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2) a) À l'aide d'intégrales, exprimer, en unités d'aires, les aires A1 et A2 b) On note F une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1] Démontrer que si le réel

avec I 1=∫ 0 1 f (x)dx 1/10 Primitives et intégrales - Exercices Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2019/2020 h ttp://physique-et-maths fr

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Exercice 2Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2016

MATHÉMATIQUES

SÉRIE S

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité D Ce sujet comporte 8 pages numérotées de la page 1/8 à la page 8/8. L"usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circu laire n°

99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et �la précision des raisonnements entreront

pour une part importante dans l'appréciation des copies. BACCALAURÉAT GÉNÉRAL - Série SSESSION 2016

ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES

SUJET C

Page 1/8

Durée : 4 heures

EXERCICE 2 (6 points )(commun à tous les candidats)Soitfune fonctiondéfinie surl'intervalle[0 ; 1],

continue et positive sur cet intervalle, etaune réel tel que0< a <1.

On note :

un repère orthogonal; -A1l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbeCd'une part, les droites d'équationsx= 0etx=ad'autre part. -A2l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbeCd'une part, les droites d'équationsx=aetx= 1d'autre part. 1 A1A2 aC x

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctionsf, une valeur du réelavérifiant la

condition(E): " les airesA1etA2sont égales». On admet l'existence d'un tel réelapour chacune des fonctions considérées.

Partie A - Étude de quelques exemples

1)Vérifier que dans les cas suivants, la condition(E)est remplie pour un unique réelaet déterminer

sa valeur. a)fest une fonction constante strictement positive. b)fest définie sur[0 ; 1]parf(x) =x.

2) a)À l'aide d'intégrales, exprimer, en unités d'aires, les airesA1etA2.

b)On noteFune primitive de la fonctionfsur l'intervalle[0 ; 1]. Démontrer que si le réelasatisfait la condition(E), alorsF(a) =F(0) +F(1) 2.

La réciproque est-elle vraie?

3)Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a)La fonctionfest définie pour tout réelxde[0 ; 1]parf(x) =ex. Vérifier que la condition(E)est remplie pour un unique réelaet donner sa valeur. b)La fonctionfdéfinie pour tout réelxde[0 ; 1]parf(x) =1 (x+ 2)2.

Vérifier que la valeura=2

5convient.

Partie B - Utilisation d'une suite pour déterminer une valeur approchée dea

Dans cette partie, on considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxde[0 ; 1]parf(x) = 4-3x2.

1)Démontrer que siaest un réel satisfaisant la condition(E), alorsaest solution de l'équation :

x=x3 4+38.

Dans la suite de l'exercice, on admettra que cette équation aune unique solution dans l'intervalle

[0 ; 1]. On noteacette solution.

Page 3 / 8

2)On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxde[0 ; 1]parg(x) =x34+38et la suite(un)

définie par :u0= 0et, pour tout entier natureln,un+1=g(un). a)Calculeru1. b)Démontrer que la fonctiongest croissante sur l'intervalle[0 ; 1]. c)Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a0?un?un+1?1. d)Prouver que la suite(un)est convergente. À l'aide des opérations sur les limites, prouver que la limite esta. e)On admet que le réelavérifie l'inégalité0< a-u10<10-9. Calculeru10à10-8près.

Page 4 / 8

alainpiller. fr 1

EXERCICE 2

%GPVTGUVTCPIGTU?

Partie A: Étude de quelques exemples

1. a. Déterminons la valeur de " a " si est une fonction constante

strictement positive:

écrire, pour tout d<>ar

BWFD, Ici, il s'agit de déterminer " a " tel que: I 1 = I 2 , avec: I 1 = ( ¥ ) d¥ et: I 2 = ( ¥ ) d¥.

