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On peut définir par récurrence les dérivées successives d'une fraction rationnelle et l'on retrouve la formule de Leibniz Page 7 Polynômes et fractions

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Université d"Orléans

Année 2009-2010Polynômes et fractions rationnelles2MA01-Licence de

Mathématiques

PolynômesExercice 1Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne deAparBdans les cas suivants :

1.A=X24X+ 3etB=X3+X22.

2.A=X5+ 1etB=X+ 1.

3.A= 3X72X5+X34etB= 2X2X+ 3.Exercice 2SoitP2C[X]eta;b2Cdistincts. On pose=P(a)et=P(b).

1. Calculer en fonction dea;b;etle reste de la division euclidienne dePpar(Xa)(Xb).

2. Déterminer le reste de la division euclidienne deXnparX2+X2.

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de(cos() +Xsin())nparX2+ 1.

4. Trouver le reste de la division euclidienne deXnpar(X1)2(on pourra penser à dériver et évaluer en1).Exercice 3Pour quels entiersn2Nle polynôme(1 +X4)nXnest-il divisible parX2+X+ 1?Exercice 4Trouver;2Ctels queX2+X+ 1diviseX5+X3+X2+ 1.Exercice 5Trouver le pgcd dePetQdans les cas suivants :

1.P=X4+X33X24X1etQ=X3+X2X1.

2.P=X410X2+ 1etQ=X44X3+ 6X24X+ 1.Exercice 6Calculer le pgcd deA=X4+X32X+ 1etB=X2+X+ 1dansR[X]et trouver(U;V)2R[X]2tels que

AU+BV=D.Exercice 7SoientA;B2R[X]premiers entre eux et(U0;V0)2R[X]2tel queAU0+BV0= 1.

1. Soit(U;V)2R[X]2tel queAU+BV= 1. Montrer qu"il existeQ2R[X]tel queU=U0+QBetV=V0QA.

2. Etablir la réciproque.

3. SoientA=X4+X32X+1etB=X2+X+1. Déterminer tous les couples(U;V)2R[X]2tels queAU+BV= 1.Exercice 8Soientm;n2N.

1. Soientq;r2Nle quotient et le reste de la division euclidienne denparm(i.e.n=mq+ravec06r < m). Effectuer

la division euclidienne du polynômeXn1parXm1.

2. En déduire le pgcd deXn1et deXm1en utilisant l"algorithme de Bezout.Exercice 9Effectuer la division puissance croissante du polynômeApar le polynômeBà l"ordrenprescrit dans les cas

suivants :

1.A=X2006,B= 13666X,n= 2005.

2.A=X32X2+ 4,B=X2+ 1etn= 3.

3.A= 4X32X+ 3,B=X4X+ 1etn= 5.Exercice 10Soient(A;B)2R[X]2. Montrer queAetBsont premiers entre eux dansR[X]si et seulement siAetB

n"ont aucune racine commune dansC. Exercice 11SoitP=anXn++a0oùai2Zpour touti2 f1;:::;ng. On suppose qu"il existe2Qtel queP() = 0.

Soitp;q2Zpremiers entre eux tels que=pq

. Montrer queqdiviseanetpdivisea0.Exercice 12Décomposer les polynômes suivants en produits de polynômes irréductibles dansR[X].

1.X4+X2+ 4.

2.X8+X4+ 1.

3.X46X3+ 7X2+ 6X8.

4.X2n+1+ 1oùn2N.Exercice 13Polynômes interpolateurs de Lagrange.

Soitm>2et soientx1;x2;:::;xmmpoints distincts deC. Pour toutj2 f1;:::;mg, on pose L j=m Q k=1;k6=j(Xxk)m Q k=1;k6=j(xjxk):

1. Soient(j;p)2 f1;:::;mg2. CalculerLj(xp).

2. Soitfune fonction deCdans lui-même. PosonsL=Pm

j=1f(xj)Lj. Que peut-on dire sur le degré deL? Montrer que pour toutj2 f1;:::;mg, on aL(xj) =f(xj). (Le polynômeLs"appelle le polynôme interpolateur de Lagrange defaux pointsx1;x2;:::;xm.)

