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Définition 3 1 1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute tion continue de (C0([0, 1]; R),d∞) vers R, A est un ensemble fermé Il est évidemment 

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1 3 Ensembles compacts Définition 1 3 1 Soit (E,d) un espace métrique • un sous-ensemble K ⊆ E est dit compact si pour tout recouvrement par des ouverts  

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Définition 4 1 5 Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement 

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De plus, le pavé [−a,a]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a] N, 

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20 avr 2016 · De plus, le pavé [−a,a]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans 

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Soit (X, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble compact de X définition d'une borne supérieure, il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que f(xn) 

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1 1 Notion de topologie, ouverts Définition 1 On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant :

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1 6 Ensembles compacts Définition X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ⊂ B(0 , R)) Exemples [0, 23] est un 

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Notation I désignera un ensemble quelconque (fini, dénombrable ou indénom- brable) Définition Soit ¡ Ui¢ i£ I ¤¦ ¥ (X) On dira que ¡ Ui¢ i£ I est un recouvrement 

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - Compacite, completude, connexite Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 1 / 42

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 1. Compacite

Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 2 / 42 Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 3 / 42

Notion de compacite

La compacite est une notion omnipresente dans tous les domaines des mathematiques.

Denition

Soit(X;d)un espace metrique. Les assertions suivantes sont equivalentes. (i)De tout recouvrement deXpar des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrementni. (ii)Toute famille de fermes deXd'intersection vide admet une sous-famillenie d'intersection vide.

Si(X;d)possede les proprietes ci-dessus, on dit qu'il estcompact.Justication.L'equivalence entre (i) et (ii) se fait par passage aux complementaires :

une reunion d'ouverts i2IO i=Xdevient une intersection de fermes\ i2IF i=?; ouFi=XOi, et vice versa.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 3 / 42

Motivation et exemples pour les espaces compacts

Motivation.Le grand inter^et de la compacite s'explique en partie parce que cette notion fournit des enonces d'existence : la formulation (ii) ci-dessus est un enonce d'existence tres general qui se decline dans de multiples situations. Pour ce faire, il peut ^etre utile de se ramener, dans (i) ou (ii), a des familles de parties ouvertes ou fermees avec de bonnes proprietes vis-a-vis de l'inclusion (croissance ou decroissance). La compacite assure aussi l'existence de limites pour des (sous-)suites bien choisies (critere de

Bolzano-Weierstrass).

Exemples.On va voir que toutes les parties fermees et bornees desK-espaces vectoriels de dimension nie (K=RouC) sont des espaces compacts (pour la topologie induite par n'importe quelle norme). En revanche, la question de la compacite de parties fermees et bornees dansK-espaces vectoriels de dimension innie (par exemple des boules ou des spheres dans des espaces de fonctions) est plus delicate. Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 4 / 42

Non-exemple d'espace compact

Non-exemple :l'espace metrique (]0;1[;j j) n'est pas compact. Justication.Remarquer que l'on a une reunioncroissante(et donc qu'une reunion partielle nie est un intervalle de la suite) : ]0;1[=[ n>3] 1n ;11n et que, pour toutn>3, l'intervalle ]1n ;11n [ est un ouvertstrictde (]0;1[;j j). Justication alternative.Remarquer que l'on a une intersectiondecroissante(et donc qu'une intersection partielle nie est un intervalle de la suite) : n>2]0;1n

et que, pour toutn>2, l'intervalle ]0;1n] est un fermenon videde (]0;1[;j j).Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 5 / 42

Caracterisation sequentielle des compacts

On dispose deja de criteres sequentiels pour verier la fermeture d'une partie et la continuite

d'une application; en voici un (celebre) pour la compacite.Theoreme (theoreme de Bolzano-Weierstrass)

Soit(X;d)un espace metrique. AlorsXest compact si, et seulement si, de toute suite

d'elements deXon peut extraire une sous-suite qui converge.Reference.On renvoie au polycopie de cours pour la preuve : theoreme 3.1 p. 36.

Exemple :(]0;1[;j j) n'est pas compact.

Justication (encore une).La suite (1n

)n>2n'admet aucune sous-suite convergente dans (]0;1[;j j).Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 6 / 42 Sous-espaces compacts d'un espace metrique quelconque C'est le moment de reviser la topologie induite du cours precedent... Situation.On part d'un espace metrique (X;d) et on se donne une partieYdeX. L'ensembleYest un espace metrique pour la distancedY, restriction dedaYY(et que parfois on notera encored). La question de la compacite deYpour la topologie induite pard est naturelle. Elle se pose en termes d'ouverts deYpour la topologie induite, mais on peut se ramener aux ouverts de l'espace ambiantX:Lemme SoitYun sous-ensemble d'un espace metrique(X;d). Alors(Y;dY)est un espace compact si, et seulement si, de tout recouvrement deYpar des ouverts deXon peut extraire un

sous-recouvrement ni deY.Preuve.Decoule du fait que les ouverts de (Y;dY) sont les traces des ouverts de (X;d).