FTUDPOUJOVFTVS<>

EPODTVSFU&MMFBENFUEPODEFT

QSJNJUJWFTTVSFUFUQBSDPOTRVFOUI
1 et I 2 existent.
Dans ces conditions: I
1 = I 2 <=> ,Er ,Er <,r> 0 <,r> a
B,,kB,
=> a = 1 2 Au total, si est une fonction constante strictement positive: 1 2 ssi a = 1 2
1. b. Déterminons la valeur de " a " si, sur ?b
rr Ici, il s'agit de déterminer " a " tel que: I 1 = I 2 a 0 1 a a 0 1 a a1 2 alainpiller. fr
GPODUJPOar
rFTUDPOUJOVFTVS<>
EPODTVSFU&MMFBENFU
1 et I 2 existent.
Dans ces conditions: I
1 = I 2 <=> ¥ d¥ = ¥ d¥ 2 2 2 2 a 2 2 1 2 a 2 2 <=> a 2 1 2 => a = 2 2 car: a <> 1 2 ssi a = 2 2
2. a. En unités d"aires, exprimons !
1 et ! 2
Comme vu précédemment:
1 = ( ¥ ) d¥ 2 = ( ¥ ) d¥.
2. b. b1. Démontrons que si " a " satisfait ( E ), alors F ( a ) =

F ( 0 ) + F (1 )
2
Si " a " satisfait la condition ( E ) alors:
1 2 <=> ( ¥ ) d¥ = ( ¥ ) d¥. 0 <'r a <=> F ( a ) - F ( 0 ) = F (1 ) - F ( a ) <=> 2 F ( a ) = F (1 ) + F ( 0 ) <=> F ( a ) =
F (1 ) + F ( 0 )
2 a 0 1 a a 0 1 a a 0 1 a a 0 1 a a1 alainpiller. fr 3 Au total, si " a " satisfait la condition ( E ) alors nous avons bien:
F ( a ) =

F (1 ) + F ( 0 )
2
2. b. b2. La réciproque est-elle vraie ?
Oui la réciproque est vraie car dans la question précédente, tout a été démontré à l"aide d"équivalences.
3. a. Déterminons le réel " a " tel que la condition ( E ) soit remplie avec ( ¥ ) = e

Si " a " satisfait la condition ( E ) alors:
1 2
( ¥ ) d¥ = ( ¥ ) d¥.
e d¥ = e d¥ 0 e a - 1 = e - e a <=> 2 e a = e + 1 <=> e a e + 1 2 => a = ln e + 1 2 avec: e + 1 2 > 0.
Au total, quand ( ¥ ) = e
, la condition ( E ) est remplie avec: a = ln e + 1 2 a étant unique.
3. b. Vérifions que a =
2 5 quand ( ¥ ) = 1 ( ¥ + 2 ) 2
Si " a " satisfait la condition ( E ) alors:
1 2
( ¥ ) d¥ = ( ¥ ) d¥
a 0 1 a a 0 1 a a1 a 0 1 a 4 alainpiller. fr <=> 1
¥ + 2 )
2 d¥ = 1
¥ + 2 )
2 d¥ - 1
¥ + 2
- 1
¥ + 2
1 a + 2 +1 2= - 1 3 +1 a + 2 <=> 2 a + 2= 5 6
5 a + 10 = 12
=> a = 2 5
Au total, nous avons bien:
a = 2 5 a 01 a a 0 1 a 1 alainpiller. fr 1. Démontrons que si a est un réel satisfaisant ( E ), alors a est solution de l"équation
D'après l'énoncé:

¨ et vérifie la condition ( E ),
( E ): " les aires A 1 et A 2 sont égales ", a est tel que: F (a) = F (0) + F (1 )
2 (F = primitive de f ),
pour tout réel x f (x) = 4 - 3x 2 f admet comme primitive la fonction F, avec: pour tout x F (x) = 4x - x 3
Dans ces conditions: F (0) = 0 et F(1
) = 4 - 1 => F(1 ) = 3 .
D'où:
F (0) + F (1 2 3 2
Or a est tel que: F (a) =
F (0) + F (1 2 => F (a) = 3 2 F (a) = 3 2 <=> 4a - a 3 3
2 ( car F(x) = 4x - x
3 <=> a = a 3 4 3 8 x = x 3 + 3 : 4 8
EXERCICE 2

