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Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 7/46 ¥ distribution linique: On dfinit la densit linique de charges % par : % = limλlρ0 λQλl = dQdl en Cϕm-1 Nous verrons ultrieurement lÕimportance des symtries que peuvent prsenter les distrib utions de charges dans la dtermination des champs lectriques crs par celles-ci. + + + + + + + + +
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 9/46 Cas de deux charges ponctuelles qA et qB La loi de Coulomb (lectrostatique) indique que la force exerce par A sur B sÕexprime sous forme vectorielle par : FρAB = K qAϕqB|rρB Ð rρA|2 rρB Ð rρA|rρB Ð rρA| = K qAϕqB ABρAB3 ou encore : FρAB = K qA.qBdAB2 uρAB avec uρAB = rρB Ð rρA|rρB Ð rρA| = ABρAB vecteur unitaire ¥ Force exerce par B sur A : FρBA = K qAϕqB|rρA Ð rρB|2 ϕ rρA Ð rρB|rρA Ð rρB| ou encore : FρBA = K qA.qBdAB2 uρBA B qB A qA O rρB rρA rρB Ð rρA
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 13/46 La prsence dÕune charge lectrique modifie donc les proprits locales de lÕespace en faisant appara"tre un champ lectrostatique affectant chaque point de lÕespace. Eρ(M) est un champ vectoriel dfini en (presque) tous les points de lÕespace : ¥ en coordonnes cartsiennes : Eρ(x,y,z) = Ex(x,y,z) eρx + Ey(x,y,z) eρy + Ez(x,y,z) eρz exemple : champ constant selon Oy : Eρ(M) = E0 eρy ¥ en coordonnes sphriques : Eρ(r,-,.) = Er(r,-,.) eρr + E-(r,-,.) eρ- + E.(r,-,.) eρ. exemple : champ cr par un e charge ponctuelle Q (>0) : www.edu.upmc.fr/uel/physique/elecstat/apprendre/champ/champvect.htm Eρ O x y z eρ- eρ. ϕM rM eρr θM Q Eρ(M) = Er(r,-,.) eρr = Q4&'0 r2 eρr M ¥
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 16/46 1.5.4 Lignes de champ Les lignes de champ permettent de visual iser lÕallure du champ lectrique. Par construction : - elles sont tangentes au vecteur Eρ(rρ) - elles sont orientes dans le sens de Eρ(rρ) - elles ne se croisent jamais. Exemples : ¥ Charges ponctuelles ¥ www.edu.upmc.fr/uel/physique/elecstat/observer/champ/lc.htm Diple : + Ð
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 17/46 2 charges opposes et diffrentes en valeur absolue Ensemble de deux charges positives : ¥ EA < EB ¥ EC = 0 (plan mdian) Deux plans chargs : Le champ est uniforme entre les deux plaques. Ð Ð Ð Ð Ð Ð - Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð - Ð Ð Ð Ð Ð + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 24/46 Exemples : ¥ 2 charges identiques : ¥ pas de symtrie de translation ¥ symtrie miroir par tout plan passant par la droite (AB) ¥ symtrie miroir par le plan mdiateur au segment [AB] ¥ symtrie de rotation autour de (AB) Allure du champ Eρ : ¥ le long de (AB) Eρ est contenu dans t out plan de symtrie et en particuli er lÕintersection des diffrents plans de symtrie Eρ(0,0,z) = E(z) eρz. ¥ dans le plan mdiateur [AB] Eρ est contenu dans ce plan Eρ ne dpend pas de ., Eρ(r,θ,0) = E(r) eρr. A B Eρ Eρ
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 25/46 ¥ diple : ¥ pas de symtrie de translation ¥ symtrie miroir par tout plan passant par la droite (AB) ¥ antisymtrie par le plan mdiateur au segment [AB] ¥ symtrie de rotation autour de (AB) Allure du champ Eρ : ¥ le long de (AB) Eρ est contenu dans t out plan de symtrie et en particuli er lÕintersection des diffrents plans de symtrie Eρ(0,0,z) = E(z) eρz. ¥ dans le plan mdiateur [AB] Eρ est perpendiculaire ce plan Eρ ne dpend pas de ., Eρ(r,θ,0) = E(r) eρz. A B Eρ Eρ
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 26/46 ¥ fil infini charg : ¥ symtrie de translation le long du fil ¥ symtrie miroir par tout plan passant par le fil ¥ symtrie miroir par tout plan perpendiculaire au fil ¥ symtrie de rotation autour de lÕaxe passant par le fil ϕ symtrie axiale Allure du champ Eρ : ¥ Eρ est contenu dans t out plan de symtrie et en particuli er lÕintersection des diffrents plans de symtrie ¥ Eρ(r,θ,z) ne dpend que de r Vue de dessus : Eρ Eρ
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 28/46 Il en est de mme pour toutes les distributions prsentant des singularits : Le fil infini charg : On peut montrer que lÕexpression du champ E ρ prsente une divergence en ρ = 0 : E ρ = λ2&'0ρ eρθ Le champ nÕest pas dfini sur le fil en ρ = 0. Le disque charg ou le plan charg (cf TDρ1 exercice 3) : On peut montrer que lÕexpression du champ E ρ cr par le disque prsente une divergence en z = 0 : Le champ nÕest pas dfini sur le disque (le plan) en z = 0. E z
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 30/46 avec Eρ(r) = q14%'0 r2 rρr dÕo : WFext = 3221rA rB Ð q1 q24%'0 dr r2 WFext =3221rA rB Ð q1 q24%'0 dr r2 = q1 q24%'0 899:;<<= 1r rBrA = q1 q24%'0 rB Ð q1 q24%'0 rA ¥ Le travail ainsi fourni par la force est converti en nergie potentielle acquise par la charge q2 : WFext = λEp = Ep(B) Ð Ep(A) = Ð WFelectro Vrifier pour les diffrents cas de figure On dfinit lÕnergie potentielle de la charge q2 en prsence de la charge q1 situe la distance r par : Ep(r) = q1 q24%'0 r + Cte = q2 q14%'0 r + Cte Par convention, on prend gnralement Ep(>) = 0 Remarque Quel lien existe-t-il entre lÕnergie potentielle lectrostatique et la force lectrostatique ?