Terminologie.SiYest un sous-ensemble d'un espace metrique (X;d), on dira queYest un

compactdeXsi (Y;dY) est un espace metrique compact pour la topologie induite.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 7 / 42

Les parties compactes sont fermees

Proposition

Soit(X;d)un espace metrique et soitYXun compact deX, autrement dit une partie telle

que(Y;dY)soit un espace metrique compact. AlorsYest ferme dansX.Preuve.Fixonsx2XY. Pour touty2Y, choisissons (gr^ace a la distanced) deux ouverts

disjointsUx;yetUy;xcontenant respectivementxety. On extrait du recouvrement deYpar lesUy;x, poury2Y, un sous-recouvrement ni :

YV:=n[

i=1U yi;x:

Par construction, l'intersection nieU:=Tn

i=1Ux;yiest un ouvert qui contientxet ne rencontre pasV.A fortioriUne rencontre pasY. Commexetait arbitraire dansXY, on voit donc queXYest ouvert dansX.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 8 / 42

Intersections decroissantes d'espaces compacts

Proposition

Soit(X;d)un espace metrique. Une intersectiondecroissantede compacts non vides deXest non vide.Preuve.Soit (Kn)n>0une suite de compacts, qu'on suppose decroissante (i.e.Kn+1Kn) et d'intersection vide. ChaqueKnest ferme dansK0et l'intersection desKnest, par hypothese, vide. Par compacite, il existe donc une intersection partielle,nie, vide. Par decroissance de la suite de compacts, cela revient a dire qu'il existeN2N(par exemple le plus grand indice intervenant dans l'intersection partielle nie) tel que N n=0K n=?:

En particulierKN=?. Cela prouve la proposition par contraposition.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 9 / 42

Parties fermees dans les espaces compacts

Proposition

Soit(X;d)un espace metrique. SiXest compact etYXest ferme, alorsYest compact

pour la topologie induite.Preuve.On se doute que le critere le plus adapte a la situation est celui impliquant les

fermes... Soit (Fi)i2Iune famille de fermes de (Y;d) d'intersection vide. L'ensembleYetant ferme, lesFisont aussi des fermes deX. Par compacite deX, on peut donc extraire de la famille (Fi)i2Iune sous-famille nie d'intersection vide. Remarque.On va bient^ot voir que le segment [0;1] est un espace compact pour la distance de la valeur absolue : cela peut se voir par un argument de dichotomie, combine au critere sequentiel de Bolzano-Weierstrass. Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 10 / 42

Images continues d'espaces compacts

Proposition

L'image d'un compact par une application continue est un compact. Preuve.Soit (X;d) et (Y;d0) des espaces metriques, soitf:X!Yune application continue et soitZXun compact. On va utiliser ici le lemme precedent (sur la topologie induite), en se donnant (Vi)i2Iun recouvrement def(Z) par des ouverts deY. Alors (f1(Vi))i2Iest un recouvrement deZpar des ouverts deX:

Zf1f(Z)[

i2If

1(Vi):

Par compacite deY, on peut en extraire un sous-recouvrementZ[ j2Jf

1(Vj) avecJI

ni. Finalement, on obtient bien un sous-recouvrement ni def(Z) : f(Z)[ j2JV j.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 11 / 42

Produit d'espaces metriques compacts

Si (X;d) et (X0;d0) sont deux espaces metriques, on peut munir l'espace produitXX0de la distance somme: d s(x1;x01);(x2;x02):=d(x1;x2) +d0(x01;x02); ou bien de ladistance produit(Lipschitz-equivalente a la precedente) : d p(x1;x01);(x2;x02):= max(d(x1;x2);d0(x01;x02)):Corollaire Le produitXYde deux espaces metriques compacts(X;d)et(Y;d0)(muni de la distance

produit ou de la distance somme) est un espace metrique compact.Preuve.Soit ((xn;yn))n>0une suite d'elements deXY. La compacite de (X;d) permet

d'extraire de la suite (xn)n>0, une sous-suite (x'(n))n>0qui converge versx. La compacite de (Y;d0) permet d'extraire de la suite (y'(n))n>0, une sous-suite (y'( (n)))n>0qui converge vers

y. En particulier, (x;y) est une valeur d'adherence de la suite ((xn;yn))n>0.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 12 / 42

Compacite de [0;1]Lemme

On supposeRmuni de la topologie usuelle, i.e. issue de la valeur absolue usuelle. Alors

l'intervalle[0;1]est un compact deR.Preuve.Soit (Ui)i2Iune famille d'ouverts qui recouvrent [0;1]. On note :

W:=fs2[0;1] : [0;s]admet un recouvrement ni par desUig: On aW6=?car 02W. De plus, par constructionWest un sous-intervalle de [0;1] : donc

W= [0;c[ ouW= [0;c] pourc= supW.

