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LOIS A DENSITÉ

LE COURS

[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 1

Note liminaire

Programme selon les sections :

- lois normales : toutes sections - lois uniformes : STI2D - STL - S - ES/L - lois exponentielles : STI2D, STL, S

Prérequis

Etude de fonctions - exponentielle - intégration - continuité - variable aléatoire - loi binomiale - espérance -

écart-type

Plan du cours

1. Lois à densité

2. Lois uniformes

3. Lois exponentielles

4. Lois normales

1. Lois à densité

probabilités discrètes).

Définition :

) est une densité de probabilité si : - f est continue sur I - f est positive sur I - l'aire sous la courbe est égale à 1 u. a. (unitĠ d'aire). f étant positive, la troisième condition peut se formuler :

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 2

Exemple :

sur f est continue sur et pour tout donc f est une densité de probabilité.

Définition :

Soit f une densité de probabilité sur I. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I, si pour

tout intervalle , la probabilitĠ de l'ĠǀĠnement "

» est égale à :

Remarques :

correspond à l'aire sous la courbe sur l'interǀalle J. - Les probabilités correspondent aux intégrales, et non aux valeurs prises par la fonction f. (on retrouǀe la probabilitĠ de l'ĠǀĠnement certain)

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 3 (comme pour toute probabilité) Union d'ĠǀĠnements incompatibles entre euǆ

Soient

des intervalles de I tels que les événements " ) soient incompatibles entre eux (c'est-à-dire disjoints). On a alors :

Probabilités conditionnelles :

Soient un intervalle

et un intervalle tel que . On a alors :

Propriétés :

- si alors - pour tout - si J est un intervalle de I ou une rĠunion d'interǀalles de I alors

Espérance :

L'espĠrance d'une ǀariable alĠatoire X à densité f sur est : L'espĠrance correspond ă la notion de moyenne.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 4

2. Lois uniformes

Définition :

) si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par - On a bien alors Ex : est une loi uniforme sur

Probabilité :

La probabilitĠ de l'ĠǀĠnement ͨ

» (avec

) est alors : Ex : sur

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 5

Espérance :

est : Ex : sur

3. Lois exponentielles

Définition :

réel strictement positif) si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par : - On a bien alors Ex : sur est une loi exponentielle.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 6

Probabilité :

La probabilitĠ de l'ĠǀĠnement ͨ

» (avec

) est :

La probabilité de l'ĠǀĠnement ͨ

» (avec

) est : Ex : sur

Espérance :

est : Ex : sur

Propriété :

Si une variable aléatoire X suit une loi exponentielle, et t et h réels positifs, alors :

Cette propriété est appelée de durée de vie sans vieillissement. En effet, si X est interprétée comme la durée

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 7

4. Lois normales

Définition :

égale à 1.

Propriétés :

- Soit X est une variable aléatoire quelconque. Soit Z la variable aléatoire telle que : Z est alors une variable aléatoire centrée réduite. centrée réduite.

- La loi de probabilitĠ d'une ǀariable alĠatoire centrée réduite est une fonction paire (Sa représentation

Loi normale centrée réduite :

La fonction f définie sur R par

est une densité de probabilité. On l'appelle loi normale centrée réduite et on la note . Pour a et tels que on a :

Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice).

les propriétés définies précédemment). Ex : (aire en rose sous la courbe)

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 8

Propriété :

- Soit Si une variable aléatoire Z suit une loi normale , alors il existe un unique réel tel que : - On peut en déduire : Soit . Si une variable aléatoire Z suit une loi normale , alors il existe un unique réel tel que :

La calculatrice permet de trouver ce réel a en entrant en paramètres l'espĠrance, l'écart-type et la probabilité

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 9

Loi binomiale :

Dans le cadre de probabilités discrètes, pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale

, on

Représentation graphique :

Ex : En abscisse : k correspondant au nombre de succès

En ordonnée :

correspondant ă la probabilitĠ d'obtenir k succğs

Si X suit la loi binomiale

alors est centrée réduite.

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 10

Théorème de Moivre-Laplace :

Soit p réel tel que

Soit une suite

de variables aléatoires telle que chaque variable aléatoire soit la loi binomiale . A chaque on associe telle que est centrée réduite).

Alors, pour tous réels a et

tels que , on a :

Ce théorème permet de passer du cas discret au cas continu, il permet de montrer que la loi normale est une

extension au cas continu de la loi binomiale.

Loi normale

Soient

réel et réel positif.La fonction f définie sur R par est une densité de probabilité. On l'appelle loi normale centrée réduite et on la note . Pour a et tels que on a :

Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice).

Son espérance est

est son écart-type est

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[Série - Matière - (Option)] [Titre de la fiche] 11

Exemples :

(en bleu) (en rouge) (en vert)

Propriétés :

- Si une variable aléatoire X suit une loi normale , alors la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite. - On a : près) près) près)quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Note liminaire

Programme selon les sections :

Prérequis

écart-type

Plan du cours

1. Lois à densité

2. Lois uniformes

3. Lois exponentielles

4. Lois normales

1. Lois à densité

Définition :

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Exemple :

Définition :

» est égale à :

Remarques :

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LOIS A DENSITÉ

LE COURS

Soient

Probabilités conditionnelles :

Soient un intervalle

Propriétés :

Espérance :

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2. Lois uniformes

Définition :

Probabilité :

La probabilitĠ de l'ĠǀĠnement ͨ

» (avec

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LE COURS

Espérance :

3. Lois exponentielles

Définition :

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LOIS A DENSITÉ

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Probabilité :

La probabilitĠ de l'ĠǀĠnement ͨ

» (avec

La probabilité de l'ĠǀĠnement ͨ

» (avec

Espérance :

Propriété :

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4. Lois normales

Définition :

égale à 1.

Propriétés :

Loi normale centrée réduite :

La fonction f définie sur R par

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Propriété :

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Loi binomiale :

Représentation graphique :

En ordonnée :

Si X suit la loi binomiale

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Théorème de Moivre-Laplace :

Soit p réel tel que

Soit une suite