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 31/46 On peut remarquer que : F(r) = q1 q24%'0 r2 = Ð d Epdr Cette quation peu t en fait sÕexprimer sous une f orme vectorielle plus gnrale : Fρ = q1 q24%'0 r2 eρr = Ð grad Ep0000ρ = Ð ?Ep00ρ o lÕexpression du gradient en coordonnes sphriques est : ?Ep00ρ = &Ep&r eρr + 1r sin. &Ep&- eρ- + 1r &Ep&. eρ. = &Ep&r eρr On dit que la force lectrostatique dr ive de lÕnergie potentielle lectrostatique. ρ analogie avec le champ gravitationnel ϕ Consquences : La force lectrostatique est conservative : - le travail de cette force ne dpend pas du chemin suivi mais dpend par contre du sens de parcours, - le travail de cette force est nul sur un contour ferm. WF = 3221(C) Fρ dϕρ = 3221(C) qϕEρ dϕρ = 0 X X A (C)
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 33/46 WACB = q1 q24%'0 rA Ð q1 q24%'0 rC Calculons le travail de la force lectrostatique pour quand q2 effectue le trajet A ρ D ρ B : WADB = 3221A D Fρϕdϕρ + 3221D B Fρϕdϕρ = 0 + 3221rD rB q1 q24%'0 dr r2 WADB = q1 q24%'0 rD Ð q1 q24%'0 rB = WACB car rA = rD et rC = rB Cours LP203 Ð 2011-2012 Ð Chapitre 1 29/43 WACB = q1 q24ϕϕ0 rA Ð q1 q24ϕϕ0 rC Calculons le travail de la force lectrostatique pour quand q2 effectue le trajet A θ D θ B : WADB = ρλλ%A D Fθádϕθ + ρλλ%D B Fθádϕθ = 0 + ρλλ%rD rB q1 q24ϕϕ0 dr r2 WADB = q1 q24ϕϕ0 rD Ð q1 q24ϕϕ0 rB = WACB car rA = rD et rC = rB A D C B
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 40/46 Vue perpendiculaire (eρx, eρy) Une variation dV du potentiel quand on passe de M ρ MÕ sÕcrit : dV(M) = V(MÕ) Ð V(M) = &V&x ϕ dx + &V&y ϕ dy ou, sous forme vectorielle : dV = ?V00ρϕ dOM 00ρ avec : ¥ ?V00ρ = &V&x eρx + &V&y eρy : gradient de V ¥ dOM 00ρ = dx eρx + dy eρy = MM' 00ρ : dplacement infinitsimal MÕ ¥ ¥ M dx eρy dx eρx
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 41/46 Les courbes reprsentent des lignes quipotentielles pour lesquelles le potentiel est constant. ¥ Quand on se dplace le long de ces lignes quipotentielles (c.a.d. que dOM 00ρ est tangen t la courbe), le p otentiel V reste constant, on peut donc crire : dV = 0 ¥ Dans ce cas : ?V00ρϕ dOM 00ρ = 0 ¥ Ce qui implique que ?V00ρ@ dOM 00ρ en tout point dÕune ligne quipotentielle. ¥ Comme Eρ = Ð grad V0000ρ = Ð ?V 0ρ, le ch amp lectri que est perpendiculaire aux lignes quipotentielles en tout point de celles-ci. dOM 00ρ ?V00ρ Eρ
Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 46/46 Pour une distribution surfacique : Ep = 12 112233S λ(M) V(M) ds Pour une distribution surfacique : Ep = 12 123 L%(M) V(M) dϕ Les intgrales tant calcules sur tout le volume / surface / longueur de la distribution de charges.
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