Sic<1, on remarque qu'il existej2Itel quec2Uj. L'ensembleUjetant ouvert, on peut trouversCompacts de (RN;k k1)Proposition On munitRNde la normek k1. Alors un sous-ensemble deRNest compact si, et seulement

si, il est ferme et borne.Preuve.Deja, un compactXest un ferme. En outreXest necessairement borne : autrement,

on pourrait construire une suite (xn)n>0d'elements deXtelle quekxnk>n(une telle suite ne peut pas admettre de sous-suite convergente dansRN). Inversement, commencons par remarquer que pour touta>0 l'intervalle [a;a] est compact, comme image de [0;1] par une fonction ane. De plus, le pave [a;a]Nest un compact comme produit d'espaces compacts. Par denition dek k1, un ensembleXest borne s'il est inclus dans un pave [a;a]N, qui est

compact. Si de plusXest ferme, c'est un ferme dans un compact, donc il est compact.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 14 / 42

Bornes superieure et inferieure d'une fonction continue

Theoreme

Une fonction continue a valeurs reelles, denie sur un espace metrique compact, est bornee et atteint ses bornes.Preuve.L'image d'un compactXpar une application continue est un compact, donc un ferme borne deR. En particulier infXfet supXfappartiennent a l'image deXparf. Remarque.On a vu qu'un espace metrique contient naturellement des fonctions continues, a savoir les fonctions partiellesd(x;)distance a un point: ce sont en eet des fonctions

1-lipschitziennes. Une variante de cette remarque permet de construire des ouverts disjoints

contenant des fermes disjoints donnes au depart. Un exemple similaire est fourni dans ce qui suit par les normes sur les espaces vectoriels. Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 15 / 42

Equivalence des normes en dimension nieTheoreme

Toutes les normes surRNsont equivalentes. Plus generalement, sur unK-espace vectoriel de

dimension nie, toutes les normes sont equivalentes.Preuve.SoitNune norme quelconque surRN. Pour un vecteurx=PN

i=1xiei, on a :

N(x)6NX

i=1jxijN(ei) 6 NX i=1N(ei)! kxk1:

AinsiN: (RN;k k1)!(R;j j) est continue car

jN(x) N(y)j6N(xy)6 NX i=1N(ei)! kxyk1:Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 16 / 42

Equivalence des normes en dimension nie, preuveOn noteS:=fx2RN:kxk1= 1gla sphere unite de (RN;k k1). Au titre d'image

reciproque d'un ferme par une fonction continue,Sest ferme. Par denition, c'est une partie bornee dansRN, donc c'est un compact. Par le theoreme qui precede,Natteint ses bornes surSet en particulier est minoree par

N(x0)>0 pour un certainx02S.

Pour toutx2RN f0g, on peut ecrirex=kxk1xkxk1;l'inter^et etant quexkxk12S. On obtient alors :

N(x)>N(x0)kxk1;

par homogeneite de la norme.

Finalement, on a :N(x0)kxk16N(x)6PN

i=1N(ei) kxk1pour toutx2RN. Ceci prouve queNetk k1sont equivalentes, et nalement que toutes les normes surRNsont equivalentes.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 17 / 42

Theoreme de Borel-Lebesgue

Par denition, les parties bornees dansKNsont les m^emes pour deux normes equivalentes. En outre, on a deja vu que deux normes equivalentes donnent lieu a la m^eme topologie. Par consequent, l'equivalence de toutes les normes surKNimplique que le fait d'^etre ferme (ou compact) ne depend pas non plus de la norme choisie.Corollaire (theoreme de Borel-Lebesgue) SurRNou plus generalement surKN(independamment de la norme), les sous-ensembles

compacts sont les fermes bornes.Preuve.Cela decoule de ce qui precede et du fait que cela est connu pour la normek k1.

