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ou C La suite de fonctions (fn) n∈N converge simplement vers la fonction f sur D si et seulement si pour chaque 

[PDF] Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions

Nous considèrerons ensuite les séries dans leur généralité, puis les suites et séries de fonction, pour ensuite passer aux séries entières, aux fonctions 

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Définition de la convergence simple Soit (fn) une suite de fonctions numériques définies sur E : 1) On dit que la suite (fn) converge en un point x ' E lorsque la 

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Souvent, on dira que la suite des fonctions converge sur A, pour dire qu'elle converge simplement sur A Définition 3 1 2 (Convergence uniforme) Soient E un  

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Suites et séries de fonctions 7 octobre 2019 Dans ces notes on s'intéresse aux problèmes de convergence de suites ou de séries de fonc- tions, et aux 

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Convergence simple des suites de fonctions Définition 1 1 Soit a P N, et soit pfnqněa une suite de fonctions `a valeurs (réelles ou) complexes définies sur un  

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, la suite de fonctions converge simplement vers la fonction identiquement nulle Page 2 Analyse 3/A-U:2014-2015/F Sehouli Page 2

[PDF] M41 Suites et séries de fonctions - Université de Lille

On considère, pour n ∈ N∗, l'application fn : R → R, x ↦→ sin(nx) n La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement sur R vers f, où f est la fonction 

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E est un evn I Convergence simple A) Définition • Suite de fonctions : On dit que la suite 

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Théor`eme 1 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur un intervalle I qui converge uniformément sur I vers une fonction f : I → C Alors la fonction f est 

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UE7 - MA5 : Analyse

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

I. Suites de fonctions à valeurs dans ÈÈÈÈ ou  Etant donné un ensemble E, une suite de fonctions numériques définies sur est la donnée, pour tout entier n ' , d'une application de E dans È ou  notée fn . Pour x fixé dans E, (f n (x)) est une suite de nombres réels ou complexes.

Exemples

f n (x) = x n , 1 + x n , ((( ))) 1 + x n

Définition

de la convergence simple

Soit (f

n ) une suite de fonctions numériques définies sur E :

1) On dit que la suite (f

n ) converge en un point lorsque la suite numérique (f n (x)) converge.

2) Si A est un sous-ensemble de E, on dit que la suite (f

n ) converge simplement sur si, pour tout x ' A , la suite (f n (x)) converge. Si (f n ) converge simplement sur A " E on note, pour tout x ' A , f(x) la limite de la suite (f n (x)) et on définit ainsi sur A une fonction f : x @ f(x) appelée limite simple dela suite (f n ) sur A vérifiant : (1) ⬧x ' A , ⬧™ > 0 , ¡n 0 ' , ⬧n n 0 , ...f n (x) - f(x)... ™ Cette limite simple sur A est bien sûr unique (si elle existe) puisque pour chaque x ' A , la limite de (fn (x)) est unique.

Exemples

1)f n (x) = 1 + x n converge simplement sur È vers f constante égale à 1.

2) f

n (x) = x n converge simplement sur ]-1 , 1] vers f définie par f(x) = 0 si x ' ]-1 , 1[ et f(1) = 1. Elle ne converge pas pour les x " ]-1 , 1]. 3)fn (x) = ((( ))) 1 + x n converge simplement sur È vers f définie par f(x) = e x

4)f(x) =

x converge simplement sur È vers la fonction nulle

Définition de la convergence uniforme

Soit (f

n ) une suite de fonctions numériques sur E . Soit A un sous-ensemble de E .

On dit que la suite (f

n ) converge uniformément sur A s'il existe une fonction f de A dans

È (ou Â) telle que :

(2)⬧™ > 0 , ¡n 0 ' , ⬧n n 0 , ⬧x ' A , ...f n (x) - f(x)... ™ ou, ce qui est équivalent : (2')lim n @ & (()) Sup x ' A ...f n (x) - f(x)... = 0

Remarque

La différence entre convergence simple et convergence uniforme sur A, c'est-à-dire entre (1) et (2), est que dans (1) le n 0 dépend de ™ et de x alors que pour que (2) soit vérifié, il faut un n 0 dépendant de ™ mais commun à tous les x ' A .

Proposition

Si (f n ) converge uniformément vers f sur A, (f n ) converge simplement vers f sur A . La définition (2') fournit une méthode pour prouver une convergence uniforme sur A (resp. une convergence non uniforme sur A) : a) Etude de la convergence simple pour trouver f . b) Calcul de a n = Sup x ' A ...f n (x) - f(x)... . c) Démonstration que la suite (a n ) converge vers 0 (resp. ne converge pas vers 0). Il sera parfois plus rapide de majorer (resp. minorer) a n par une suite a" n qui tend vers 0 (resp. qui ne tend pas vers 0).

Exemples

1) La suite f

n (x) = x n converge uniformément vers la fonction nulle sur [a,b] " ]-1 ,

1[ mais ne converge uniformément ni sur [0 , 1] ni même sur [0 , 1[ car :

Sup x ' [0 , 1[ ...x n... = 1 pour tout n

2) La suite f(x) =

converge uniformément vers la fonction nulle sur È car f n est impaire, de dérivée du signe de 1 - n 2 x 2 et Sup x ' È ...f n (x)... = 1 2n.

3) La suite f

n (x) = 1 + x nconverge uniformément sur [-a , a], a quelconque positif, mais pas sur È . On sait qu'une suite de nombres réels ou complexe converge si et seulement si c'est une suite de Cauchy, ce qui conduit au résultat :

Théorème

Soit (f

n ) une suite de fonctions numériques sur E. Soit A un sous-ensemble de E.

Pour que (f

n ) converge uniformément sur A il faut et il suffit qu'elle soit uniformément de Cauchy sur , c'est-à-dire que : (3)⬧™ > 0 , ¡n 0 ' ⬧n n 0 , ⬧p n 0 , ⬧x ' A , ...f n (x) - f p (x)... ™

Remarque sur les notations

Dans la définition précédente, on peut toujours supposer que p n et écrire p = n + q avec q 0 de sorte que (3) s'écrit encore : ⬧™ > 0 , ¡n 0 ' ⬧n n 0 , ⬧q 0 , ⬧x ' A , ...f n (x) - f n+q (x)... ™ II. Continuité, intégration, dérivation de la limite d'une suite de fonctions

L'exemple de f

n (x) = x n sur [0 , 1] montre que la convergence simple ne suffit pas à assurer la continuité de la limite. Par contre :

Théorème

de continuité Soient I un intervalle de È non réduit à un point et (f n ) une suite de fonctions de I dans

È (ou Â). Soit a ' I . On suppose que :

a) Pour tout n ' , f n est continue en a (resp. sur I) . b)(f n ) converge uniformément vers f sur I .

Alors f est continue en a (resp. sur I) .

Remarque

Ce théorème peut permettre de prouver qu'une convergence sur I n'est pas uniforme en Théorème d'interversion de limite et d'intégration Soient [a , b] un intervalle fermé de È et (f n ) une suite d'applications continues de [a ,quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29