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PanaMaths [1-8] Mars 2009

Synthèse de cours (Terminale S)

Calcul intégral

Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle [a;b] Dans cette première partie, on considère une fonction f continue positive sur un intervalle @;ab ( ab) et on note f C sa courbe dans le plan rapporté à un repère orthogonal

O; ,ij

Notion de domaine sous la courbe

Définition

On appelle " domaine situé sous la courbe

f

C » l'ensemble des points M;x

y du plan vérifiant :

0axbyfx

Sur la figure ci-dessous, le domaine situé sous la courbe f

C correspond à la surface grisée et

est noté D. xaxb D x f C

PanaMaths [2-8] Mars 2009

Propriété

Le domaine situé sous la courbe admet une aire.

Intégrale d'une fonction continue positive

L'aire du domaine situé sous la courbe

f C est appelée " intégrale de la fonction f de a à b » et est notée : b a fxdx

Les réels a et b sont appelés " les bornes » de l'intégrale ; a est la borne inférieure et b la

borne supérieure.

Elle est exprimée en " unité d'aire », l'unité d'aire étant définie comme l'aire du rectangle

construit à partir du repère orthogonal considéré (cf. figure ci-dessous).

Remarque : dans l'écriture

b a fxdx , la variable x est dite " muette ». On peut la remplacer par un autre nom sans que la signification ni la valeur de l'intégrale changent : bbb b aaa a f x dx f r dr f d f t dt xa xb D x f C

Unité d'aire

i j O

PanaMaths [3-8] Mars 2009

Soulignons le cas particulier : lorsque ab, le domaine sous la courbe se réduit à un segment et son aire est nulle : 0 a a fxdx

Valeur moyenne

Définition

On suppose ici ab.

On appelle " valeur moyenne de f sur l'intervalle

;ab » le réel : 1 b a fxdxba

Interprétation géométrique

Les réels

et ba sont les dimensions d'un rectangle (en gris sur la figure ci-dessous) dont l'aire est égale à l'aire du domaine sous la courbe f C ( b a mba fxdx

En d'autres termes, le réel

est la valeur prise par une fonction constante dont l'intégrale sur l'intervalle ,ab est égale à celle de f sur ce même intervalle. fa b a fb 1 b a fxdxba

PanaMaths [4-8] Mars 2009

Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle [a;b] Dans cette seconde partie, on conserve les hypothèses faites sur la fonction f sauf la positivité : f ne prend plus nécessairement des valeurs positives sur l'intervalle ;ab. Intégrale d'une fonction continue négative sur un intervalle [a;b]

Définition

Le domaine D considéré (voir la figure ci-dessous) est cette fois l'ensemble des points

M;xy du plan vérifiant :

0axb fx y ddquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25