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Définition Pour tout x0 ∈ E et tout r > 0, on appelle boule ouverte de centre x0 et de rayon r l'ensemble B
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1 3 Ensembles compacts Définition 1 3 1 Soit (E,d) un espace métrique • un sous-ensemble K ⊆ E est dit compact si pour tout recouvrement par des ouverts
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Définition 4 1 5 Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement
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De plus, le pavé [−a,a]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a] N,
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20 avr 2016 · De plus, le pavé [−a,a]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans
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Soit (X, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble compact de X définition d'une borne supérieure, il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que f(xn)
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1 1 Notion de topologie, ouverts Définition 1 On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant :
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1 6 Ensembles compacts Définition X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ⊂ B(0 , R)) Exemples [0, 23] est un
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Notation I désignera un ensemble quelconque (fini, dénombrable ou indénom- brable) Définition Soit ¡ Ui¢ i£ I ¤¦ ¥ (X) On dira que ¡ Ui¢ i£ I est un recouvrement
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Chapitre 3
Espaces m´etriques compacts
Tout intervalle ferm´e et born´e est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l"intervalle. Ceci peut se voir par un proc´ed´e bien intuitif : on d´ecoupe l"intervalle en deux parts ´egales et une infinit´e de termes de la suite vont restent dans l"un des sous-intervalles obtenus; on travaille ce sous-intervalle accompagn´e de cette suite extraite et on recommence le d´ecoupage. On voit apparaˆıtre une infinit´e de termes de lasuite initiale qui vont ˆetrecoinc´esdans une s´erie de sous-intervalles emboˆıt´es :
d"o`u une sous-suite convergente. La propi´et´e d"avoir une sous-suite convergente reste valable pour toute suite born´ee. La limite de la sous-suite appartient `a l"intervalle ´etudi´e car ce dernier est ferm´e. Inversement au proc´ed´e de d´ecouper un intervalle en plusieurs sous-intervalles, la compacit´e sera aussi caract´eris´ee par une finitude dans les recouvrements par des ouverts. Cette caract´erisation sert `a la d´efinition d"un espace compact dans le cadre topologique (sans ˆetre n´ecessairement m´etrique). Un r´esultat classique affirme qu"une application continue sur un intervalleferm´e et born´e atteint ses extrˆema; il sera g´en´eralis´e sous la forme suivante :
toute application continue envoie un compact sur un compact.