Remarque.Ce resultat est faux en dimension innie : la boule unite fermee de (`1(N;K);k k1) n'est pas compacte. Pour toutn>0, denirxn:= (0;:::;0;1;0;:::), avec

1 seule valeur non nulle, pour l'indicenexactement. On a alors :

kxnxmk1= 1 sin6=m: pas de sous-suite convergente.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 18 / 42

Continuite automatique d'applications lineaires

Proposition

SiEest un espace vectoriel norme dedimension nie et Fest un espace vectoriel norme, alors L(E;F), l'espace des applications lineaires deEdansFconcide avecL(E;F)l'espace des applications lineaires continues deEdansF.Preuve.Soit (e1;:::;eN) est une base deE, on note N X i=1x iei

E:= sup

i=1;:::;Njxij. La linearite deLet l'inegalite triangulaire impliquent que, pour toutx=PN i=1xiei, on a : kL(x)kF6NX i=1jxijkL(ei)kF 6 NX i=1kL(ei)kF! kxkE;

d'ou la continuite deL(avec majoration explicite de la constante de Lipschitz).Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 19 / 42

Theoreme de Heine

Proposition (theoreme de Heine)

Soitfune application continue d'un espace metriquecompact (X;d)dans un espace metrique (X0;d0), alorsfest est uniformement continue.Preuve.Soit" >0. Pour toutn>0, on note K n:= (x;x0)2XX:d(x;x0)61n etd0(f(x);f(x0))>" Pour chaquen>1, la partieKnest compacte (ferme dansXXqui est compact), on a K n+1Knet\ n>0K n=?: Donc, il existen0>0 tel queKn0=?.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 20 / 42

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 2. Completude

Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 21 / 42

Notion de suite de Cauchy

L'inter^et des suites de Cauchy est que dans des espaces metriques convenables (les espaces complets{ voir plus loin), on peut verier la convergence de certaines suites sans avoir a conna^trea priorila limite. On cherchera donc a exhiber le plus possible d'espaces complets.Denition Une suite(xn)n>0d'un espace metrique(X;d)est appeleesuite de Cauchysi

8" >0;9n02N;tel que(8n;m>n0;d(xn;xm)< ")Remarques.

1. Si d1etd2sont deux distances Lispchitz-equivalentes surX, on verie qu'une suite dans Xest de Cauchy pour la distanced1si, et seulement si, elle est de Cauchy pour la distanced2. 2. On v erieaussi que l'image d'une suite de Cauchy pa rune application unifo rmement continue, est de Cauchy. Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 22 / 42

Les suites convergentes sont de Cauchy

Proposition

Une suite qui converge est une suite de Cauchy.

Preuve.Soit (xn)n>0une suite qui converge versxdans un espace metrique (X;d).

Pour tout" >0, il existen02Ntel que

8n>n0;d(xn;x)< "=2:

Alors par inegalite triangulaire

8n;m>n0;d(xn;xm)6d(xn;x) +d(x;xm)< ";

ce qui montre que la suite (xn)n>0est une suite de Cauchy.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 23 / 42

Les suites de Cauchy sont bornees

Proposition

Une suite de Cauchy est bornee.

Preuve.Soit (xn)n>0une suite de Cauchy.

Choisissons"= 1. Il existen02Ntel que

8n>n0;d(xn;xm)<1:

En particulier

8n>n0;d(xn;xn0)<1;

ce qui montre que la suite est bornee.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 24 / 42

Suites de Cauchy possedant une valeur d'adherence

Proposition

Une suite de Cauchy(xn)n>0qui possede une valeur d'adherence, converge.Preuve.Pour tout" >0, il existen02Ntel que

8n;m>n0;d(xn;xm)< "=2:

Soitxune valeur d'adherence de la suite (xn)n>0. Il existe une sous-suite (x'(n))n>0qui converge versx. Donc, il existen12Ntel que

8n>n1;d(x'(n);x)< "=2:

Alors,

8n>max(n0;n1);d(xn;x)6d(xn;x'(n)) +d(x'(n);x)< ";

ce qui montre que la suite converge.Cours 2 : compacite, completude, connexiteBertrand Remy 25 / 42

Notion d'espace metrique complet

Denition

Un espace metrique(X;d)est ditcompletsi toute suite de Cauchy converge.Exemples. Un espace metrique compact est complet (proposition precedente et Bolzano-Weierstrass). (]0;1];j j) n'est pas un espace metrique complet : penser a (1n )n>1.(Q;j j) n'est pas un espace metrique complet. On peut denirRcomme etant le completede (Q;j j).

Remarques.

1. La compl etudeest une p roprietequi d ependde la distance et pas se ulementde la topologie sur l'ensembleX. 2. Si d1etd2sont des distances Lipschitz-equivalentes sur un ensembleX, on verie quequotesdbs_dbs11.pdfusesText_17