3. SoitP2C[X]. On notenle degré dePet on supposen>1. Pour toutj2 f1;:::;n+ 1gon posexj=ei2jn+1. Soit

Lle polynôme interpolateur dePaux pointsx1;:::;xn+1. (a) Montrer queP=L. (b) Que représentent lesxj? Prouver quenQ j=1(Xxj) =Pn j=0Xjet en déduire la valeur denQ j=1(1xj). (c) Montrer que

8z2C;jP(z)j6maxjaj=1jP(a)j(jzj+ 1)n:Exercice 14Polynômes de Tchebychev.

On considère la suite de polynômes réels(Tn)n>0en l"indéterminéeX, définie par la relation de récurrence :

T n+2= 2X:Tn+1TnetT0= 1; T1=X: Les polynômesTnsont appelés polynômes de Tchebychev de première espèce.

1. CalculerT2,T3etT4.

2. Montrer que pour toutn>0,Tnest de degré égal àn. Déterminer en fonction den, le coefficient dominant deTnet

la valeur deTn(0).

3. Montrer que pour toutn>0et pour toutx2R,

T n(cos(x)) = cos(nx):(1)

4. En utilisant (??), montrer que pourn>1,Tnanracines distinctes dans[1;1]et les déterminer explicitement.

5. Dériver deux fois (??) et en déduire que(1X2)T00nXT0n+n2Tn= 0.

Fractions rationnellesExercice 15Décomposer en éléments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

1(x) =x4x

2+ 3x+ 2; F2(x) =x2+ 3x+ 5x

2+x2; F3(x) =x2(x1)(x2)(x3):Exercice 16Décomposer en éléments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

1(x) =1x+x3; F2(x) =1x

3+ 6x2+ 11x+ 6; F3(x) =xx

34x2+ 5x2; F4=x(x1)3(x2):Exercice 17Décomposer en éléments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

1(x) =x6+ 2x

52x3+x; F2(x) =3x4x3+ 5x2x+ 2x

2+ 1; F3(x) =x3(x2+ 1)(x2+x+ 1):Exercice 18En effectuant des divisions euclidiennes successives, déterminer la décomposition en éléments simples surR

F(x) =x5+x4x2(x2+x+ 1)3:Exercice 19Décomposer en éléments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

1(x) =x2x

4+ 1; F2(x) =1x

6+ 1:Exercice 20Décomposer en éléments simples surCpuis surRla fraction rationnelle :

F(x) =1x

31:Exercice 21SoitF=PQ

une fraction rationnelle. On suppose quea2Cest un pôle simple deF, c"est à direP(a)6= 0et

aest racine simple deQ. La décomposition en éléments simples deFs"écrit :F=xa+:::. Montrer que=P(a)Q

0(a), oùQ0

désigne le polynôme dérivé deQ.Exercice 22Pourn>1, on considère la fraction rationnelleFn(x) =1x

n1.

1. DécomposerFnen élements simples surC.

2. En déduire la décomposition en éléments simples deFnsurR. On distinguera les casnpair etnimpair.Exercice 23Pour2Ron poseF(x) =x2x

42cos(2)x2+1. DécomposerFen éléments simples surR. On étudiera

séparément les cas22

Zet =22

Z.Exercice 24SoitP=nX

k=0a kXkun polynôme deR[X]de degrén2N,n2, et admettantnracines réelles distinctes :

1< 2< ::: < n1< n.

1. Donner la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelleF(X) =P0(X)P(X). On se servira du résultat de

l"exercice 21.

2. En dérivantF, montrer que8x2R:P02(x)P(x)P00(x)>0.

3. Soitk2 f0;1;:::;ng. En utilisant le théorème de Rolle, montrer queP(k)admetnkracines réelles distinctes.

4. En déduire que8k2 f1;:::;n1g:ak1ak+1< a2k:

quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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Université d"Orléans

Mathématiques

1.A=X24X+ 3etB=X3+X22.

2.A=X5+ 1etB=X+ 1.

3.A= 3X72X5+X34etB= 2X2X+ 3.Exercice 2SoitP2C[X]eta;b2Cdistincts. On pose=P(a)et=P(b).

1. Calculer en fonction dea;b;etle reste de la division euclidienne dePpar(Xa)(Xb).

2. Déterminer le reste de la division euclidienne deXnparX2+X2.

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de(cos() +Xsin())nparX2+ 1.

4. Trouver le reste de la division euclidienne deXnpar(X1)2(on pourra penser à dériver et évaluer en1).Exercice 3Pour quels entiersn2Nle polynôme(1 +X4)nXnest-il divisible parX2+X+ 1?Exercice 4Trouver;2Ctels queX2+X+ 1diviseX5+X3+X2+ 1.Exercice 5Trouver le pgcd dePetQdans les cas suivants :

1.P=X4+X33X24X1etQ=X3+X2X1.