Partie B:

Utilisation d"une suite pour déterminer
une valeur approchée de " a " [ Centres Étrangers 2016 ] 2 alainpiller. fr Ainsi, nous pouvons affirmer que si a est un réel satisfaisant la con�dition ( E ), alors a est solution de l'équation: x = x 3 4 3 8 2. a.
Calculons U
1
D'après l'énoncé:
pour tout xg (x) = x 3 4 3 8 U 0 = 0 et U n 1 = g (U n
Ainsi:
Uquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Exercice 2Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2016

MATHÉMATIQUES

SÉRIE S

99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES

Page 1/8

Durée : 4 heures

On note :

Partie A - Étude de quelques exemples

1)Vérifier que dans les cas suivants, la condition(E)est remplie pour un unique réelaet déterminer

2) a)À l'aide d'intégrales, exprimer, en unités d'aires, les airesA1etA2.

La réciproque est-elle vraie?

3)Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

Vérifier que la valeura=2

5convient.

1)Démontrer que siaest un réel satisfaisant la condition(E), alorsaest solution de l'équation :

Page 3 / 8

2)On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxde[0 ; 1]parg(x) =x34+38et la suite(un)

Page 4 / 8

EXERCICE 2

Partie A: Étude de quelques exemples

1. a. Déterminons la valeur de " a " si  est une fonction constante

écrire, pour tout d<>ar

FTUDPOUJOVFTVS<>

EPODTVSFU&MMFBENFUEPODEFT

QSJNJUJWFTTVSFUFUQBSDPOTRVFOUI

Dans ces conditions: I

B,,kB,

1. b. Déterminons la valeur de " a " si, sur ?b

GPODUJPOar

EPODTVSFU&MMFBENFU

Dans ces conditions: I

2. a. En unités d"aires, exprimons !

Comme vu précédemment:

2. b. b1. Démontrons que si " a " satisfait ( E ), alors F ( a ) =

F ( 0 ) + F (1 )

Si " a " satisfait la condition ( E ) alors:

F (1 ) + F ( 0 )

F ( a ) =

F (1 ) + F ( 0 )

2. b. b2. La réciproque est-elle vraie ?

3. a. Déterminons le réel " a " tel que la condition ( E ) soit remplie avec  ( ¥ ) = e

Si " a " satisfait la condition ( E ) alors:

 ( ¥ ) d¥ =  ( ¥ ) d¥.

Au total, quand  ( ¥ ) = e

3. b. Vérifions que a =

Si " a " satisfait la condition ( E ) alors:

 ( ¥ ) d¥ =  ( ¥ ) d¥

¥ + 2 )

¥ + 2 )

¥ + 2

¥ + 2

5 a + 10 = 12

Au total, nous avons bien:

D'après l'énoncé:

¨ et vérifie la condition ( E ),

2 (F = primitive de f ),

Dans ces conditions: F (0) = 0 et F(1

D'où:

Or a est tel que: F (a) =

2 ( car F(x) = 4x - x

EXERCICE 2

Partie B:

Utilisation d"une suite pour déterminer

Calculons U

D'après l'énoncé:

Ainsi:

1. a. Déterminons la valeur de " a " si est une fonction constante

QSJNJUJWFTTVSFUFUQBSDPOTRVFOUI

3. a. Déterminons le réel " a " tel que la condition ( E ) soit remplie avec ( ¥ ) = e

( ¥ ) d¥ = ( ¥ ) d¥.

Au total, quand ( ¥ ) = e

( ¥ ) d¥ = ( ¥ ) d¥