoncés des exercices Comparer avec l'approximation par une loi de Poisson judicieusement La variable aléatoire X suit une loi normale N (18; 2 5)
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2°) On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est la loi de prob(240 < X < 252) : utilisant une approximation d'une loi Binomiale, discrète, par une loi Normale, continue, on procède à une correction de continuité
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La loi normale comme approximation d'autres lois Une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n , p) est la somme de n C f exercice 3, série 9
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Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.
Lorsque le paramètre n est grand, et que p est ni trop proche de 0, ni trop proche de l, on peut approcher la loi binomiale de
paramètres n et p par la loi normale de paramètres np et -Jnp( l-p). Dans la pratique, comme l'approximation faite est une approximation d'une loi discrète par une loi continue, nous devront effectuerune correction de continuité, c'est à dire qu'à la valeur xo d'une valeur discrète, nous associeront l'intervalle [xo-O,5; xo+0,5] pour la
variable continue.Exemple: On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(400 ;0,5). On peut approcher cette loi par la loi normale
N(200 ;10).
Ainsi, si
l'on considère la variable Y suivant cette loi normale, on approchera P(X=190) par P(189,5:'SY:'S190,5). En effectuant le
changement de variable adéquat,on a P(l89,5:'SY:'S190,5)=P(-1 ,05:::T:'S-0,95)=0,0242, ce qui donne ici une très bonne approximation puisque le calcul direct donne
P(X=1 90)=0,02420713896 1
1. De même, P(X910) sera approché par P(Y:'S21O,5)=P(T:'SI,05)=0,8531.Par contre, P(X<205)=P(X:'S204), (X est une variable discrète), il faudra donc approcher cette probabilité par P(Y:'S204,5).
Exercice 1
Dans les mêmes conditions que l'exemple, donner une valeur approchée de P(X=220), P(X:'S220), P(190 et de P(X <207).
Exercice 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(lOO ;0,2). En utilisant une approximation de cette loi par une loi normale dont on précisera les paramètres, calculer une valeur approchée de P(X=20),P(X92), P(l8:'SX92) et de P(X> 18).
Exercice 3
Un revendeur de matériel photographique désire s'implanter dans une galerie marchande.Il estime qu'il pourra vendre 40 appareils photographiques par jour et les ventes sont deux à deux indépendantes.
Une étude lui a montré que, parmi les différentes marques disponibles, la marque A réalise 38,6% du marché.
1. On note X la variable aléatoire qui, un jour donné, associe le nombre d'appareils de marque A vendus ce jour-là.
• Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. • Calculer la probabilité que, sur 40 appareils vendus par jour, 20 soient de la marque A. En donner une valeur arrondie à 0,01 près. • Calculer l'espérance de X. Calculer l'écart type de X et en donner une valeur approchée à 1 près. 2. On décide d'approcher cette loi par loi normale de paramètres m et cr. • Expliquer pourquoi m=15,44 et cr 3 Dans ce qui suit, tous les résultats seront arrondis à 0,01 près.On note Y la variable aléatoire suivant la loi normale N(I5,44 ; 3). Donner une approximation de la probabilité de
l'événement: " un jour choisi au hasard, il y a exactement 20 appareils de marque A vendus », c'est-à-dire calculer
P(l9,5:'SY90,5).
Déterminer une valeur approchée de la probabilité de l'événement: " un jour donné, 20 au moins des appareils vendus sont de marque A», c-a-d calculer P(Y2:19,5).
• Déterminer une valeur approchée de la probabilité de l'événement: "unjour donné, le nombre d'appareils de marque A vendus est compris entre15 et 25 », c-a-d calculer P(14,5:'SY95,5 ).
Exercice 4
Dns une revue
on peut lire: " On estime à 60,5% le pourcentage de Français partant au moins une fois en vacances dans le courant de
l'année On considère 1 00 personnes prises au hasard avec remise dans la population française. Dans ce qui suit, tous les résultats seront arrondis à 0,01.1. On désigne par X la variable aléatoire mesurant, parmi ces 100 personnes, le nombre de celles qui ne partent pas en vacances
dans le courant de l'année. • Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. • Calculer l'espérance et l'écart type de X. • Calculer P(X=45). 2.On décide d'approcher cette loi par la loi normale N(39,5 ; 4,89). Soit Y la variable aléatoire suivant cette loi.
• Calculer une valeur approché de l'événement" 45 personnes parmi les 100 ne partent pas en vacances dans le courant de l'année», c-a-d calculer P(44,5:'SY:'S45,5). • Calculer une valeur approché de l'événement" au plus 30 personnes parmi les 100 ne partent pas en vacances dans le courant de l'année