2.P=X410X2+ 1etQ=X44X3+ 6X24X+ 1.Exercice 6Calculer le pgcd deA=X4+X32X+ 1etB=X2+X+ 1dansR[X]et trouver(U;V)2R[X]2tels que

1. Soit(U;V)2R[X]2tel queAU+BV= 1. Montrer qu"il existeQ2R[X]tel queU=U0+QBetV=V0QA.

2. Etablir la réciproque.

3. SoientA=X4+X32X+1etB=X2+X+1. Déterminer tous les couples(U;V)2R[X]2tels queAU+BV= 1.Exercice 8Soientm;n2N.

1. Soientq;r2Nle quotient et le reste de la division euclidienne denparm(i.e.n=mq+ravec06r < m). Effectuer

2. En déduire le pgcd deXn1et deXm1en utilisant l"algorithme de Bezout.Exercice 9Effectuer la division puissance croissante du polynômeApar le polynômeBà l"ordrenprescrit dans les cas

1.A=X2006,B= 13666X,n= 2005.

2.A=X32X2+ 4,B=X2+ 1etn= 3.

3.A= 4X32X+ 3,B=X4X+ 1etn= 5.Exercice 10Soient(A;B)2R[X]2. Montrer queAetBsont premiers entre eux dansR[X]si et seulement siAetB

Soitp;q2Zpremiers entre eux tels que=pq

1.X4+X2+ 4.

2.X8+X4+ 1.

3.X46X3+ 7X2+ 6X8.

4.X2n+1+ 1oùn2N.Exercice 13Polynômes interpolateurs de Lagrange.

1. Soient(j;p)2 f1;:::;mg2. CalculerLj(xp).

2. Soitfune fonction deCdans lui-même. PosonsL=Pm

3. SoitP2C[X]. On notenle degré dePet on supposen>1. Pour toutj2 f1;:::;n+ 1gon posexj=ei2jn+1. Soit

8z2C;jP(z)j6maxjaj=1jP(a)j(jzj+ 1)n:Exercice 14Polynômes de Tchebychev.

1. CalculerT2,T3etT4.

2. Montrer que pour toutn>0,Tnest de degré égal àn. Déterminer en fonction den, le coefficient dominant deTnet

3. Montrer que pour toutn>0et pour toutx2R,

4. En utilisant (??), montrer que pourn>1,Tnanracines distinctes dans[1;1]et les déterminer explicitement.

5. Dériver deux fois (??) et en déduire que(1X2)T00nXT0n+n2Tn= 0.

1(x) =x4x

2+ 3x+ 2; F2(x) =x2+ 3x+ 5x

2+x2; F3(x) =x2(x1)(x2)(x3):Exercice 16Décomposer en éléments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

1(x) =1x+x3; F2(x) =1x

3+ 6x2+ 11x+ 6; F3(x) =xx

34x2+ 5x2; F4=x(x1)3(x2):Exercice 17Décomposer en éléments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

1(x) =x6+ 2x

52x3+x; F2(x) =3x4x3+ 5x2x+ 2x

2+ 1; F3(x) =x3(x2+ 1)(x2+x+ 1):Exercice 18En effectuant des divisions euclidiennes successives, déterminer la décomposition en éléments simples surR

1(x) =x2x

4+ 1; F2(x) =1x

6+ 1:Exercice 20Décomposer en éléments simples surCpuis surRla fraction rationnelle :

F(x) =1x

31:Exercice 21SoitF=PQ

0(a), oùQ0

1. DécomposerFnen élements simples surC.

2. En déduire la décomposition en éléments simples deFnsurR. On distinguera les casnpair etnimpair.Exercice 23Pour2Ron poseF(x) =x2x

42cos(2)x2+1. DécomposerFen éléments simples surR. On étudiera

Zet =22

Z.Exercice 24SoitP=nX

1< 2< ::: < n1< n.

1. Donner la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelleF(X) =P0(X)P(X). On se servira du résultat de

2. En dérivantF, montrer que8x2R:P02(x)P(x)P00(x)>0.

3. Soitk2 f0;1;:::;ng. En utilisant le théorème de Rolle, montrer queP(k)admetnkracines réelles distinctes.

4. En déduire que8k2 f1;:::;n1g:ak1ak+1< a2k: